山西省忻州一中北校区2019-2020学年高一3月月考数学试题

山西省忻州一中北校区2019-2020学年高一3月月考数学试题

忻州⼀中北校区⾼⼀⽉考数学试题 命题⼈：‎ 一、选择题 ‎1．下列角位于第三象限的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．若，则点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3．下列说法正确的是(　　)‎ A．单位向量都相等　　 B．若a≠b，则|a|≠|b|‎ C．若|a|＝|b|，则a∥b D．若|a|≠|b|，则a≠b ‎4．已知定义在 上的偶函数 满足：当时，f(x)=2020x，若，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知函数 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0，≤)图象如下，则点的坐标是( )‎ A. (，) B. (，)‎ C. (，) D. (，)‎ ‎6．平面上有三点A，B，C，设若m，n的长度恰好相等，则有(　　)‎ A．A，B，C三点必在同一直线上 B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°‎ D．△ABC必为等腰直角三角形 ‎7．执行如图的程序框图，依次输入，则输出的值及其意义分别是（ ）‎ A．，即个数据的方差为 B．，即个数据的标准差为 C．，即个数据的方差为 D．，即个数据的标准差为 ‎8．设函数最小正周期为，且其图象关于直线对称，则在下面结论中正确的个数是（ ）‎ ‎①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数；⑤由可得必是的整数倍.‎ A. 4 B. ‎3 ‎ C. 2 D. 1‎ ‎9．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），我们把叫做α 的正割，记作secα；把叫做α的余割，记作cscα．则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．平行四边形中，若点满足，，设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知函数，若的零点个数为4个时，实数a的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题 ‎13．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是_________.‎ ‎14．函数的定义域为________.‎ ‎15．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎16．若，则的取值范围是（ ）‎ 三、解答题 ‎17．已知.‎ ‎（1）若，求、及的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【详解】（1），又因为，‎ ‎ ，…………………………5分 ‎(2)……10分 ‎18．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE=EC，AD，BE交于点F，设，．‎ ‎（1）用a，b分别表示向量，；‎ ‎（2）若=t，求实数t的值．‎ ‎【解析】（1）由题意，D为BC的中点，且，‎ ‎∵+=2，∴=2，‎ ‎∴=2=–+2b；…………………………6分 ‎（2）∵=t=tb，∴=–a+（2–t）b，‎ ‎∵=–+2b，，共线，∴，解得t=．……12分 ‎19．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．‎ 根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；‎ 用分层抽样方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在中的概率．‎ ‎【详解】⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：‎ ‎；‎ ‎…………………………6分 ‎⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有人，‎ 则用分层抽样抽取6人中，分数在有1人，用a表示，‎ 分数在中的有5人，用、、、、表示，‎ 则基本事件有、、、、、、、、‎ ‎、、、、、、，共15个，‎ 满足条件的基本事件为、、、、、、、、、，共10个，‎ 所以这两名同学分数均在中的概率为．…………………12分 ‎20．已知函数f(x)=sin(x-)-2，将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎【详解】（1）由题意得，‎ 化简得.…………………………5分 ‎（2）∵，可得，∴.‎ 当时，函数有最大值1；‎ 当时，函数有最小值.…………………………12分 ‎21．已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）当时，不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【详解】解：(1)由函数图像可得：,,,‎ 由，，可得，所以(),‎ 代入点，可得，可得，故；‎ ‎…………………………6分 ‎(2) 当时,, ,‎ 由不等式有解，可得，，‎ 由，可得，可得，‎ 实数的取值范围为：.…………………………12分 ‎22．已知函数，其中为实数．‎ ‎（1）若函数为定义域上的单调函数，求的取值范围．‎ ‎（2）若，满足不等式成立的正整数解有且仅有一个，求的取值范围．‎ ‎【详解】（1）由题意，当时，为减函数，‎ 当时，，‎ 若时，也为减函数，且，‎ 此时函数为定义域上的减函数，满足条件；‎ 若时，在上单调递增，则不满足条件．‎ 综上所述，．…………………………5分 ‎（2）由函数的解析式，可得，‎ 当时，，不满足条件；‎ 当时，为定义域上的减函数，仅有成立，满足条件；‎ 当时，在上，仅有，‎ 对于上，的最大值为，‎ 不存在满足，满足条件；‎ 当时，在上，不存在整数满足，‎ 对于上，，‎ 不存在满足，不满足条件；综上所述，．…………12分