狂刷11 导数的应用-试题君之小题狂刷君2017-2018学年高考数学（文）人教版
专题三 导数及其应用
狂刷11 导数的应用
1．函数的单调减区间为
A． B．
C． D．
【答案】B
2．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】=3x2−2ax−1．∵f(x)在上单调递减，∴不等式3x2−2ax−10在(0，1)上恒成立．∴≤0，≤0，∴a≥1．故选A．
3．若，则下列说法一定正确的是
A．f (a)
f (b)
C．f (a)>f (e) D．f (e) >f (b)
【答案】C
【解析】，由得x>，由得00时，y=f (x)，y=g(x)都是增函数，∴x<0时，y=f (x)是增函数，y=g(x)是减函数，即x<0时，f ′(x)>0，g′(x)<0．故选B．
7．已知函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题可得，因为恰有三个单调区间，所以有两个不同的实数根，所以且，即且，故实数的取值范围为．故选B．
8．若函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值，无极小值 B．函数有极小值，无极大值
C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值
【答案】A
9．已知函数的定义域为，若对任意，则的解集为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，因为，所以，
又，所以，所以由得，
故的解集为．故选B．
10．已知定义域为的函数的图象经过点，且对任意的，都有，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】C
11．若函数在处取得极小值，则实数______________．
【答案】
【解析】，由题意可知，则．
12．函数y=的最大值为______________．
【答案】e−1
【解析】令y'==0，得x=e，当x>e时，y'<0;当x0，y极大值=y|x=e=e−1，在定义域内只有一个极值，所以ymax=e−1．
13．已知某生产厂家的年利润(单位：万元)与年产量(单位：万件)的函数关系式为
，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为______________万件．
【答案】9
【解析】y′=−x2＋81，令y′=0，得x=9，且经讨论知x=9是函数的极大值点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．
14．抛物线与轴所围成的封闭图形的内接矩形的最大面积为______________．
【答案】
【解析】设矩形在第一象限的顶点坐标为，则抛物线与轴所围成的封闭图形的内接矩形的面积，所以，令，可得．当时，；当时，，所以当时，取得最大值，且．
15．若，，则有
A． B．
C． D．
【答案】C
【方法点睛】利用导数研究函数单调性的基本步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导函数；（3）由(或)，解出相应的x的取值范围．当时，在相应的区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数．利用导数研究函数的单调性需注意的问题是首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调性．本题主要考查利用导数与函数单调性之间的关系，考查逻辑思维能力、计算能力，属于基础题．
16．直线分别与曲线交于点，则的最小值为
A．2 B．
C．1 D．
【答案】A
【解析】令，令，得(负值舍去)． 又在上为增函数，即在区间上成立，而的导数恒为，也就是说，从起，越来越陡，保持匀速递增，两个图象的水平距离越来越大，故当时，取得最小值为．故选A．
【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，数形结合的数学思想方法．一开始，我们可以先利用导数画出两个函数的图象．对比这两个图象间的水平距离，会发现可以先求出函数的切线与平行的那条的方程，由此就可以求出两者水平距离的最小值．由于是匀速递增的，而在增加得越来越快，从图象上看出，两种水平距离越来越大．
17．如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为
A． B．
C． D．
【答案】C
d
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