2018届高三数学一轮复习： 重点强化训练4 直线与圆

2018届高三数学一轮复习： 重点强化训练4 直线与圆

重点强化训练(四)　直线与圆 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．“a＝”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直得(a＋1)(a－1)＋‎3a×(a＋1)＝0，解得a＝或a＝－1.‎ ‎∴“a＝”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的充分不必要条件．]‎ ‎2．若圆x2＋y2－2x＋6y＋‎5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，4) B.(－∞，0)‎ C．(－4，＋∞) D.(4，＋∞)‎ A　[圆的方程可变为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－‎5a，‎ 可知圆心(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.‎ ‎∵圆关于直线y＝x＋2b对称，‎ ‎∴点(1，－3)在直线上，则b＝－2.‎ ‎∴a－b＝2＋a<4.]‎ ‎3．已知定点A(1,0)，点B在直线x－y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是(　　)‎ A. B. C. D. A　[因为定点A(1,0)，点B在直线x－y＝0上运动，所以当线段AB最短时，直线AB和直线x－y＝0垂直，AB的方程为y＋x－1＝0，它与x－y＝0联立解得x＝，y＝，所以B的坐标是.]‎ ‎4．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)‎ ‎ 【导学号：01772306】‎ A. B. C. D. D　[因为l与圆x2＋y2＝1有公共点，则l的斜率存在，设斜率为k，所以直线l的方程为y＋1＝k(x＋)，‎ 即kx－y＋k－1＝0，‎ 则圆心到l的距离d＝.‎ 依题意，得≤1，解得0≤k≤.‎ 故直线l的倾斜角的取值范围是.]‎ ‎5．(2017·重庆一中模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，y轴被圆C截得的弦长与直线y＝2x＋b被圆C截得的弦长相等，则b＝(　　)‎ ‎ 【导学号：01772307】‎ A．－ B.± C．－ D.± D　[在(x－1)2＋(y－2)2＝2中，令x＝0，得(y－2)2＝1，解得y1＝3，y2＝1，则y轴被圆C截得的弦长为2，所以直线y＝2x＋b被圆C截得的弦长为2，所以圆心C(1,2)到直线y＝2x＋b的距离为1，‎ 即＝1，解得b＝±.]‎ 二、填空题 ‎6．经过两条直线3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是__________．‎ ‎ 【导学号：01772308】‎ ‎2x－y－7＝0　[由得即两直线的交点坐标为(3，－1)，又所求直线的斜率k＝2.‎ 则所求直线的方程为y＋1＝2(x－3)，即2x－y－7＝0.]‎ ‎7．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝__________.‎ ‎2　[因为点P(2,2)为圆(x－1)2＋y2＝5上的点，‎ 由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直．‎ 因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k＝2，故过点P(2,2)的切线斜率为－，‎ 所以直线ax－y＋1＝0的斜率为2，因此a＝2.]‎ ‎8．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为__________．‎ ‎0或6　[由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形．故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为.由点到直线的距离得＝，‎ 解得a＝0或a＝6.]‎ 三、解答题 ‎9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋‎2a＝0.‎ ‎(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；‎ ‎(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．‎ ‎[解]　将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.2分 ‎(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.5分 ‎(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，‎ 得8分 解得a＝－7或a＝－1.‎ 故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.12分 ‎10．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．‎ ‎(1)求线段AP中点的轨迹方程；‎ ‎(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．‎ ‎[解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y).2分 因为P点在圆x2＋y2＝4上，‎ 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，‎ 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.5分 ‎(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，‎ ‎|PN|＝|BN|.7分 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，‎ 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，10分 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝‎1”‎是“△OAB的面积为”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[将直线l的方程化为一般式得kx－y＋1＝0，‎ 所以圆O：x2＋y2＝1的圆心到该直线的距离d＝.‎ 又弦长为2＝，‎ 所以S△OAB＝··＝＝，‎ 解得k＝±1.‎ 因此可知“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．]‎ ‎2．(2017·衡水中学二调)已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为__________．‎ ‎4　[作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．要使弦AB最短，只需弦心距最大，根据图形知点P(1,3)到圆心的距离最大，则|OP|＝，圆的半径为.‎ ‎∴|AB|min＝2＝2＝4.]‎ ‎3．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5,3)．‎ ‎(1)求直线l1的方程；‎ ‎(2)若直线l2：x＋y＋b＝0与圆C相交，求b的取值范围；‎ ‎(3)是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由. ‎ ‎【导学号：01772309】‎ ‎[解]　(1)圆C的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9，于是圆心C(3,2)，半径r＝3.1分 若设直线l1的斜率为k，则k＝－＝－＝－2.‎ 所以直线l1的方程为y－3＝－2(x－5)，即2x＋y－13＝0.3分 ‎(2)因为圆的半径r＝3，所以要使直线l2与圆C相交，则有<3，5分 所以|b＋5|<3，‎ 于是b的取值范围是－3－5

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