甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

合作一中2019-2020学年第一学期期末考试高二理科数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知，则“”是“”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】若则不存在，‎ 若，可得，故选D ‎2.命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A. 若，则且 B. 若，则 C. 若或，则 D. 若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据逆否命题的定义即可写出原命题的逆否命题.‎ ‎【详解】根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：‎ 若，或，则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】考查逆否命题的定义，以及写出原命题的逆否命题的方法.‎ ‎3.向量，，若与垂直，则实数k=( )‎ A. 6 B. －‎7 ‎C. 7 D. －6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先表示出的坐标，再根据与垂直，则，即可得解；‎ ‎【详解】解：因为，，‎ 所以 因为与垂直，所以，即，解得，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题.‎ ‎4.如果命题“p∨q”与命题“┓p”都是真命题，那么( )‎ A. 命题p不一定是假命题 B. 命题q一定为真命题 C. 命题q不一定是真命题 D. 命题p与命题q的真假相同 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为是真命题，所以一定为假命题，所以只有为真命题时才为真，选B ‎5.空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )‎ A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），=﹣2，从而得到直线AB与CD平行．‎ ‎【详解】∵空间直角坐标系中，‎ A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），‎ ‎∴=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），‎ ‎∴=﹣2，‎ ‎∴直线AB与CD平行．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查空间两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．‎ ‎6.若平面，的法向量分别为，，则( )‎ A. B. 与相交但不垂直 C. D. 或与重合 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可判断两个平面的法向量共线，根据法向量平行可知两平面平行．‎ ‎【详解】解：因为平面，的法向量分别为，‎ 即，所以 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用问题，属于基础题．‎ ‎7.抛物线y2＝－ax的准线方程为x＝－2，则a的值为(　　)‎ A. 4 B. －‎4 ‎C. 8 D. －8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的准线方程为，结合题意，即可求得的值.‎ ‎【详解】因为的准线方程为，‎ 所以由的准线方程为，得，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查的是抛物线的简单性质，掌握抛物线的准线方程为，‎ 是解题的关键，属于基础题目.‎ ‎8.三棱锥中，，，，则等于( )‎ A. 0 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果．‎ ‎【详解】解：因为，‎ 即，‎ 所以 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量，属于基础题．‎ ‎9.若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）‎ A. 11 B. ‎9 ‎C. 5 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由双曲线定义得，即，解得，故选B．‎ 考点：双曲线的标准方程和定义．‎ ‎10.在长方体中，，，，则与所成角的余弦值是( )‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值．‎ ‎【详解】解：建立如图坐标系，‎ 在长方体中，，，，‎ ‎， ，， ，‎ ‎，．‎ 所以，，‎ ‎，．‎ 与所成角的余弦值为0．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于基础题．‎ ‎11.已知抛物线准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，‎ 所以抛物线焦点坐标为，故答案选 考点：抛物线方程和性质 ‎12.设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由抛物线的性质可得，故选D.‎ 考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）‎ ‎13.已知命题，则：_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．‎ ‎【详解】解：命题为全称命题，则命题的否定为：，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．‎ ‎14.过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 双曲线的右焦点，渐近线方程为，过双曲线右焦点且与轴垂直的直线，，可得，故答案为.‎ ‎15.已知，，若，则k=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用空间向量的数量积计算可得；‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以，，， ‎ 又 所以 所以，解得或 因为，所以，‎ 所以，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的数量积的运算，属于基础题.‎ ‎16.已知为，当B在曲线上运动时，线段的中点M的轨迹方程是___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出的坐标，求出的坐标，动点在抛物线上运动，点满足抛物线方程，代入求解，即可得到的轨迹方程．‎ ‎【详解】解：设的坐标，由题意点与点所连线段的中点，可知，‎ 动点在抛物线上运动，所以，所以．‎ 所以点与点所连线段的中的轨迹方程是：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.若命题p：函数在区间上是减函数，写出，若是假命题，求a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知函数在区间上是减函数是真命题，从而得，从而解得．‎ ‎【详解】解：：函数在区间上不是减函数.‎ 因为为假命题，所以p为真命题.‎ 因此.‎ 故，即所求a的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了复合命题的判断及二次函数的单调性的应用，属于基础题．‎ ‎18.椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，﹣）‎ ‎（1）求椭圆标准方程．‎ ‎（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．‎ ‎【答案】（1）椭圆的标准方程为：+=1，‎ ‎（2）椭圆的长轴长：2，短轴长2，离心率e==．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），结合两点之间距离公式，求出‎2a，进而求出b，可得椭圆标准方程．‎ ‎（2）由（1）中椭圆标准方程，可得椭圆长轴长、短轴长、离心率．‎ 解：（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），‎ 则‎2a=+=2，‎ 即a=，‎ 又∵c=2，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=6，‎ 故椭圆的标准方程为：+=1，‎ ‎（2）由（1）得：‎ 椭圆的长轴长：2，‎ 短轴长2，‎ 离心率e==．‎ 考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎19.已知空间三点，设. ‎ ‎（1）求和的夹角的余弦值；‎ ‎（2）若向量与互相垂直，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量夹角公式即可得出；‎ ‎（2）利用两个向量互相垂直，其数量积为0，可得关于的方程.‎ ‎【详解】， ‎ ‎．‎ ‎（1），‎ 所以与的夹角的余弦值为. ‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 所以,‎ 即，‎ 所以或.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的夹角、数量积运算、共线向量定理，求解时要充分利用平面向量已有的知识进行问题类比求解，考查基本运算求解能力．‎ ‎20.过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．‎ ‎(1)求|AB|；‎ ‎(2)求△AOB的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)联立方程，利用韦达定理直接利用弦长公式得到答案.‎ ‎(2)求原点到直线的距离，再利用面积公式得到答案.‎ ‎【详解】解：(1)由双曲线的方程得，∴，F1(－3，0)，F2(3，0)．‎ 直线AB的方程为．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x2＋6x－27＝0‎ ‎∴，.‎ ‎∴‎ ‎(2)直线AB的方程变形为.‎ ‎∴原点O到直线AB的距离为.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了弦长和面积，是圆锥曲线里面的常规题型，意在考查学生的计算能力.‎ ‎21.已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.‎ ‎（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合可求，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把 转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求 试题解析：（1）为等边三角形，则 椭圆的方程为：； ‎ ‎（2）容易求得椭圆的方程为， ‎ 当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由得，设，‎ 则， ‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 即 解得，即，‎ 故直线方程为或.‎ 考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．‎ ‎22.如图，在直三棱柱中，，，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值大小．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直．‎ ‎（2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案．‎ ‎【详解】直三棱柱，底面三边长，，，，，两两垂直．‎ 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则 ‎（1），，‎ ‎，故。‎ ‎（2）平面的一个法向量为，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，，‎ 由得：‎ 令，则，则．‎ 故，．‎ 所求二面角的余弦值。‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力．‎