甘肃省兰州第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含答案

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甘肃省兰州第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含答案

兰州一中20192020-1学期期末考试试题 高一数学 命题教师 审题教师 ‎ 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120‎ 分钟. 答案写在答题卷(卡)上,交卷时只交答题卷(卡).‎ 第Ⅰ卷(选择题)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.直线的倾斜角为( ) ‎ A. 30°   B.  60°   C. 120°    D. 150°‎ ‎2.某人用如图所示的纸片,沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形做灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯旋转时,正好看到 “新年快乐”的字样,则在①、②、③处应依次写上( )‎ A. 快、新、乐 B. 乐、新、快 C. 新、乐、快 D. 乐、快、新 ‎3.正方体中, 直线与所成的角为( )‎ A.30o B.45o C.60o D.90o ‎4.正六棱锥底面边长为a,体积为a3,则侧棱与底面所成的角为( )‎ A.30° B.45° C.60° D.75° ‎ ‎5. 已知m,n是不重合的直线,是不重合的平面,给出下列命题:‎ ‎①若; ‎ ‎②若;‎ ‎③如果是异面直线,则相交;‎ ‎④若 其中正确命题的个数是( )‎ A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ ‎6. 如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45o ,腰和上底均为1‎ 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则 的最小值 为( )‎ A.5 B. C.5 D.‎ ‎8.已知正四棱锥的底面边长为,侧棱长为,则该正四棱锥外接球的表面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 棱台上、下底面面积比为1∶9, 则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )‎ A.1∶7 B.2∶‎7 C. 7∶19 D.5∶ 16‎ ‎10. 若某多面体的三视图(单位:)如图所示, 则此多面体的体积是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11. 已知圆的方程,过作直线与圆交于点. 且直线 关于直线对称,则直线的斜率等于( ) ‎ ‎ ‎ ‎12. 数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且 重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线后人称之为三角形的欧拉线. 已 知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标是( )‎ A. (- 4,0) B. (- 4,0),(- 2,0)‎ C. (- 4,0),(- 3,0) D. (- 4,2)‎ 参考公式:若△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是、、,则该 ‎△ABC的重心的坐标为.‎ 第Ⅱ卷(非选择题)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13. 直线l1: x+ay+6=0与l2: (a-2)x+3y+‎2a=0平行,则的值为 . ‎ ‎14. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的体积是 .‎ ‎15. 已知关于x的方程有唯一实数解,则实数k的取值范围是 .‎ ‎16. 已知圆O:,点A(-5,0),若在直线OA上(O为坐标原点),存在异于A的定点B,使得对于圆O上的任意一点P,都有为同一常数. 则点B的坐标是 ‎ .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(10分)设直线和圆相交于点A、B.‎ ‎ (1)求弦AB的垂直平分线方程;‎ ‎(2)求弦AB的长.‎ ‎18.(12分)如图, 三棱柱ABC-A1B‎1C1中, 侧棱A‎1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分 别为棱AB, BC, A‎1C1的中点. ‎ ‎(1) 证明EF//平面A1CD; ‎ ‎(2) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1. ‎ ‎19.(12分)如图所示,矩形ABCD中,AC∩BD=G, AD⊥平面ABE, AE=EB=BC=‎ ‎2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.‎ ‎(1) 求证:AE⊥平面BCE;‎ ‎ (2) 求三棱锥C-BGF的体积.‎ ‎20. (12分)△ABC中,A(0,1),AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y-4=0,AC 边上的中线BE所在直线的方程为2x+y-3=0.‎ ‎(1) 求直线AB的方程;‎ ‎(2) 求直线BC的方程;‎ ‎(3) 求△BDE的面积.‎ A C D E B ‎21. (12分)如图,四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,‎ CD=,AB=AC,CE与平面ABE所成的角为45°.‎ ‎(1) 证明:AD⊥CE;‎ ‎(2) 求二面角A-CE-B 的正切值. ‎ ‎22. (本小题12分)‎ 已知圆C过点M(0,-2)、N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.‎ ‎ (1) 求圆C的方程; ‎ ‎(2) 设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)‎ 的直线l垂直平分弦AB? 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.‎ 兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题参考答案 高一数学 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A C B B A D C C D A A 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.    14. 15.   16. ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 解:(1)圆方程可整理为:,圆心坐标为(1,0),半径r=2,‎ ‎ 易知弦AB的垂直平分线过圆心,且与直线AB垂直,‎ ‎ 而. ‎ ‎ 所以,由点斜式方程可得:‎ ‎ 整理得: . ……………………5分 ‎ (2)圆心(1,0)到直线 ‎ 故 ……………………10分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 证明:(1) 连接ED,∵ED∥AC, ED=AC ,‎ 又∵F为A‎1C1的中点. ‎ ‎∴A‎1F∥DE, A‎1F=DE, ‎ ‎∴四边形A1DEF是平行四边形, ∴EF∥A1D ,    ‎ 又A1DÌ平面A1CD, EFË平面A1CD,‎ ‎∴EF//平面A1CD  ……………………6分 ‎ (2) ∵A‎1A⊥平面ABC,  ∴A‎1A⊥CD ,‎ 又∵D是AB的中点, ∴AB⊥CD,‎ ‎∴CD⊥平面A1ABB1, 又∵CDÌ平面A1CD,‎ ‎∴平面A1CD⊥平面A1ABB1. ……………………12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 解:(1)因为面,所以,‎ 又,‎ 所以.‎ 因为,所以. ‎ 又因为 所以AE垂直于平面BCE …………… 6分 ‎ (2)因为,所以,,‎ ‎ 又因为为中点, 所以 . …………… 10分 所以. …………… 12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 解:(1)直线AB的斜率为2,∴AB边所在的直线方程为, …………4分 ‎ (2) 由 得, 即直线AB与AC边中线BE的交点为B(,2). ‎ 设点C的坐标为 (m,n),‎ 则由已知条件得 解得 故C(2,1).‎ ‎∴所以BC边所在的直线方程为; ……………………8分 ‎(3) ∵E是AC的中点, ∴E(1,1), ∴E到AB的距离为:d=.‎ 又点B到CD的距离为:|BD|=,‎ ‎∴S△BDE=•d•|BD|=.      ……………………12分 另解:∵E是AC的中点, ∴E(1,1), ∴|BE|=, ‎ 由 得 , ∴D(,),‎ ‎∴D到BE的距离为:d=, ∴S△BDE=•d•|BE|= . …………12分 ‎21. (本小题满分12分) ‎ 证明:(1)如图,取BC的中点H,连接HD交CE于点P,连接 AH、AP.‎ ‎∵AB=AC, ‎ ‎∴AH^BC 又∵平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC平面BCDE=BC,AH平面ABC.‎ A C D E B H P G ‎∴AH^平面BCDE,又∵CE平面BCDE.   ‎ ‎ ∴AH^CE,‎ 又∵, ‎ ‎∴Rt△HCD∽Rt△CDE,‎ ‎∴∠CDH=∠CED, ‎ ‎∴HD^CE. ‎ 又∵ AHHD=H,AH平面AHD,HD平面AHD.‎ ‎∴CE⊥平面AHD,又∵AD平面AHD.‎ ‎∴CE⊥AD ,即AD⊥CE. ……………………6分 ‎(2)由(1) CE⊥平面AHD, ∴AP⊥CE, ‎ 又∵HD^CE .‎ ‎  ∴∠APH就是二面角A-CE-B 的平面角,‎ ‎ 过点C作CG⊥AB,垂足为G,连接CG、EG.‎ ‎ ∵BE⊥BC,且BE⊥AH,    ‎ ‎∴BE⊥平面ABC,‎ ‎ ∴BE⊥CG, ‎ ‎∴CG⊥平面ABE,‎ ‎ ∴∠CEG就是CE与平面ABE所成的角, 即∠CEG=45°,‎ 又∵CE=,  ‎ ‎∴CG=EG=.‎ 又∵BC=2, ‎ ‎∴∠ABC=60°, ‎ ‎∴AB=BC=AC=2. ∴AH=. ‎ 又∵HD=, ‎ ‎∴HP==,‎ ‎∴tan∠APH==3. ‎ 故二面角A-CE-B 的正切值是3. ……………………12分 ‎22.(本小题满分12分)‎ 解:(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0, ………1分 ‎ 则有 …………………3分 解得 ………… …………………5分 ‎∴圆C的方程为:x2+y2-6x+4y+4=0. …………6分 ‎(2)设符合条件的实数存在, ‎ 由于l垂直平分弦,故圆心必在l上.‎ 所以l的斜率,‎ 而, 所以. …………8分 把直线ax-y+1=0 即y=ax +1.代入圆的方程,‎ 消去,整理得.‎ 由于直线交圆于两点,‎ 故,‎ 即,解得.‎ 则实数的取值范围是. …………………10分[来 由于,‎ 故不存在实数,使得过点的直线l垂直平分弦. ………12分
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