【数学】2019届一轮复习人教A版理第2章第2节　函数的单调性与最值教案

【数学】2019届一轮复习人教A版理第2章第2节　函数的单调性与最值教案

第二节　函数的单调性与最值 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．‎ ‎(对应学生用书第11页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．函数的单调性 ‎(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2‎ 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 ‎(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．‎ ‎2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ‎(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；‎ ‎(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M ‎(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；‎ ‎(4)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 ‎[知识拓展]　函数单调性的常用结论 ‎(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数，＜0⇔f(x)在D上是减函数，即Δx与Δy同号增，异号减．‎ ‎(2)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．‎ ‎(3)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．‎ ‎(4)f(x)＝x＋(a＞0)的单调性，如图221可知，(0，]减，[，＋∞)增，[－，0)减，(－∞，－a]增．‎ 图221‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　)‎ ‎(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)‎ ‎(3)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　)‎ ‎(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)‎ ‎(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　)‎ ‎(6)所有的单调函数都有最值．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×‎ ‎2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)‎ A．y＝|x|　　 B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋4‎ A　[y＝3－x在R上递减，y＝在(0，＋∞)上递减，y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减，‎ 故选A．]‎ ‎3．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图222所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．‎ 图222‎ ‎[答案]　[－1,1]，[5,7]‎ ‎4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．‎ 　[由题意知2k＋1＜0，得k＜－.]‎ ‎5．(教材改编)已知f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．‎ ‎2　　[易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，‎ 故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]‎ ‎(对应学生用书第12页)‎ 确定函数的单调性(区间)‎ ‎　(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)‎ A．(－∞，－2)　　 B．(－∞，1)‎ C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)‎ ‎(2)试讨论函数f(x)＝x＋(k＞0)的单调性．‎ ‎(1)D　[由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.‎ 设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．‎ 要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．‎ ‎∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．‎ 故选D．]‎ ‎(2)法一：(导数法)f′(x)＝1－.‎ 令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．‎ 令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－，0)或x∈(0，)，故函数的单调减区间为(－，0)和(0，)．‎ 故函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减．‎ 法二：(定义法)由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1)·.‎ 因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.‎ 故当x1，x2∈(，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)，‎ 即函数在(，＋∞)上单调递增．‎ 当x1，x2∈(0，)时，f(x1)＞f(x2)，‎ 即函数在(0，)上单调递减．‎ 考虑到函数f(x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减．‎ 综上，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减．‎ ‎[规律方法]　1.对于选择题，填空题可用下面四种方法判断函数单调性 (1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分)、定号、下结论.‎ (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.‎ (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.‎ (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.‎ ‎2.证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.‎ 易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.‎ ‎②如有多个单调增(减)区间应分别写，不能用“∪”联结.‎ ‎[跟踪训练]　(1)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(　　)‎ A．y＝ B．y＝cos x C．y＝ln(x＋1)‎ D．y＝2－x ‎(2)y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间为________. ‎ ‎【导学号：97190025】‎ ‎(1)D　(2)(－∞，－1]，[0,1]　[(1)选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1,1)上为增函数；‎ 选项B中，y＝cos x在(－1,1)上先增后减；‎ 选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；‎ 选项D中，y＝2－x＝在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．‎ ‎(2)由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．‎ 由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数．]‎ 求函数的最值 ‎　(1)函数y＝x＋的最小值为________；‎ ‎(2)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．‎ ‎(1)1　(2)2　[(1)令＝t，则t≥0，x＝t2＋1，‎ ‎∴y＝t2＋t＋1＝＋，‎ 由二次函数的性质可知，当t≥0时，函数为增函数，∴当t＝0时，ymin＝1.‎ ‎(2)法一：∵f′(x)＝－，‎ ‎∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，‎ ‎∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.‎ 法二：∵f(x)＝＝＝1＋，‎ ‎∴f(x)的图象是将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝在[1，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.‎ 法三：由题意可得f(x)＝1＋.‎ ‎∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜≤1，‎ ‎∴1＜1＋≤2，即1＜≤2.‎ 故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.]‎ ‎[规律方法]　求函数最值的常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.‎ (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.‎ (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.‎ ‎[跟踪训练]　(1)函数f(x)＝的最大值是________. ‎ ‎【导学号：97190026】‎ ‎(2)(2017·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)‎ A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 ‎(1)2　(2)B　[(1)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.‎ ‎(2)法一：设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.‎ ‎∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B．‎ 法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，故函数f(x)在区间[0,1]的最大值M和最小值m变化，则M－m的值在变化，故与a有关．故选B．]‎ 函数单调性的应用 ‎◎角度1　比较大小 ‎　已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c D　[根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a＝f＝f，f(2)＞f(2.5)＞f(3)，所以b＞a＞c.]‎ ‎◎角度2　解抽象不等式 ‎　f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)≤2的解集为________．‎ ‎(8,9]　[因为2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2可得f[x(x－8)]≤f(9)，f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8

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