【数学】2020届一轮复习人教A版空间向量在立体几何中的综合应用学案

【数学】2020届一轮复习人教A版空间向量在立体几何中的综合应用学案

总复习：空间向量在立体几何中的应用 ‎ ‎ ‎【考纲要求】‎ ‎1. 理解直线的方向向量与平面的法向量.‎ ‎2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.‎ ‎3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.‎ ‎4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.‎ ‎【知识网络】‎ ‎ ‎ ‎【考点梳理】‎ 空间向量在立体几何中的应用401056 知识要点】‎ 考点一：立体几何中垂直和平行命题 对于垂直问题，一般是利用进行证明；‎ 对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．‎ 考点二：立体几何中有关角的求解 利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。‎ 考点三：立体几何中有关距离的计算 设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。‎ 考点四：利用平面法向量求角 设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。‎ 线线角的求法：‎ 设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。（注意：线线角的范围[00,900]）‎ 线面角的求法：‎ 设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。‎ 二面角的求法：‎ 设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）‎ 考点五：利用法向量求空间距离 ‎⑴ 点A到平面的距离：‎ ‎，其中，是平面的法向量。‎ ‎⑵ 直线与平面之间的距离：‎ ‎，其中，是平面的法向量。‎ ‎⑶ 两平行平面之间的距离：‎ ‎，其中， 是平面的法向量。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：利用空间向量证明有关平行或垂直 例1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点 ‎（1）求证：AD⊥D1F；‎ ‎（2）求AE与D1F所成的角；‎ ‎（3）证明平面AED⊥平面A1FD1‎ ‎【思路点拨】涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证法 ‎【解析】建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，‎ 则A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2) ，D1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)‎ ‎ (1)证明： ‎ ‎∴=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD⊥D1F ‎（2）解：=（2，0，1）， =（1，0，-2），| ，|‎ 设AE与D1F的夹角为θ，‎ 则cosθ=‎ 所以，直线AE与D1F所成的角为90°.‎ ‎（3）证明：由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，‎ 又AD∩AE=A，∴D1F⊥平面AED，‎ ‎∵D1F平面A1FD1M ‎∴平面AED⊥平面A1FD1 。‎ ‎【总结升华】用向量法证明垂直，就是证有关向量的数量积为0。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】如图，在棱长为2的正方体中，分别为、的中点，分别为与的中点．指出直线与平面的位置关系．‎ ‎【解析】以AB、AA1、AD所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系如图所示，‎ 则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0), A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(2,2,2),D1(0,2,2),‎ 从而E(1,0,2),F(0,1,2),G(2,1,0),H(1,1,2),‎ ‎，‎ ‎∴，即,‎ 又,∴.‎ 类型二：利用空间向量求异面直线所成的角 例2．在正四面体ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求异面直线AF、CE所成角的余弦值.‎ ‎【思路点拨】求异面直线所成的角，可通过过某一点作异面直线的平行线，转化为求相交直线所成的角.这里因为E为AD的中点，故可取FD的中点G，由三角形的中位线定理知EG//AF，从而求AF、CE所成的角.‎ ‎【解析】如图，连DF，取DF的中点G，连GE、GC，‎ ‎∵E为AD的中点，∴EG//AF， ‎ ‎∴∠GEC即为AF、CE所成的角.‎ 设正四面体的棱长为a, 则CE=AF=DF=a, ‎ ‎∴ EG=FG=a,在RtΔGFC中,CG==a.‎ ‎∴在ΔECG中，由余弦定理可得：cos∠GEC==,‎ ‎∴异面直线AF、CE所成的角的余弦值.‎ ‎【总结升华】作异面直线所成的角常用的方法 ‎①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线或利用中位线；‎ ‎②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.‎ 一般来说，平移法是最常用的，应作为求两异面直线所成角的首选方法；‎ ‎③向量法：用夹角公式.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】D；‎ 设，则 ，以为坐标原点建立直角坐标系如图所示，‎ 则,‎ ‎ ‎ 所以异面直线所成角的余弦值为。‎ 类型三：直线与平面所成的角 例3、正方体ABCD-EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a, 求直线PQ与平面ABCD所成的角的正切值；‎ ‎【思路点拨】先作出PQ在面ABCD内的射影，由于面BFGC⊥面ABCD，作QM⊥BC于M，则MP就是QP在面ABCD内的射影，∠QPM就是要求的角.‎ ‎【解析】作QM⊥BC于M，连MP，‎ 则∠QPM就是直线PQ与平面ABCD所成的角 易得：QM=， MP=（1- ‎∴tan∠QPM= ‎【总结升华】求直线和平面所成的角，关键是作出斜线在平面内的射影，将直线与平面所成的角转化成线线所成的角.‎ ‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥面ABC．‎ ‎(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值；‎ ‎(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；‎ ‎【解析】(1)以A为坐标原点，分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴,以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系.‎ 在直角△ABC中,∵AB=，AC=2，∴BC=1‎ A(0,0,0)，B(0,,0)，C(1,,0)，P(0,0,1).‎ ‎(0,,0)，(1,,),‎ cos<,>===‎ ‎∴直线AB与直线PC所成的角余弦为.‎ ‎(2)取平面ABC的一个法向量=(0，0，1)，‎ 设PC和面ABC所成的角为，则 sin=|cos<，>|==.‎ ‎∴PC和面ABC所成的角的正弦值为．‎ 类型四：有关二面角问题 例4（2018 惠州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．‎ ‎（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，‎ ‎∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．‎ ‎∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴BQ⊥平面PAD．‎ ‎∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．‎ 证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，‎ ‎∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．‎ ‎∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．‎ ‎∵PA=PD，∴PQ⊥AD．‎ ‎∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．‎ ‎∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD ‎（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴PQ⊥平面ABCD．‎ 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．‎ 则平面BQC的法向量为；‎ Q（0，0，0），，，．‎ 设M（x，y，z），则，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴‎ 在平面MBQ中，，，‎ ‎∴平面MBQ法向量为．‎ ‎∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，‎ ‎∴，‎ ‎∴t=3．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】（2018 漳州二模）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．‎ ‎【证明】（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．‎ 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，‎ 从而AC⊥平面BDE．‎ ‎【解析】（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．‎ 因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，‎ 所以．‎ 由AD=3，可知，．‎ 则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），‎ 所以，．‎ 设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．‎ 令，则=．‎ 因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．‎ 所以，‎ 因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为 ‎（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．‎ 则．‎ 因为AM∥平面BEF，‎ 所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．‎ 此时，点M坐标为（2，2，0），‎ 即当时，AM∥平面BEF 类型五：利用空间向量求空间距离 例5.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，，,求点E到平面ACD的距离。‎ ‎【解析】以O为原点，如图建立空间直角坐标系，‎ 则 设平面ACD的法向量为则 ‎，令得是平面ACD的一个法向量。‎ 又 点E到平面ACD的距离 ‎【总结升华】求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标(两种方法)，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d=|||cos〈，〉。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离 ‎【解析】如下图，‎ 因为∠ACD=90°，所以· =0， ‎ 同理，·=0 因为AB与CD成60°角，所以〈，〉=60°或120°‎ 因为=＋＋，‎ 所以 所以｜｜=2或，‎ 即B、D间的距离为2或。‎ 类型六：空间向量在立体几何中的综合应用 例6. 如图，在三棱锥中，，，，．‎ A C B P ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）求点到平面的距离．‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）取中点，连结．‎ A C B D P ‎，．‎ ‎，．‎ ‎，‎ 平面．‎ 平面，‎ ‎．‎ A C B E P ‎（Ⅱ），，．‎ 又，．‎ 又，即，且，‎ 平面．‎ 取中点．连结．‎ ‎，．‎ 是在平面内的射影，．‎ 是二面角的平面角．‎ 在中，，，，‎ ‎．‎ A C B D P H 二面角的正弦值为．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，‎ 平面平面．‎ 过作，垂足为．‎ 平面平面，‎ 平面．‎ 的长即为点到平面的距离．‎ 由（Ⅰ）知，又，且，‎ 平面．‎ 平面，‎ ‎．‎ 在中，，，‎ ‎．‎ ‎． ‎ 点到平面的距离为．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】如图，在直四棱柱中，已知，，．‎ B C D A E G ‎（Ⅰ）设是的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）连结，则四边形为正方形，‎ ‎，且，‎ 四边形为平行四边形．．‎ 又平面，平面，‎ 平面．‎ ‎（Ⅱ）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ B C D A E z y x F M 不妨设，则，，，，，‎ ‎，，‎ 设为平面的一个法向量．‎ 由，，得 取，则．‎ 又，，‎ 设为平面的一个法向量，‎ 由，，得取，则，‎ 设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，‎ ‎．，‎ 即所求二面角的余弦为．‎