高中数学选修2-2课时练习第五章 1_1~1_2

高中数学选修2-2课时练习第五章 1_1~1_2

‎§1　数系的扩充与复数的引入 ‎1．1　数的概念的扩展 ‎1．2　复数的有关概念 ‎[学习目标]‎ ‎1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．‎ ‎2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．‎ ‎3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．‎ ‎4．理解复数的几何表示．‎ ‎[知识链接]‎ 为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？‎ 答　设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数 ‎①定义：形如a＋bi的数叫作复数，其中a，b∈R，i叫作虚数单位，a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部．‎ ‎②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．‎ ‎(2)复数集 ‎①定义：复数的全体组成的集合叫作复数集．‎ ‎②表示：通常用大写字母C表示．‎ ‎2．复数的分类及包含关系 ‎(1)分类：复数(a＋bi，a，b∈R) ‎(2)集合表示：‎ ‎3．两个复数相等：a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d.‎ ‎4．复数的几何意义 ‎(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)；‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量＝(a，b)．‎ ‎5．复数的模：复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|＝.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　复数的概念 例1　请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．‎ ‎①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.‎ 解　①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．‎ 规律方法　复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．‎ 跟踪演练1　实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋‎2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．‎ 解　(1)要使z是实数，m需满足m2＋‎2m－3＝0，‎ 且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.‎ ‎(2)要使z是虚数，m需满足m2＋‎2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.‎ ‎(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，‎ 且m2＋‎2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.‎ 要点二　两个复数相等 例2　(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值．‎ ‎(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．‎ 解　(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，‎ ‎∴，解得，或 ‎(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为 ‎3m2‎‎－m－1＝(10－m－‎2m2‎)i，‎ ‎∴解得a＝11或a＝－.‎ 规律方法　两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．‎ 跟踪演练2　已知x，y均是实数，且满足(x＋y)＋(y－1)i＝2x＋3y＋(2y＋1)i，求x与y.‎ 解　由复数相等的充要条件得x＋y＝2x＋3y且y－1＝2y＋1，解得x＝4，y＝－2.‎ 要点三　复数的几何意义 例3　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－‎3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．‎ 解　复数z＝(m2－m－2)＋(m2－‎3m＋2)i的实部为 m2－m－2，虚部为m2－‎3m＋2.‎ ‎(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.‎ ‎(2)由题意得 ‎∴，∴－1b，则a＋i>b＋i C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1‎ D．两个虚数不能比较大小 答案　D 解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)，‎ 当a＝0且b≠0时为纯虚数．‎ 在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；‎ 在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；‎ 在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．‎ ‎3．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)‎ A．2－2i B．－＋i C．2＋i D.＋i 答案　A 解析　设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝‎ ‎－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.‎ ‎4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)‎ A. B．2 ‎ C．0 D．1‎ 答案　D 解析　由复数相等的充要条件知，x＋y＝0.‎ ‎∴2x＋y＝20＝1.‎ ‎5．复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则|z|＝________.‎ 答案　2‎ 解析　∵复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，‎ ‎∴.解得a＝1，∴z＝2i.∴|z|＝2.‎ ‎6．z1＝－3－4i，z2＝(n2－‎3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.‎ 答案　2　±2‎ 解析　由z1＝z2得，解得.‎ ‎7．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－‎3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．‎ 解　(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.‎ 故若使z为实数，则，‎ 解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．‎ ‎(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.‎ 故若使z为虚数，则m2－‎3m－18≠0，且m＋3≠0，‎ 解得m≠6且m≠－3，‎ 所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．‎ ‎(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z为纯虚数，‎ 则 解得m＝－或m＝1.‎ 所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．‎ 二、能力提升 ‎8．若θ∈，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　∵θ∈，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.‎ ‎9．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)‎ A．4＋8i B．8＋2i ‎ C．2＋4i D．4＋i 答案　C 解析　A(6,5)，B(－2,3)，∵C为AB的中点，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.‎ ‎10．已知集合M＝{1,2，(a2－‎3a－1)＋(a2－‎5a－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数a＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　由M∩N＝{3}知，3∈M，即有(a2－‎3a－1)＋(a2－‎5a－6)i＝3，‎ 所以解得a＝－1.‎ ‎11．当实数m为何值时，复数z＝(m2－‎8m＋15)＋(m2＋‎3m－28)i在复平面内的对应点：‎ ‎(1)位于第四象限；‎ ‎(2)位于x轴负半轴上；‎ ‎(3)在上半平面(含实轴)．‎ 解　(1)要使点位于第四象限，‎ 须，‎ ‎∴，‎ ‎∴－7－1，如何求自然数m，n的值？‎ 解　因为 (m＋n)－(m2－‎3m)i>－1，‎ 所以 (m＋n)－(m2－‎3m)i是实数，‎ 由①得m＝0或m＝3，‎ 当m＝0时，代入②得n<2，‎ 又m＋n>0，所以n＝1；‎ 当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾，‎ 综上可得m＝0，n＝1.‎