数学·江苏省苏北四市2017届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析

数学·江苏省苏北四市2017届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析

‎2016-2017学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁UA=　　．‎ ‎2．已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为　　．‎ ‎3．函数y=cos（x+）的最小正周期为　　．‎ ‎4．如图是一个算法的流程图，则输出x的值为　　．‎ ‎5．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取　　人．‎ ‎6．若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为　　．‎ ‎7．设实数x，y满足，则3x+2y的最大值为　　．‎ ‎8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2=3，S4=16，则S9的值为　　．‎ ‎9．将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是　　．‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是　　．‎ ‎11．若tanβ=2tanα，且cosαsinβ=，则sin（α﹣β）的值为　　．‎ ‎12．已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为　　．‎ ‎13．已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则•的取值范围是　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．‎ ‎15．（14分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若c=3，求b的长．‎ ‎16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证：‎ ‎（1）直线A1E∥平面ADC1；‎ ‎（2）直线EF⊥平面ADC1．‎ ‎17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）‎ ‎（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；‎ ‎（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．‎ ‎18．（16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．‎ ‎（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；‎ ‎（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．‎ ‎19．（16分）在数列{an}中，已知a1=，an+1=an﹣，n∈N*，设Sn为{an}的前n项和．‎ ‎（1）求证：数列{3nan}是等差数列；‎ ‎（2）求Sn；‎ ‎（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．‎ ‎（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求证：f（）≤0；‎ ‎（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎21．（10分）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．（10分）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，求证：|2x+y﹣3|＜c．‎ ‎　‎ 七、解答题（共2小题，满分20分）‎ ‎25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．‎ ‎（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；‎ ‎（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．‎ ‎26．（10分）设n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．‎ ‎（1）求f（1），f（2），f（3）的值；‎ ‎（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．（2016秋•江苏期中）已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁UA=　{0，1}　．‎ ‎【考点】补集及其运算．‎ ‎【专题】集合思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】根据补集的定义进行计算即可．‎ ‎【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2}，‎ 集合A={﹣1，2}，‎ 所以∁UA={0，1}．‎ 故答案为：{0，1}．‎ ‎【点评】本题考查了补集的定义与计算问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎2．（2016秋•江苏期中）已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为　1　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：由z（1﹣i）=2，得，‎ ‎∴z的实部为1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2016秋•江苏期中）函数y=cos（x+）的最小正周期为　4π　．‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【专题】计算题；定义法；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】找出ω的值，代入周期公式计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：∵ω=，‎ ‎∴函数的最小正周期T==4π，‎ 故答案为：4π ‎【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2016秋•江苏期中）如图是一个算法的流程图，则输出x的值为　23　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【专题】综合题；数形结合；数形结合法；算法和程序框图．‎ ‎【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的S是什么．‎ ‎【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知 第1次循环，x=5，n=2；‎ 第2次循环，x=11，n=3；‎ 第3次循环，x=23，n=4；‎ 退出循环，输出x=23．‎ 故答案为：23．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（2016秋•江苏期中）某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取　8　人．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计．‎ ‎【分析】先求出足球、篮球、排球的成员的比例，再根据比例确定足球兴趣小组应抽取的学生数．‎ ‎【解答】解：足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人则比例为40：60：20=2：3：1，‎ 则足球兴趣小组中应抽取：24×=8人 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查基本的分层抽样，本题考查分层抽样的定义和方法，用样本容量除以每个个体被抽到的概率等于个体的总数．属基本题．‎ ‎　‎ ‎6．（2016秋•江苏期中）若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为　　．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【专题】计算题；集合思想；定义法；概率与统计．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数，再求出这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数，由此能求出这两个数恰好为一奇一偶的概率．‎ ‎【解答】解：随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，‎ 基本事件总数n=，‎ 这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数m==6，‎ ‎∴这两个数恰好为一奇一偶的概率p==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．（2016秋•江苏期中）设实数x，y满足，则3x+2y的最大值为　3　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：‎ 设z=3x+2y，则y=，‎ 平移直线y=，由图象可知当直线y=，‎ 经过点C时，直线y=的截距最大，此时z最大，‎ 由，解得，‎ 即C（1，0），‎ 此时zmax=3×1+2×0=3，‎ 故答案为：3‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（2016秋•江苏期中）设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2=3，S4=16，则S9的值为　81　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2=3，S4=16，‎ ‎∴a1+d=3，4a1+d=16，‎ 解得a1=1，d=2．‎ 则S9=9+×2=81．‎ 故答案为：81．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（2016秋•江苏期中）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是　　．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；演绎法．‎ ‎【分析】几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．‎ ‎【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2．‎ ‎∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2．‎ ‎∴几何体的体积V=2×=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由B2F⊥AB1，可得•=0，即可得出．‎ ‎【解答】解：F（c，0），A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），‎ ‎∴=（﹣c，b），=（a，b），‎ ‎∵B2F⊥AB1，∴•=﹣ac+b2=0，‎ ‎∴a2﹣c2﹣ac=0，‎ 化为：e2+e﹣1=0，0＜e＜1．‎ 解得e=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•江苏期中）若tanβ=2tanα，且cosαsinβ=，则sin（α﹣β）的值为　﹣　．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得 2sinαcosβ=cosαsinβ，再根据cosαsinβ=，求得 sinαcosβ的值，利用两角差的正弦公式求得sin（α﹣β）的值．‎ ‎【解答】解：∵tanβ=2tanα，即=2，‎ ‎∴2sinαcosβ=cosαsinβ．‎ ‎∵cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，则sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣=﹣，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（2016秋•江苏期中）已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为　36　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【专题】转化思想；不等式．‎ ‎【分析】正数a，b满足+=﹣5，﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：∵正数a，b满足+=﹣5，‎ ‎∴﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，‎ 解得≥6，当且仅当=，+=﹣5，即a=2，b=18时取等号．‎ 解得ab≥36．‎ 故答案为：36．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（2016秋•江苏期中）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则•的取值范围是　[﹣9，0]　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，‎ 设出点M（x，y），表示出•，求出它的最值即可．‎ ‎【解答】解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，‎ 如图所示；‎ 且圆O的直径为AB，‎ 设M（x，y），‎ 则A（4，0），B（﹣4，0），‎ ‎=（4﹣x，﹣y），‎ ‎=（﹣4﹣x，﹣y）；‎ ‎•=（4﹣x）（﹣4﹣x）+（﹣y）2=x2+y2﹣16，‎ 又M是圆O的弦CD上一动点，且CD=6，‎ 所以16﹣9≤x2+y2≤16，‎ 即7≤x2+y2≤16，其中最小值在CD的中点时取得，‎ 所以•的取值范围是[﹣9，0]．‎ 故答案为：[﹣9，0]．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系，表示出出•，是综合性题目．‎ ‎　‎ ‎14．（2016秋•江苏期中）已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣5]　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由题意可得f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，分离参数，得到a≤﹣|x+2|，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．画出图象，结合图象即可得到a的取值范围．‎ ‎【解答】解：f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，‎ 当x=2时，f（x）=0恒成立，‎ 当x≠2时，‎ ‎∴|x+2|+a≤0，‎ ‎∴a≤﹣|x+2|，‎ 设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．则其图象为：‎ 由图象可知ymin=﹣5，‎ a≤﹣5，‎ 故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]，‎ 故答案为：（﹣∞，﹣5]‎ ‎【点评】本题考查了参数的取值的范围，关键是分离参数，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．‎ ‎15．（14分）（2016秋•江苏期中）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若c=3，求b的长．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】（1）利用两角和的正切函数公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan（B+C）的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式得到tanA等于﹣tan（B+C），进而得到tanA的值，结合A的范围即可得解；‎ ‎（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用正弦定理即可得解b的值．‎ ‎【解答】（本题满分为10分）‎ 解：（1）因为：tanB=2，tanC=3，tan（B+C）===﹣1，…（3分）‎ 因为：A=180°﹣B﹣C，（4分）‎ 所以：tanA=tan（180°﹣（B+C））=﹣tan（B+C）=1…‎ 因为：A∈（0，π），‎ 所以：A=．‎ ‎（2）因为：c=3，tanB=2，tanC=3．‎ 所以：sinB=，sinC=，‎ 所以由正弦定理可得：b===2…（10分）‎ ‎【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证：‎ ‎（1）直线A1E∥平面ADC1；‎ ‎（2）直线EF⊥平面ADC1．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点．可得四边形B1BDE是平行四边形，进而证明四边形AA1ED是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明直线A1E∥平面ADC1．‎ ‎（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，利用线面垂直的判定与性质定理可得AD⊥BB1，又△ABC是正三角形，可得AD⊥BC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．‎ ‎【解答】证明：（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点，‎ ‎∴B1E∥BD且B1E=BD，‎ ‎∴四边形B1BDE是平行四边形，‎ ‎∴BB1∥DE且BB1=DE，又BB1∥AA1且BB1=AA1，‎ ‎∴AA1∥DE且AA1=DE，‎ ‎∴四边形AA1ED是平行四边形，‎ ‎∴A1E∥AD，又∵A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，‎ ‎∴直线A1E∥平面ADC1．‎ ‎（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，‎ 又AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1，‎ 又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，∴AD⊥BC，‎ 又BB1，BC⊂平面B1BCC1，BB1∩BC=B，‎ ‎∴AD⊥平面B1BCC1，‎ 又EF⊂平面B1BCC1，∴AD⊥EF，‎ 又EF⊥C1D，C1D，AD⊂平面ADC1，C1D∩AD=D，‎ ‎∴直线EF⊥平面ADC1．‎ ‎【点评】本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）‎ ‎（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；‎ ‎（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；‎ ‎（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．‎ 因为l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为，‎ 设直线l的方程为x﹣y+m=0，…（2分）‎ 则圆心C到直线l的距离为．…（4分）‎ 因为，‎ 而，所以，…（6分）‎ 解得m=0或m=﹣4，‎ 故直线l的方程为x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．…（8分）‎ ‎（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x﹣2）2+y2=4，‎ PA2+PB2=（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2=12，‎ 即x2+y2﹣2y﹣3=0，即x2+（y﹣1）2=4，…（10分）‎ 因为，…（12分）‎ 所以圆（x﹣2）2+y2=4与圆x2+（y﹣1）2=4相交，‎ 所以点P的个数为2．…（14分）‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2016秋•江苏期中）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．‎ ‎（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；‎ ‎（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法．‎ ‎【分析】（1）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，求出GF，即可求灌溉水管EF的长度；‎ ‎（2）△ADC中，由余弦定理，得，即可求灌溉水管EF的最短长度．‎ ‎【解答】解：（1）因为AD=DC=2，BC=1，∠ABC=∠BAD=90°，‎ 所以，…（2分）‎ 取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，‎ 即=，‎ 解得，…（6分）‎ 所以（km）．‎ 故灌溉水管EF的长度为km．…（8分）‎ ‎（2）设DE=a，DF=b，在△ABC中，，‎ 所以在△ADC中，AD=DC=CA=2，‎ 所以∠ADC=60°，‎ 所以△DEF的面积为，‎ 又，所以，即ab=3．…（12分）‎ 在△ADC中，由余弦定理，得，‎ 当且仅当时，取“=”．‎ 故灌溉水管EF的最短长度为km．…（16分）‎ ‎【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查余弦定理，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2016秋•江苏期中）在数列{an}中，已知a1=，an+1=an﹣，n∈N*，设Sn为{an}的前n项和．‎ ‎（1）求证：数列{3nan}是等差数列；‎ ‎（2）求Sn；‎ ‎（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】数列的求和；等差关系的确定．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）把给出的数列递推式an+1=an﹣，n∈N*，变形后得到新数列{3nan}，该数列是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；‎ ‎（2）由（1）推出{an}的通项公式，利用错位相减法从而求得求Sn；‎ ‎（3）根据等差数列的性质得到2Sq=Sp+Sr，从而推知p，q，r的值．‎ ‎【解答】（1）证明：由an+1=an﹣，n∈N*，‎ 得到3n+1an+1=3nan﹣2，‎ 则3n+1an+1﹣3nan=﹣2．‎ 又∵a1=，‎ ‎∴3×a1=1，‎ 数列{3nan}是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；‎ ‎（2）由（1）可以推知：3nan=1﹣2（n﹣1），‎ 所以，an=，‎ 所以Sn=﹣﹣﹣﹣…﹣，①‎ Sn=﹣﹣﹣﹣…﹣，②‎ ‎①﹣②，得 Sn=﹣2（+++…+）﹣，‎ ‎=﹣2×﹣，‎ ‎=，‎ 所以Sn=．‎ ‎（3）假设存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差数列．‎ 则2Sq=Sp+Sr，‎ 即=+．‎ 由于当n≥2时，an=＜0，‎ 所以数列{Sn}单调递减．‎ 又p＜q，‎ 所以p≤q﹣1且q至少为2，‎ 所以≥，﹣=．‎ ‎①当q≥3时，≥≥，‎ 又＞0，‎ 所以＜+，等式不成立．‎ ‎②当q=2时，p=1，‎ 所以=+．‎ 所以=，‎ 所以r=3，（数列{Sn}单调递减，解唯一确定）．‎ 综上可知，p，q，r的值分别是1，2，3．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2016秋•江苏期中）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．‎ ‎（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求证：f（）≤0；‎ ‎（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；‎ ‎（2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；‎ ‎（3）由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）=﹣2x+1，‎ ‎∴f′（1）=0，‎ ‎∵f（1）=0，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0；‎ ‎（2）证明：f（）=﹣lna﹣+1（a＞0），‎ 令g（x）=﹣lnx﹣+1（x＞0），则g′（x）=，‎ ‎∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，‎ ‎∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，‎ ‎∴g（x）≤g（1）=0，‎ ‎∴f（）≤0；‎ ‎（3）解：由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，‎ ‎∴若函数f（x）有且只有1个零点，则a=2．‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎21．（10分）（2016•宿迁三模）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．‎ ‎【分析】连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．‎ ‎【解答】证明：连接AD，因为AB为圆的直径，‎ 所以∠ADB=90°，‎ 又EF⊥AB，∠AFE=90°，‎ 则A，D，E，F四点共圆，‎ ‎∴BD•BE=BA•BF，‎ 又△ABC∽△AEF，‎ ‎∴，即AB•AF=AE•AC ‎∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2．‎ ‎【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．（10分）（2016秋•江苏期中）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．‎ ‎【考点】几种特殊的矩阵变换．‎ ‎【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．‎ ‎【分析】确定变换前后坐标之间的关系，代入椭圆方程，即可求出曲线的方程．‎ ‎【解答】解：设椭圆C上的点（x1，y1）在矩阵A对应的变换作用下得到点（x，y），‎ 则，…‎ 则代入椭圆方程，得x2+y2=1，‎ 所以所求曲线的方程为x2+y2=1．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查矩阵变换，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．（2016秋•江苏期中）已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】由展开得，再利用互化公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由展开得，‎ 又ρcosθ=x，ρsinθ=y，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为．‎ ‎【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（2016秋•江苏期中）设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，求证：|2x+y﹣3|＜c．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式．‎ ‎【专题】选作题；转化思想；演绎法；不等式．‎ ‎【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．‎ ‎【解答】证明：由c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，‎ 可得|2x+y﹣3|=|2（x﹣1）+（y﹣1）|‎ ‎≤2|x﹣1|+|y﹣1|＜=c，‎ 则|2x+y﹣3|＜c成立．‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 七、解答题（共2小题，满分20分）‎ ‎25．（10分）（2016秋•江苏期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．‎ ‎（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；‎ ‎（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间角．‎ ‎【分析】（1）分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AP，BM所成角的余弦值；‎ ‎（2）求出平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．‎ ‎【解答】解：（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥AB，PA⊥AD，‎ 又因为∠BAD=90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．‎ 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则由AD=2AB=2BC=4，PA=4可得 A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），‎ P（0，0，4），‎ 又因为M为PC的中点，所以M（1，1，2）．‎ 所以，，…（2分）‎ 所以=，‎ 所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为．…‎ ‎（2）因为AN=λ，所以N（0，λ，0）（0≤λ≤4），则，，，‎ 设平面PBC的法向量为=（x，y，z），‎ 则令x=2，解得y=0，z=1，‎ 所以=（2，0，1）是平面PBC的一个法向量．…（7分）‎ 因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，‎ 所以，‎ 解得λ=1∈[0，4]，‎ 所以λ的值为1．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2016秋•江苏期中）设n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．‎ ‎（1）求f（1），f（2），f（3）的值；‎ ‎（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；归纳法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）由n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，分别取n=1，2，3，能求出f（1），f（2），f（3）的值．‎ ‎（2）利用用数学归纳法能证明对任意正整数n，f（n）是8的倍数．‎ ‎【解答】解：（1）∵n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，‎ ‎∴f（1）=3+7﹣2=8，‎ f（2）=32+72﹣2=56，‎ f（3）=33+73﹣2=368．‎ 证明：（2）用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当n=1时，f（1）=3+7﹣2=8，成立；‎ ‎②假设当n=k时成立，即f（k）=3k+7k﹣2能被8整除，‎ 则当n=k+1时，‎ f（k+1）=3k+1+7k+1﹣2‎ ‎=3×3k+7×7k﹣2‎ ‎=3（3k+7k﹣2）+4×7k+4‎ ‎=3（3k+7k﹣2）+4（7k+1），‎ ‎∵3k+7k﹣2能被8整除，7k+1是偶数，‎ ‎∴3（3k+7k﹣2）+4（7k+1）一定能被8整除，‎ 即n=k+1时也成立．‎ 由①②得：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．‎ ‎【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值是8的倍数的证明，是基础题，解题时要认真审，注意数学归纳法的合理运用．‎