2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题21 几何体与球切、接的问题（测）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题21 几何体与球切、接的问题（测）（解析版）

专题21 几何体与球切、接的问题 ‎【满分：100分 时间：90分钟】‎ 一、选择题(12*5=60分)‎ ‎1．已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A. B．2 C. D．3 ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.‎ 又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝.‎ ‎2、设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝a2，即a＝R，则＝＝.‎ ‎3．【2020届安徽省皖西高中教学联盟三上学期期末】正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱侧面面积最大值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设正三棱柱高为h，底面正三角形边长为a，则三棱柱侧面面积为 ，因 ，所以 ‎，因此三棱柱侧面面积最大值为，选A.‎ ‎4．【山东省临沂市第十九中学2020届高三调研】已知三棱柱的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,则此球的体积等于(   )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设AA1=h，则∵棱柱的体积为，AB=2，AC＝，∠BAC＝60°，∴×2××h＝∴h=1，∵AB=2，AC＝，∠BAC＝60°∴BC=如图，‎ 连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，AP=则球的半径为OA， 由题意OP=，∴OA=所以球的体积为：πR3=.‎ ‎5．【2020届福建省福州市高三上学期期末】已知圆锥的高为3，它的底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图：设球心到底面圆心的距离为，则球的半径为，‎ 由勾股定理得解得，故半径， 故选.‎ ‎6、【2020届福建省三明市A片区高中联盟校高三上学期期末】如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为(　　)‎ A．200π B．150π C．100π D．50π ‎【答案】D ‎【解析】由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去4个角后得到，此长方体的长、宽、高分别为5,4,3，所以外接球半径R满足2R＝＝5，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝50π.‎ ‎7．已知球面上的三个点，且，球的半径为，则球心到平面的距离等于( )‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，得球心在面的射影为的外心，因为，所以，即是以为钝角的等腰三角形，则外心在高 的延长线上，设，则，解得，即.故选B. ‎ ‎8.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，， ，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是( )‎ ‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，‎ 在面内的射影为中点，平面，上任意一点到的距离相等．‎ ‎，，在面内作的垂直平分线，则为的外接球球心．‎ ‎，，，，即为到平面的距离，故选A．‎ ‎9．已知四棱锥PABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB＝2AD＝4，则球O的表面积为(　　)‎ A.π B．32π C．64π D.π ‎【答案】D ‎【解析】依题意，AB⊥平面PAD且△PAD是正三角形，过P点作AB的平行线，交球面于点E，连接BE，CE，则可得到正三棱柱APDBEC.因为△PAD是正三角形，且AD＝2，所以△PAD的外接圆半径是，球O的半径R＝＝，球O的表面积S＝4πR2＝，故选D.‎ ‎10．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为(　　)‎ A．64π B．32π C．16π D．8π ‎【答案】A ‎【解析】如图，作PM⊥平面ABC于点M，则球心O在PM上，PM＝6，连接AM，AO，则OP＝OA＝R(R为外接球半径)，在Rt△OAM中，OM＝6－R，OA＝R，又AB＝6，且△ABC为等边三角形，故AM＝＝2，则R2－(6－R)2＝(2)2，则R＝4，所以球的表面积S＝4πR2＝64π. ‎ ‎11.【2020届云南民族大学附属中学高三上学期期末】已知一个球的表面上有A、B、C三点，且 ‎，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O′，设截面圆O′的半径为r，由正弦定理可得2r=4，解得r=2，设球O的半径为R，∵球心到平面ABC的距离为1，∴由勾股定理可得r2+12=R2，解得R2=5，∴球O的表面积S=4πR2=20π.故答案为：A.‎ ‎12.【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三上期末】在三棱锥中，,‎ 是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】在中，，线段长度最小值为,则线段长度最小值为,‎ 即A到BC的最短距离为1，,则为等腰三角形，,的外接圆半径为，设球心距平面ABC的高度为h 则，,,则球半径，则三棱锥的外接球的表面积是故选D 二、填空题(4*5=20分)‎ ‎13. 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．‎ ‎【答案】4π.‎ ‎【解析】依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，球的直径就是正方体的体对角线，‎ ‎∴2R＝2(R为球的半径)，∴R＝，∴球的体积V＝πR3＝4π.‎ ‎14．已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为________．‎ ‎【答案】3π.‎ ‎【解析】如图所示，过顶点A作AO⊥底面BCD，垂足为O，则O为正三角形BCD的中心，连接DO 并延长交BC于E，又正四面体的棱长为，所以DE＝，OD＝DE＝，所以在直角三角形AOD中，AO＝＝.设正四面体外接球的球心为P，半径为R，连接PD，则在直角三角形POD中，PD2＝PO2＋OD2，即R2＝2＋2，解得R＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝3π. ‎ ‎15.【广东省惠州市2019届高三第三次调研】如图，将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后、、、四点都在球的表面上，则球的表面积为_____平方单位. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】△BCD中，BD＝1，CD＝1，∠BDC＝60°，底面三角形的底面圆半径为：DM＝CM，AD是球的弦，DA，∴OM，∴球的半径OD．该球的表面积为：4π×OD2π；故答案为：．‎ ‎16.已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则. 则到面距离的最大值为.‎ 三、 解答题(共6道小题，共70分)‎ ‎17. 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．如图作轴截面，设球未取出时水面高，球取出后，水面高 ‎∵，，则以为底面直径的圆锥容积，球取出后水面下降到，水体积为．又，则，解得．‎ ‎18、在四棱锥中， 底面，底面为正方形， ， ，记四棱锥的外接球与三棱锥的外接球的表面积分别为，求．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正方形的边长为，设为的中点，因为平面，而平面，所以，又，故，又，故平面， 平面，所以，故为直角三角形， 为斜边，所以 ‎．同理也为直角三角形，结合 ，所以，又， ，所以平面， 平面，所以， 为直角三角形，所以， 为三棱锥 外接球的球心，且半径．同理设为的中点，则为四棱锥外接球的球心，且半径，所以． ‎ ‎19. 已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？‎ ‎【解析】如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，‎ 则2＋r2＝R2，即h＝2.因为S＝2πrh＝4πr·＝‎ ‎4π≤4π＝2πR2，当且仅当r2＝R2－r2，‎ 即r＝R时，取等号，即当内接圆柱底面半径为R，高为R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2.‎ ‎20、已知四面体，求该四面体外接球的大圆的面积。‎ ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21. (1)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，求此棱锥的体积。‎ ‎(2)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O ABC体积的最大值为36，求球O的表面积。‎ ‎【答案】. 144π ‎【解析】(1)由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍．在三棱锥OABC中，其棱长都是1，如图所示，‎ S△ABC＝×AB2＝，高OD＝＝，所以VSABC＝2VOABC＝2×××＝.‎ ‎(2)如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2.∵VOABC＝VC AOB，而△AOB面积为定值，∴当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大，为×R2×R＝36，∴R＝6，‎ ‎∴ 球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.‎ ‎22. (1)如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′BCD的顶点在同一个球面上，求该球的表面积。‎ ‎(2)已知矩形，，，为的中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，求几何体的外接球表面积。‎ ‎【解析】(1)由题意翻折可得几何体中：,即三棱锥可以补成以PB,PC,PE为边的长方体，其对角线为外接球的直径：，故，外接球的表面积为：‎ ‎(2)由图示可得BD＝A′C＝，BC＝，△DBC与△A′BC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A′，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积S＝4π×2＝3π.‎