数学（理）卷·2017届黑龙江省牡丹江一中高三12月月考（2016

数学（理）卷·2017届黑龙江省牡丹江一中高三12月月考（2016

牡一中2017届高三学年12月月考考试 数学理科试题 一、选择题（本大题共有个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知等差数列中，，则其前5项和为（ ）‎ A．5 B． 6 C．15 D． 30‎ ‎3.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4． 函数的大致图像为（ ） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5、已知、是两条不同的直线, 、是两个不同的平面,给出下列命题:‎ ‎①若,则;②若,且则;‎ ‎③若,则;④若,,且,则.‎ 其中正确命题的个数是（ ） ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎6．已知p：，，q：，，则下列命题为真命题的是（ ）‎ ‎ A． B. C. D.‎ ‎7、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，‎ 则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.设满足，若的最大值为，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.定义在上的函数满足，，且时，，则（ ）‎ A. B． C．1 D．‎ ‎11．如右上图，将绘有函数的部分图象 的纸片沿轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则 （ ）[‎ A. B. C. D.‎ ‎12．设函数，（为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B． C． D． ‎ 二、填空题（本大题共有个小题，每小题分，共分）‎ ‎13．已知平面向量与的夹角等于，如果，那么 ‎ ‎14．经过坐标原点和点，并且圆心在直线上的圆的方程为 ‎ ‎15．已知各项均为正数的数列前项和为，若，，则=_____________‎ ‎16．在正三棱锥内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于 ‎ 三、解答题（本大题共有个小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）设函数 ‎（1）解不等式； （2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，在中，，点在BC边上，且 ‎ （1）求 ‎ ‎ （2）求的长 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分） 已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.‎ ‎(1)求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝anbn，n∈N，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，‎ ‎，,是的中点．‎ ‎（1）求证:平面⊥平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成角的正弦值为，‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22. （本小题满分12分） 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点. ‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）记两个极值点分别为已知，若不等式恒成立，求的范围.‎ 牡一中2017届高三数学12月月考试题参考答案 选择 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C D C B C D D A A B D 填空 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17．（1）‎ （2） ‎，当且仅当时等号成立 ‎18．（1）略 （2）‎ ‎19．（本题12分）解：⑴‎ ‎ ‎ ‎⑵中 ‎.即 解得,‎ 在中，‎ ‎ ‎ 所以 ‎20. 解：(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意知q>0.‎ 由已知，有消去d，整理得q4－2q2－8＝0.又因为q>0，解得q＝2，所以d＝2.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N；数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N.‎ ‎(2)由(1)有cn＝(2n－1)×2n－1，设{cn}的前n项和为Sn，则 Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，‎ ‎2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，‎ 上述两式相减，‎ 得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n ‎ ＝－(2n－3)×2n－3， ‎ 所以，Sn＝(2n－3)×2n＋3，n∈N.‎ ‎21.‎ ‎22.解：()依题意得函数得定义域为(0,+)，所以方程在(0,+)有两个不同的根，‎ 即方程在 (0,+)有两个不同的根. 问题转化为函数与的图象(0,+)有两个不同的交点.‎ 又即当时，；当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.从而 ]‎ 又有且只有一个零点是1，且当时，；‎ 当时，. 所以，要想函数与函数的图象(0,+)有两个不同的交点， ‎ 只需. ‎ ‎()因为等价于，由()可知分别是方程的两个根，‎ 即，所以原式等价于，‎ 因为，所以原式等价于. 又由作差得，即.所以原式等价于，因为时，原式恒成立，即恒成立.令，则不等式在上恒成立. ‎ ‎ 令，又，‎ 当时，可见时，，所以上单调递增,‎ 又上恒成立，符合题意. ‎ 当时，可见当时，，当时，所以上单调递增, 在上单调递减， 又上不能恒成立，不符合题意，舍去.‎ 综上所述，若不等式恒成立，只需， 又，所以. ‎