初中数学8年级教案:第16讲 一次函数与四边形综合

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初中数学8年级教案:第16讲 一次函数与四边形综合

辅导教案 学员姓名: 学科教师:‎ 年 级: 辅导科目:‎ 授课日期 ‎××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 一次函数与四边形综合 教学内容 ‎1.熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题;‎ ‎2.体会数形结合的思想方法;体会一次函数与几何图形的内在联系.‎ ‎(此环节设计时间在10-15分钟)‎ 教法说明:回顾上次课的预习思考内容,要求学生在函数图像中找出符合要求的点。‎ 1. 已知点A、B、C、D可以构成平行四边形,且点A(-1,0),点B(0,3),点C(3,0),则第四个顶点D的坐标为_________________________;‎ ‎ ‎ 参考答案:(4,3)或(—4,3)或(2,—3);‎ ‎2.已知一次函数的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,如果点C在y轴上,存在点D使以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形,则D的坐标为 .‎ 参考答案:;‎ ‎(此环节设计时间在50-60分钟)‎ E A O x y B C D 例题1:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为菱形,点A的坐标为(0,1),点D在轴上,经过点B的直线与AC相交于横坐标为2的点E.‎ ‎(1)求直线AC的表达式;‎ ‎(2)求点B、C、D的坐标.‎ 参考答案:(1)∵点直线经过横坐标为2的点E,∴E(2,2).‎ 由点A(0,1),设直线AC的表达式为, ‎ ‎∴;∴直线AC的表达式为.‎ ‎(2)设点C的坐标为(),‎ ‎∵在菱形ABCD中,BC//AD,∴点B的坐标为().‎ ‎∵BA=BC,∴; ∴.‎ ‎∴. ∴点B、C的坐标分别为()、(). ‎ ‎∵AD=BC=15,∴OD=16,∴D(0,16).‎ 例题2:已知:直线与x轴交于点A,与y轴交于点B。点C的坐标为(0,—2),线段AB上有一动点P,过点C、P作直线l。‎ ‎(1)如图,当PB=PC时,求点P的坐标;‎ ‎(2)在(1)的条件下,平面直角坐标系内是否存在这样的点Q,使以P、B、C、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。‎ 参考答案:‎ ‎(1)作PH⊥y轴,∵PB=PC ∴H为BC中点;‎ ‎∴H(0,2) ∴点P的坐标 ‎(2),,‎ 例题3:已知一次函数的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B.梯形AOBC的边AC = 5.‎ ‎(1)求点C的坐标;‎ ‎(2)如果点A、C在一次函数(k、b为常数,且k<0)的图像上,求这个一次函数的解析式.‎ 参考答案:‎ ‎(1)A(8,0),B(0,4).‎ 在梯形AOBC中,OA=8,OC=4,AC=5.‎ 当AC//OB时,点C的坐标为(8,5).‎ 当BC//OA时,设点C(x,4). ‎ ‎∴ 这时点C的坐标为(5,4)或(11,4).‎ ‎∴点C的坐标为(8,5)或(5,4)或(11,4).‎ ‎(2)∵点A、C在一次函数(k<0)的图象上,‎ ‎ ∴点(8,5)与(11,4)都不符合题意,只有当C为(5,4)时,k<0.‎ ‎ ∴ ∴ ∴这个一次函数的解析式为.‎ ‎※例题4:在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠COA=90°,CB=3,OA=OC=6,分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,D、F分别为线段OC,x轴上的点,OD=5,OF=10,直线DF交OB于点E.‎ ‎(1)求直线DE的解析式并求出E点坐标;‎ ‎(2)点M是(1)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N使以O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 参考答案:(1)直线DE的解析式为,点E的坐标为(2,4)‎ ‎(2)存在 ‎①如图1,当OD=DM=MN=NO=5时 设M点坐标为,‎ ‎∴∴(正舍)‎ ‎∴点M的坐标为 又∵MN∥x轴; ∴点N的坐标为 ‎②如图2,当OD=DN=NM=MO=5时,‎ 延长NM交x轴于点P,则MP⊥x轴.‎ ‎∵点M在直线上,∴设M点坐标为 在Rt△OPM中,‎ ‎∴,解得(舍去),‎ ‎∴点M的坐标为(4,3) ∴点N的坐标为(4,8)‎ ‎③如图3,当OM=MD=DN=NO时,四边形OMDN为菱形.‎ 联结NM交OD于点P则NM与OD互相垂直平分,‎ ‎∴∴‎ ‎∴∴‎ ‎∴点N的坐标为 综上所述,x轴上方的点N有三个,分别为 此环节设计时间在30分钟左右(20分钟练习+10分钟互动讲解)。‎ ‎1.如图,一次函数的图像与x、y轴分别相交于点A、B,以AB为边作正方形ABCD.‎ ‎(1)求点A、B、D的坐标;‎ ‎(2)设点M在x轴上,如果△ABM为等腰三角形,求点M的坐标.‎ 参考答案:(1)过点D作x轴的垂线,垂足为点E.‎ ‎ 由函数,当y = 0时,得x = -2, 即得点A的坐标为A(-2,0).‎ ‎ 当x = 0时,得y = 4,即得点B的坐标为B(0,4).‎ ‎ 由正方形ABCD,可证得△ADE≌△BAO.‎ ‎∴DE = OA = 2,AD = BO = 4,即得OE = 2.‎ ‎∴点D的坐标为D(2,-2).‎ ‎ (2)由A(-2,0),B(0,4),得.‎ ‎ 当△ABM为等腰三角形时,得AB = AM或AB = BM或AM = BM.‎ 当AB = AM时,得,‎ 所以点M的坐标为M1(,0)、M2(,0).‎ 当AB = BM时,由OB⊥AM,得OM = OA = 2.‎ 所以点M的坐标为M3(2,0).‎ 当AM = BM时,即得 AM2 = BM2.‎ 设点M的坐标为(x,0).‎ 利用两点间的距离公式,得 .‎ 解得 x = 3.得点M的坐标为M4(3,0).‎ 所以,所求点M的坐标为M1(,0)、M2(,0)、‎ M3(2,0)、M4(3,0).‎ ‎2.如图,一次函数的图像与轴相交于点A(5,0)、与轴相交于点B.‎ ‎(1)求点B的坐标及∠ABO的度数;‎ ‎(2)如果点C的坐标为(0,3),四边形ABCD是直角梯形,求点D的坐标. ‎ 参考答案:(1)∵点A(5,0)在一次函数的图像上,‎ ‎∴; ∴点B的坐标为.‎ ‎∵∠AOB=90º,OB=5,OA=, ∴AB=,‎ ‎∴∠OAB=30º,∠ABO=60º.‎ ‎(2)当AD//BC时,∠BCD=∠ADC=90º,点D().‎ 当CD//AB时,∠BAD=∠ADC=90º,‎ 过点D作DH⊥OA,DH与OA、AB分别交于点HE,∴DE//BC,∴DE=BC=8.‎ ‎∴∠AED=∠ABC=60º,∠ADE=30º,∴AE=4,AD=,‎ ‎∴AH=,OH=,DH=6,∴点D().‎ ‎∴点D的坐标为()或().‎ ‎(此环节设计时间在5-10分钟内)‎ 让学生回顾本节课所学的重点知识,以学生自我总结为主,学科教师引导为辅,为本次课做一个总结回顾 ‎【巩固练习】‎ ‎1.如图,一次函数的图像与轴相交于点A(6,0)、与轴相交于点B,点C在轴的正半轴上,BC=5.‎ ‎(1)求一次函数的解析式和点B、C的坐标;‎ ‎(2)如果四边形ABCD是等腰梯形,求点D的坐标. ‎ 参考答案:(1)解:∵一次函数的图像与轴相交于点A(6,0),‎ ‎∴;∴一次函数解析式为,点B(0,–2).‎ ‎∵BC=5,OB=2,∴OC=3,∴点C为(0,3).‎ ‎(2)解:当AD//BC时,CD=AB,过点D作DE⊥轴,垂足为E,‎ ‎∵DE=AO=6,∴Rt△DCE≌Rt△ABO ;‎ ‎∴CE=OB=2,∴OE=1 ∴点D(6,1).‎ 当CD//AB时,直线CD的表达式为,设点D(,).‎ ‎∵AD=BC=5,∴,∴.‎ 解得(不符合题意),∴点D的坐标为(3,4)‎ ‎2.如图所示,直线的截距为6,该直线分别交x轴、y轴于E、F,点E的坐标为(-4,0).‎ ‎ (1)求直线的表达式;‎ ‎ (2)若点是该直线第二象限上的一个动点,轴,轴,垂足分别为点A、B,试求四边形OAPB的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.‎ 参考答案:(1); (2)‎ ‎【预习思考】‎ ‎1.(1)既有 、又有 的量,叫做向量.‎ ‎(2)向量的 也叫向量的模(或向量的长度)——它是一个 .‎ ‎(3)零向量:大小为 ,方向 的向量;记作________.‎ ‎2.(1)方向 且大小 的两个向量叫做相等向量.‎ ‎(2)方向 且大小 的两个向量叫做相反向量.‎ ‎(3)方向 的两个向量叫做平行向量.‎ ‎3.向量的运算:‎ ‎(1)向量加法、减法的三角形法则:‎ ‎_____________;___ ____.‎ ‎(2)向量加法、减法的平行四边形法则:‎ ‎_____________;___ ____.‎ ‎(3)向量的加法运算律: ‎ 向量加法满足交换律,即:                                       ;‎ 向量加法满足结合律,即:                                     .‎
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