数学（理科）卷·2018届云南省云天化中学高二下学期第二次阶段检测（2017-05）

数学（理科）卷·2018届云南省云天化中学高二下学期第二次阶段检测（2017-05）

云天化中学2016—2017学年度下学期阶段测试（二）‎ 高二年级 数学试卷（理科）‎ 第I卷（选择题，共分）‎ 一、 选择题：本大题共小题，每小题分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知函数，若＝－1，则实数a的值为（ ）‎ ‎ A．2　　　 B．±1　　 C．1 　　 　D．一1‎ ‎5.“0≤m≤l”是“函数有零点”的（ ）‎ ‎ A.充分不必要条件　 　B.必要不充分条件 C.充分必要条件　　 D.既不充分也不必要条件 ‎6. 如图，给出的是计算＋＋＋…＋的值的程序框图，其中判断框内应填入的是(　　)‎ A．i≤2021? B． i≤2015? C．i≤2019? D．i≤2017? ‎ ‎7．设不等式组，所表示的区域为M，函数y＝的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎8.在△ABC中，，AB =2, AC＝1，E, F为BC的三等分点，则＝（ ）‎ ‎ 　A．　　　 B． 　 　C． 　　　 D．‎ ‎9.将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)‎ A．0 B．－1 C．－ D．－ ‎10.棱长为2的正方体的所有顶点均在球的球面上，，，分别为，，的中点，则平面截球所得圆的半径为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）‎ A． 2 B． 3 C. 4 D．5‎ ‎12.已知函数恰有两个零点，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 客观题（共分）‎ 一、 填空题（每小题分，小题共分）‎ ‎13设函数若，则的值为_____ ；‎ ‎14. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为 ；‎ ‎15. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ；‎ ‎16.已知函数满足，且，当时，，那么在区间内，关于的方程且恰有4个不同的根，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题（第题分，其余每题分，共分，解答应写出证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本题10分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知a＝1，A＝，。‎ ‎（I）求B，C的值；‎ ‎（II）求△ABC的面积．‎ ‎18. （本题12分）‎ 从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；‎ ‎（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？‎ ‎（3）在（2）中抽取的6人中，随机抽取2人，求分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率．‎ ‎19. （本题12分）‎ 若数列满足为常数），则称数列为调和数列. ‎ ‎（1）已知数列调和数列，且满足求的通项公式；‎ ‎（2）若数列为调和数列，且，求的前项和.‎ ‎20. （本题12分）‎ 如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，CB=CD，AD=DB，P，Q分别在线段AB，AC上，AP=3PB，AQ=2QC，M是BD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：DQ∥平面CPM；‎ ‎（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D的大小为，求∠BDC的正切值．‎ ‎21. （本题12分）‎ 已知椭圆的焦点在轴上，离心率等于，且过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求证：为定值．‎ ‎22. （本题12分）‎ 已知函数 ‎(1)若函数的最小值为0，求的值；‎ ‎(2)证明：.‎ 云天化中学2016—2017学年度下学期阶段测试（二）‎ 高二数学（理科） 参考答案 附参考答案：‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B A C A D B B D A D C ‎【解析】‎ ‎1．，，，故选C．‎ ‎2.由题意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0，则z＝＝－－，∴＝－＋，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.‎ ‎3．椭圆的离心率为，可得，可得，解得，∴双曲线的渐近线方程为：，故选A．‎ ‎4．，故选C．‎ ‎5．，由，得，且，所以函数有零点．反之，函数有零点，只需 ，故选A.‎ ‎6. 判断框内可填“i≤2016？”或“i≤2017？”或“i<2017？”或“i<2018？”选D．‎ ‎7.本题考查不等式组表示的平面区域、几何概型．在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(，0)，(－，0)，(0，)为顶点的三角形区域，函数y＝的图象与x轴围成的区域如图中的阴影部分所示，则所求概率为＝，故选B.‎ ‎8．由知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，，故选B．‎ ‎9.　f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＝sin的图象，又g(x)的图象关于y轴对称，‎ ‎∴g(0)＝sin＝±1，‎ ‎∴－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|<，‎ ‎∴φ＝－，∴f(x)＝sin，又x∈，‎ ‎∴2x－∈，∴f(x)min＝－.故选D。‎ ‎10.如图2，正方体的外接球球心O为对角线的中点，球半径，球心O到平面的距离为，所以小圆半径，故选A．‎ ‎11.解析：抛物线的准线是，作于，由抛物线的定义知，所以要使最小，即最小，只要，，三点共线且在与之间即可，此时的最小值是：，选D．‎ ‎12.解析：函数有两个零点，可转化为函数与恰有两个交点,因为，当时，，单调递减；当时，，单调递增，在处取得极小值；而当时，恒成立，‎ 利用图像可知，选．‎ 二、填空题：‎ ‎13．解：‎ ‎14.解：设{an}的公比为q，依题意得＝＝q3，因此q＝.注意到a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)，即有S8－S4＝q4S4，因此S8＝(q4＋1)S4，＝q4＋1＝，‎ ‎15．本题考查几何体的三视图和体积．由三视图得该几何体为底面半径为1，高为2的圆柱体挖去一个底面边长为的正方形，高为1的正四棱锥后剩余的部分，则其体积为2×π×12－×()2×1＝2π－，‎ ‎16.令，则化为，即直线恒过．根据题意，画出的图象与直线，如图所示，由图象可知当直线介于直线与之间时，关于x的方程(且)恰有4个不同的根，又因为，，所以．‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又．‎ 又，． ………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ ‎．………………………（10分）‎ ‎18.解：（1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为：‎ ‎0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．…（4分）‎ ‎（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人，‎ 所以抽取的6人中分数在[130，150]的人有（人）…（8分）‎ ‎（3）由（2）知：抽取的6人中分数在[30，50）的有4人，记为A1，A2，A3，A4‎ 分数在[130，150]的人有2人，记B1，B2，‎ 从中随机抽取2人总的情形有：‎ ‎（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，A4）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，A3）、‎ ‎（A2，A4）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，A4）、（A3，B1）、（A3，B2）、‎ ‎（A4，B1）、（A4，B2）、（B1，B2）15种；‎ 而分数在[30，50）和[130，150]各1人的情形有（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，B1）、‎ ‎（A2，B2）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A4，B1）、（A4，B2）8种 故分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率…（12分）‎ ‎19.解：（Ⅰ）因为为调和数列，故为等差数列，‎ 又， ……………………（2分）‎ 故是以1为首项，1为公差的等差数列，‎ 故，‎ 故． ………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）为调和数列，故．‎ 由知道，，‎ 故是以1为首项，2为公差的等差数列， ……………………………（7分）‎ 故，， ……（9分）‎ ‎． ………………………………（12分）‎ ‎20.解：（Ⅰ）取AB的中点E，则，所以EQ∥PC．‎ 又EQ⊄平面CPM，所以EQ∥平面CPM． …‎ 又PM是△BDE的中位线，所以DE∥PM，‎ 从而DE∥平面CPM．…‎ 所以平面DEQ∥平面CPM，…‎ 故DQ∥平面CPM． …（5分）‎ ‎（Ⅱ）解法1：由AD⊥平面BCD知，AD⊥CM 由BC=CD，BM=MD，知BD⊥CM，‎ 故CM⊥平面ABD． …‎ 由（Ⅰ）知DE∥PM，而DE⊥AB，故PM⊥AB．‎ 所以∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角，‎ 即． …‎ 设PM=a，则，，‎ 在Rt△CMD中，． …‎ 所以∠BDC的正切值为．…(12分)‎ 解法2：以M为坐标原点，MC，MD，ME所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设MC=a，MD=b，则C（a，0，0），B（0，﹣b，0），A（0，b，2b）…‎ 则，‎ 设平面ABC的一个法向量，‎ 则即取…‎ 平面ABD的一个法向量为，…‎ 所以，所以 在Rt△CMD中，‎ 所以∠BDC的正切值为． …（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为，‎ ‎ ，，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为． ………………………………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）证明：设点A，B，M的坐标分别为，‎ 又易知F点的坐标为．‎ 显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，‎ 则直线l的方程是，‎ 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 ‎， ……………………………………………（8分）‎ ‎， ……………………………………………（9分）‎ 又，‎ 将各点坐标代入得， …………………………………（11分）‎ ‎． ………………………………………………（12分）‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 解　(1)f(x)＝ln x＋－1的定义域为(0，＋∞)，‎ 且f′(x)＝－＝.‎ 若a≤0，则f′(x)>0，于是f(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ 故f(x)无最小值，不符合题意．‎ 若a>0，则当0a时，f′(x)>0.‎ 故f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．‎ 于是当x＝a时，f(x)取得最小值ln a.‎ 由已知得ln a＝0，解得a＝1.‎ 综上，a＝1. （6分）‎ ‎(2)证明：①下面先证当x∈(0，π)时，ex＋(ln x－1)sinx>0.‎ 因为x∈(0，π)，所以只要证>1－ln x.‎ 由(1)可知≥1－ln x，‎ 于是只要证>，即只要证xex－sinx>0.‎ 令h(x)＝xex－sinx，则h′(x)＝(x＋1)ex－cosx.‎ 当01·e0－1＝0，‎ 所以h(x)在(0，π)上单调递增．‎ 所以当0h(0)＝0，即xex－sinx>0.‎ 故当x∈(0，π)时，不等式ex＋(ln x－1)sinx>0成立．‎ ‎②当x∈[π，＋∞)时，由(1)知≥1－ln x，‎ 于是有x≥1－ln，即x≥1＋ln x.‎ 所以ex≥e1＋ln x，即ex≥ex，‎ 又因为ex≥e(1＋ln x)，所以ex≥e(1＋ln x)，‎ 所以ex＋(ln x－1)sinx≥e(ln x＋1)＋(ln x－1)sinx ‎＝(e＋sinx)ln x＋(e－sinx)>0.‎ 综上，不等式ex＋(ln x－1)sinx>0成立．（12分）‎