2018-2019学年广东省湛江第一中学高一上学期第一次大考数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省湛江第一中学高一上学期第一次大考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省湛江第一中学高一上学期第一次大考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝(　　)‎ A． {4,8} B． {0,2,6}‎ C． {0,2,6,10} D． {0,2,4,6,8,10}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集定义求解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵A∩B＝{4,8}，∴∁AB＝{0,2,6,10}．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集的定义，考查基本求解能力.‎ ‎2．函数的定义域为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数有意义，要求 ‎【详解】‎ 函数有意义，要求 ‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了具体函数的定义域问题，对于函数定义域问题，首先分式要满足分母不为0，根式要求被开方数大于等于0，对数要求真数大于0，幂指数要求底数不等于0即可.‎ ‎3．设，下列图形中表示集合A到集合B的函数图形的是( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：A选项中，图象过原点（0，0），纵坐标为0，与值域B矛盾；B选项中，图象上个点的横坐标均在[0，2]上，纵坐标均在[1，2]上，故正确；C，D选项中，值域均为{1，2}，与题干中的值域矛盾；故正确选项为B．‎ ‎【考点】函数图象与定义域，值域的关系．‎ ‎4．设函数=则 ( )‎ A． B． C． 1 D． 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式得到=，.‎ ‎【详解】‎ 函数=,=,.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了分段函数的解析式和性质，求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.‎ ‎5．若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 所以 ‎6．若，则的值为( )‎ A． 0 B． 1 C． D． 1或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合相等的性质求出b=0，a=﹣1，由此能求出a2017+b2017的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，, b=0,,‎ ‎,a=-1或1，根据集合元素的互异性得到a=-1.‎ ‎∴b=0，a=﹣1，‎ ‎∴a2017+b2017=（﹣1）2017+02017=﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意集合相等的性质的合理运用．同时也考查到了集合相等的概念和集合元素的互异性，集合相等即集合元素完全相同，互异性指的是同一个集合内不能有重复的元素.‎ ‎7．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：不等式对任意实数均成立等价于恒成立．‎ 当即时,不等式变形为,恒成立；‎ 当时依题意可得 ‎ 综上可得．故B正确．‎ ‎【考点】1一元二次不等式；2转化思想．‎ ‎【易错点晴】本题主要考查的是一元二次不等式恒成立问题考查转化思想,难度中等．将原问题转化为恒成立问题．往往考虑二次函数开口向下且判别式小于0,而忽视二次项系数等于0的情况出错．‎ ‎8．已知函数是定义在R上的偶函数，当 时，是增函数，且，则不等式的解集为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．‎ ‎【详解】‎ ‎∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（﹣1）=0，‎ ‎∴f（﹣1）=f（1）=0，‎ 则函数f（x）对应的图象如图：‎ 则f（x）＜0的解为﹣1＜x＜1，‎ 即不等式的解集为（﹣1，1），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．当函数的解析式比较复杂或者没有解析式的抽象函数，通常采用的方法是研究函数的单调性和奇偶性，从而可以直接比较自变量的大小即可.‎ ‎9．若与在区间[1，2]上都是减函数，则的取值范围是(　　)‎ A． B． C． [0，1] D． (0，1]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ f（x）为二次函数，单调性结合图象解决，而g（x）为指数型函数，单调性只需看底数与1的大小即可．‎ ‎【详解】‎ f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数，故对称轴x=a≤1；‎ g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上是减函数，只需a+1＞1，即a＞0，综上可得0＜a≤1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知函数单调性求参数范围，属基本题．掌握好基本函数的单调性是解决本题的关键．考查了二次函数的单调性，和二次函数的对称轴有关系，指数型函数的单调性，和底数有直接关系.‎ ‎10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有( )‎ A． 10个 B． 9个 C． 8个 D． 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据孪生函数的定义，即函数的定义域不同而已，，解得x=-1或1，解得x=-2或2，分别写出函数的定义域即可.‎ ‎【详解】‎ 函数解析式为，值域为，根据孪生函数的定义，即函数的定义域不同而已，，解得x=-1或1，解得x=-2或2，‎ 定义域分别可为：｛-1，-2｝，｛-1，2｝，｛1，2｝，｛1，-2｝，｛-1，1，2｝｛-1，1，-2｝，｛-1，2，-2｝，｛1，-2，2｝，｛-1，1，-2，2｝共九个定义域不同的函数.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了函数的三要素，函数的三要素指的是函数的定义域，对应法则，值域，当这三者完全相同时两个函数是同一函数，有一个不同则函数即不为同一函数.‎ ‎11．函数是上的减函数，则的取值范围是( )‎ A． （0，1） B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当x＜0时，函数f（x）是减函数，当x≥0时，若函数f（x）=ax是减函数，则0＜a＜1．要使函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，还需满足0+3﹣3a≥a0，‎ 从而求得a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 当x＜0时，函数f（x）=﹣x+3﹣3a是减函数，当x≥0时，若函数f（x）=ax是减函数，则0＜a＜1．‎ 要使函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，需满足0+3﹣3a≥a0，解得a≤，故有即0＜a≤．‎ 故答案为:B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．考查了分段函数已知单调性求参的问题，首先保证每一段上的单调性，之后再保证整个定义域上的单调性.‎ ‎12．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则 A． B． 0 C． 2 D． 50‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），‎ ‎∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，‎ 则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），‎ 即函数f（x）是周期为4的周期函数，‎ ‎∵f（1）=2，‎ ‎∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，‎ f（4）=f（0）=0，‎ 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，‎ 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）‎ ‎=f（1）+f（2）=2+0=2，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．一般 函数的对称轴为x=a， 函数的对称中心为（a,0）.‎ 二、填空题 ‎13．不论为何值，函数的图象一定经过点P，则点P的坐标为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数过的定点，即需要指数的次数等于0即可.‎ ‎【详解】‎ 不论为何值，函数的图象过的定点为：x-2=0,x=2,代入解析式求得y=2,故点P（2，2）.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数型的函数所过的定点，即不受底数的影响，此时使得指数部分为0即可，形如的指数型函数过的定点是：.‎ ‎14．已知函数的定义域是[－1,1]，则的定义域为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的定义域是[－1,1],的范围是,即作用法则的范围，即函数f(x)的定义域.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域是[－1,1],的范围是，则的定义域为x 的范围，即括号内能容纳的范围:.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 求函数定义域的类型及求法 ‎(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．‎ ‎(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出．‎ ‎②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．‎ ‎15．已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】试题分析：∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，‎ ‎∴．‎ ‎【考点】函数的奇偶性．‎ ‎16．若关于的函数的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，则实数的值为___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数 ，g(x)是奇函数，M＋N＝‎ ‎【详解】‎ 函数=,其中g(x)是奇函数，M＋N＝ ‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性的应用，奇函数在对称区间上的最值互为相反数，且在对称点处取得的函数值互为相反数.也用到了判断函数奇偶性的方法：奇函数奇函数为奇函数，奇函数乘以偶函数是奇函数.‎ 三、解答题 ‎17．(1)求值：+‎ ‎(2)已知，求的值．‎ ‎【答案】（1）； （2）18.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据指数幂的运算公式进行计算即可；（2）根据立方和公式和完全平方公式进行化简.‎ ‎【详解】‎ ‎（１）原式= ‎ ‎ (2) 已知,= ‎ ‎,代入上式得到18.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数幂的运算公式，以及立方和公式的应用，完全平方公式的应用，较为基础.‎ ‎18．已知全集U＝R，集合，．‎ ‎(1)若，求A∩B；‎ ‎(2)若A∩B＝∅，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) A＝,，∴;(2) 当A＝∅时，, A≠∅时，则由，易得或,解出即可，最终将两种情况并到一起.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)若，则A＝， ‎ 又，∴． ‎ ‎(2)当A＝∅时，，‎ ‎∴，此时满足A∩B＝∅； ‎ 当A≠∅时，则由，，‎ 易得或， ‎ ‎∴或.‎ 综上可知，实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 与集合元素有关问题的思路：‎ ‎（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．‎ ‎（2）看这些元素满足什么限制条件．‎ ‎（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．‎ ‎19．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．‎ ‎（1）现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示，请补全函数的图像，并根据图像直接写出函数的增区间；‎ ‎（2）求函数的解析式；‎ ‎（3）求函数的值域。‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）； （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据函数的解析式以及偶函数的对称性画出图像即可；（2）设，代入解析式求出即可；（3）分段求出函数的值域最终并到一起即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在区间上单调递增 ‎（2）函数是定义在上的偶函数，且当时，，‎ ‎∴当 ,‎ ‎.‎ ‎（3）当 时， ， ‎ 当时，，（或由是偶函数得到）‎ ‎∴函数的值域是 ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的性质和图像，分段函数的定义域是每一段的定义域并到一起，值域是将每一段的值域并到一起，最值，是分别求出每一段的最值，再从中取最大值或者最小值.‎ ‎20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0．125万元和0．5万元（如图）．‎ ‎（1）分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；‎ ‎（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意，得，，代入点的坐标，求的的值，即可可得到两种产品的收益与投资的函数关系；（2）投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，令，换元利用二次函数的性质，即可求解其最大收益．‎ 试题解析：（1），，‎ ‎，，‎ ‎（2）设：投资债券类产品万元，则股票类投资为万元．‎ 令，则 所以当，即万元时，收益最大，万元．‎ ‎【考点】函数的实际应用问题．‎ ‎21．已知定义域为的函数是奇函数.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）判断函数的单调性;‎ ‎（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ）在上为减函数。 ‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，‎ 即 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 设则 ‎ 因为函数y=2在R上是增函数且 ∴>0‎ 又>0 ∴>0即 ‎∴在上为减函数。 ‎ ‎（Ⅲ）因是奇函数，从而不等式： ‎ 等价于， ‎ 因为减函数，由上式推得：．即对一切有：， ‎ 从而判别式 ‎【考点】函数的奇偶性、单调性，抽象不等式的解法。‎ 点评：中档题，本题将函数的奇偶性、单调性，抽象不等式的解法综合在一起考查，注重了学生综合运用数学知识处理问题能力的考查。解答过程中，注意利用转化与化归思想，将抽象不等式问题，转化成具体不等式求解，是正确解题的关键。‎ ‎22．对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数，的值域是，则称区间为函数的“保值”区间.‎ ‎（1）求函数的所有“保值”区间.‎ ‎（2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)的取值范围是.‎ ‎【解析】分析：（1）由已知中“保值”区间的定义，结合函数的值域是，我们可得 ，从而函数在区间上单调递增，故有，结合 即可得到函数函数的“保值”区间；（2）由已知中“保值”区间的定义，我们分函数在区间上单调递减，和函数在区间上单调递增，两种情况分类讨论，分别将用或表示，利用二次函数配方法可得到结论.‎ 详解：（1）因为函数的值域是，且在的最后综合讨论结果，即可得到值域是，‎ 所以，所以，从而函数在区间上单调递增，‎ 故有，解得.‎ 又，所以.‎ 所以函数的“保值”区间为.‎ ‎（2）若函数存在“保值”区间，则有：‎ ‎①若，此时函数在区间上单调递减，‎ 所以，消去得，整理得.‎ 因为，所以，即.‎ 又，所以.‎ 因为 ，‎ 所以.‎ ‎②若，此时函数在区间上单调递增，‎ 所以，消去得，整理得.‎ 因为，所以，即.‎ 又，所以.‎ 因为 ，‎ 所以.‎ 综合①、②得，函数存在“保值”区间，此时的取值范围是. ‎ 点睛：本题考查函数的单调性、函数与方程思想以及分类讨论思想的应用、新定义问题，属于难题.‎ 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.‎