数学（文）卷·2018届江西师范大学附属中学高三10月月考（2017

数学（文）卷·2018届江西师范大学附属中学高三10月月考（2017

江西师大附中高三年级数学（文）月考试卷 命题人：汪保民 审题人：程 晓 2017.10 ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则（　　）‎ ‎． ． ． ． ‎ ‎2.已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（　　）‎ ‎． ． ． ． ‎ ‎3．已知向量若与垂直，则的值为（　　）‎ ‎． ． ． ．1‎ ‎4．若，则（　　）‎ ‎． ． ． ．2‎ ‎5．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，，=7，=6，则=（　　）‎ ‎．10 ．9 ．8 ．5‎ ‎6．在四个函数，，，中，最小正周期为的所有函数个数为（　　）‎ ‎．1 ．2 ．3 ．4‎ ‎7.已知中，满足 的三角形有两解，则边长的取值范围是（　　）‎ ‎． ． ． ． ‎ ‎8．函数 的部分图象大致为（　　）‎ ‎ A. B． C． D．‎ ‎9．函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（　　）‎ ‎． ‎ ‎．‎ ‎． ‎ ‎．‎ ‎10．设,,分别为三边,,的中点，则（　　）‎ ‎． ． ． ． ‎ ‎11．若函数 在 单调递增，则的取值范围是（　　）‎ ‎． ． ． ． ‎ ‎12．已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则实数 的取值范围为（　　）‎ ‎． ． ． ． ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．曲线在点A（0，1）处的切线方程为___________‎ ‎14．设函数，则使得成立的的取值范围是　 　．‎ ‎15．设内角,,的对边分别为,,,已知,‎ 且．则边=________‎ ‎16．设函数的图象与（为常数）的图象关于直线对称．且，则 =　 　．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60分。‎ ‎17．已知函数．‎ ‎（1）求函数的对称轴方程；‎ ‎（2）将函数 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象．若，，分别是△三个内角，，的对边，，，且，求的值．‎ ‎18．如图所示，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，．为与的交点，为棱上一点 ‎（1）证明：平面⊥平面；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为，求证：∥平面．‎ ‎19．甲、乙两台机床生产同一型号零件．记生产的零件的尺寸为（cm），相关行业质检部门规定：若]，则该零件为优等品；若，则该零件为中等品；其余零件为次品．现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件，经质量检测得到下表数据： ‎ 尺寸 甲机床零件频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎4‎ ‎1‎ 乙机床零件频数 ‎3‎ ‎5‎ ‎17‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎（1）设生产每件产品的利润为：优等品3元，中等品1元，次品亏本1元．试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的平均值；‎ ‎（2）对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，试根据样本估计总体的思想，估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由．‎ 参考公式：．参考数据：‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎[]‎ ‎20．在平面直角坐标系中，点，点在轴上，点在轴非负半轴上，点满足：‎ ‎（1）当点在轴上移动时，求动点的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设为曲线C上一点，直线过点且与曲线C在点处的切线垂直，与C的另一个交点为，若以线段为直径的圆经过原点，求直线的方程．‎ ‎21．已知为实常数，函数. ‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数，）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．‎ ‎（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）已知与的交于，两点，且过极点，求线段的长．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求的取值范围．‎ 江西师大附中高三年级数学月考试卷 命题人：汪保民 审题人：程晓 2017.9 ‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解答】解：A={x|x＜0，或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜3}；‎ ‎∴A∩B={x|﹣3＜x＜0，或2＜x＜3}，A∪B=R；‎ ‎∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B⊈A，A⊈B；‎ 即B正确．‎ 故选：B．‎ ‎2.已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；‎ 取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．‎ ‎∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．‎ 故选B．‎ ‎3．已知向量若与垂直，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【解答】解∵‎ ‎∴向量=（1﹣4，3+2m）=（﹣3，3+2m）‎ 又∵向量与互相垂直，‎ ‎∴（）=1×（﹣3）+3（3+2m）=0‎ ‎∴﹣3+9+6m=0⇒m=﹣1‎ 故选C ‎4．若，则（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【解答】解：∵cosθ﹣3sinθ=0，可得：tanθ=，‎ ‎∴tan（θ﹣）===﹣．‎ 故选：A．‎ ‎5．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a=7，c=6，则b=（　　）‎ A．10 B．9 C．8 D．5‎ ‎【解答】解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0，即cos2A=，A为锐角，‎ ‎∴cosA=，‎ 又a=7，c=6，‎ 根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即49=b2+36﹣b，‎ 解得：b=5或b=﹣（舍去），‎ 则b=5．‎ 故选D ‎6．在四个函数，，，中，最小正周期为的所有函数个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：函数y=sin|2x|不是周期函数，不满足条件；‎ 令y=f（x）=|sinx|，则f（x+π）=|sin（x+π）|=|﹣sinx|=|sinx|=f（x），‎ ‎∴函数y=|sinx|是最小正周期为π的函数，满足条件；‎ 又函数y=sin（2x+）的最小正周期为T==π，满足条件；‎ 函数y=tan（2x﹣）的最小正周期为T=，不满足条件．‎ 综上，以上4个函数中，最小正周期为π有2个．‎ 故选：B．‎ ‎7.已知△ABC中，满足 的三角形有两解，则边长的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解答】解：由三角形有两解，则满足，‎ ‎∴，解得：2＜a＜，‎ 边长a的取值范围（2，），‎ 故选C．‎ ‎8．函数 的部分图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：，即f（x）为奇函数，排除B、D两项．‎ 又x＞0时，f（x）≥0，故C项错误．‎ 故选：A．‎ ‎9．函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（　　）‎ A． ‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【解答】解：函数的周期T=2×（π﹣）=2π，即，得ω=1，‎ 则f（x）=cos（x+φ），‎ 则当x==π时，函数取得最小值，‎ 则π+φ=π+2kπ，即φ=+2kπ，‎ 即f（x）=cos（x+），‎ 由2kπ+π＜x+＜2kπ+2π，k∈Z，‎ 即2k+π＜x＜2k+π，k∈Z，‎ 即函数的单调递增区间为为（2k+π，2k+π），‎ 故选：D ‎10．设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，则（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解答】解：因为D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点，‎ 所以++=（+）+×2（+）+×3×（+）‎ ‎=+++++=++=+=，‎ 故选：D ‎11．若函数 在 单调递增，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x﹣2sinxcosx+acosx 那么：f′（x）=1﹣2cos2x﹣asinx ‎∵f（x）在[，]单调递增，即f′（x）=1﹣2cos2x﹣asinx≥0，‎ sinx在[，]上恒大于0，‎ 可得：a≤‎ 令y====‎ 可得：y=，（t∈[]）‎ ‎∴当t=时，y取得最小值为：2=‎ 故得 故选D ‎12．已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则实数 的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解答】解：由题意可得f（x）=0，‎ 即为ax3﹣2x2+1=0，‎ 可得a=﹣，‎ 令g（x）=﹣，‎ g′（x）=﹣+=，‎ 可得x＜﹣，x＞时，g（x）递减；‎ 当﹣＜x＜0，0＜x＜时，g（x）递增．‎ 作出g（x）的图象，可得g（x）的极大值为g（）=，‎ 由题意 可得当a＞时，f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，‎ 故选：D．‎ 一、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．曲线在点A（0，1）处的切线方程为___________‎ ‎【解答】解：由题意得y′=ex，‎ ‎∴在点A（0，1）处的切线的斜率k=e0=1，‎ ‎∴所求的切线方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0，‎ ‎14．设函数，则使得成立的的取值范围是　 　．‎ ‎【解答】解：由题意，f（x）≤2得及，‎ 解得0≤x＜1及1≤x≤4，‎ 所以使得f（x）≤2成立的x的取值范围是[0，4]；‎ 故答案为：[0，4]；‎ 本题函数图象：‎ ‎15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，且．则边=________‎ 解： 4sinA=4cosBsinC+bsin2C，‎ ‎⇒4sin（B+C）=4cosBsinC+2bsinCcosC，‎ ‎⇒4sinBcosC+4cosBsinC=4cosBsinC+2bsinCcosC，‎ ‎⇒4sinBcosC=2bsinCcosC，‎ ‎⇒4sinB=2bsinC，（C≠，cosB≠0）‎ ‎⇒4b=2bc，（）‎ ‎⇒c=2‎ ‎16．设函数的图象与（为常数）的图象关于直线对称．且，则 =　 　．‎ ‎【解答】解：函数y=f（x）的图象与y=lg（x+a）（a为常数）的图象关于直线y=﹣x对称，‎ ‎∴f（x）=﹣10﹣x+a，‎ ‎∴f（1）=﹣+a=，‎ 解得a=1；‎ ‎∴f（﹣1）=﹣10+1=﹣9．‎ 故答案为：﹣9．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60分。‎ ‎17．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的对称轴方程；‎ ‎（Ⅱ）将函数 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，c=4，且，求b的值．‎ ‎【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HP：正弦定理．菁优版权所有 ‎【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；57 ：三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数f（x）的对称轴方程．‎ ‎（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦定理求得b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数=，‎ 令，解得，‎ 所以函数f（x）的对称轴方程为．‎ ‎（Ⅱ）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，‎ 再向左平移个单位，得到函数的图象，所以函数．‎ 又△ABC中，g（B）=0，所以，又，‎ 所以，则．由余弦定理可知，，‎ 所以．‎ ‎18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，，AB=2，．O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点 ‎（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；‎ ‎（2）若三棱锥P﹣EAD的体积为，求证：PD∥平面EAC．‎ ‎【解答】（本题满分为10分）‎ 证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，‎ ‎∴AC⊥平面PBD，‎ 又∵AC⊂平面AEC，‎ ‎∴平面AEC⊥平面PDB．‎ ‎（2）取AD中点H，连结BH，PH，在△PBH中，经点E作EF∥BH，交PH于点F，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，‎ ‎∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，‎ ‎∴BH⊥平面PAD，EF⊥平面PAD，‎ 可得：BH=AB=，‎ ‎∴VP﹣EAD=VE﹣PAD=SPAD×EF==×2×EF=，‎ VB﹣PAD=×S△PAD×BH=×==．‎ ‎∴EF=，‎ ‎∴==，可得E为PB中点，‎ 又∵O为BD中点，‎ ‎∴OE∥PD，‎ ‎∵PD⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，‎ ‎∴PD∥平面EAC．‎ ‎　‎ ‎　19．甲、乙两台机床生产同一型号零件．记生产的零件的尺寸为（cm），相关行业质检部门规定：若]，则该零件为优等品；若，则该零件为中等品；其余零件为次品．现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件，经质量检测得到下表数据： ‎ 尺寸 甲机床零件频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎4‎ ‎1‎ 乙机床零件频数 ‎3‎ ‎5‎ ‎17‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎（Ⅰ）设生产每件产品的利润为：优等品3元，中等品1元，次品亏本1元．试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的平均值；‎ ‎（Ⅱ）对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，试根据样本估计总体的思想，估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由．‎ 参考公式：．参考数据：‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设甲机床生产一件零件获得的利润为X元，‎ 则有X=[40×3+7×1+3×（﹣1）]÷50=2.48 元 所以，甲机床生产一件零件的利润的平均值为2.48元．‎ ‎（Ⅱ）由表中数据可知：甲机床优等品40个，非优等品10个；乙机床优等品30个，非优等品20个．‎ 制作2×2列联表如下：‎ 甲机床 乙机床 合计 优等品 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ 非优等品 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 计算K2==≈4.762．‎ 考察参考数据并注意到3.841＜4.762＜5.024，可知：对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，根据样本估计总体的思想，约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”．‎ ‎20．在平面直角坐标系中，点P（0，﹣1），点A在轴上，点B在轴非负半轴上，点M满足：‎ ‎（Ⅰ）当点A在轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设Q为曲线C上一点，直线过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，与C的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经过原点，求直线的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设A坐标是（a，0），M坐标是（x，y），B（0，b），则=（x﹣a，y），=（﹣a，b），=（a，1）‎ ‎∵=2，∴有（x﹣a，y）=2（﹣a，b），即有x﹣a=﹣2a，y=2b，即x=﹣a，y=2b ‎∵=0，∴有a（x﹣a）+y=0‎ ‎∴﹣x（x+x）+y=0，∴﹣2x2+y=0‎ 即C的方程是y=2x2；‎ ‎（Ⅱ）设Q（m，2m2），直线l的斜率为k，则y′=4x，∴k=﹣‎ ‎∴直线l的方程为y﹣2m2=﹣（x﹣m）‎ 与y=2x2联立，消去y可得2x2+x﹣2m2﹣=0，该方程必有两根m与xR，且mxR=﹣m2﹣‎ ‎∴（2m2）yR=4（﹣m2﹣）2‎ ‎∵，∴mxR+（2m2）yR=0，∴﹣m2﹣+4（﹣m2﹣）2=0，∴m=±‎ ‎∴直线l的方程为．‎ ‎21．已知为实常数，函数. ‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） g（x） =lnx+1﹣ax，‎ 函数g（x）的定义域为（0，+∞），其导数g′（x）=﹣a．‎ ‎①当a≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上是增函数；‎ ‎②当a＞0时，g′（x）＞0⇔0＜x＜；g′（x）＜0⇔x＞．‎ 所以函数g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当a≤0时，函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，‎ 不可能有两个零点；‎ 当a＞0时，函数g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，‎ 此时g（）为函数g（x）的最大值，‎ 若g（）≤0，则函数g（x）最多有一个零点，不合题意，‎ 所以g（）=ln＞0，解得0＜a＜1．‎ 因为，＜1＜＜，取g（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，‎ 则x1∈（，），使得g（x1）=0；‎ 取g（）=2﹣2lna﹣（0＜a＜1），‎ 令G（a）=2﹣2lna﹣（0＜a＜1），则G′（a）=﹣+=＞0，（0＜a＜1），‎ 所以G（a）在（0，1）上单调递增．‎ 所以G（a）＜G（1）=2﹣e＜0，即g（）＜0，则x2∈（， ），使得g（x2）=0，‎ 故函数g（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），且x1，x2∈（，）．‎ 综上a的取值范围是（0，1）．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．‎ ‎（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）已知与的交于A，B两点，且AB过极点，求线段AB的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．‎ ‎∴C1的普通方程为，‎ ‎∴C1为以C1（，0）为圆心，以a为半径的圆，‎ 由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，得C1的极坐标方程为．‎ ‎（2）解法一：∵曲线．‎ ‎∴，‎ 二者相减得公共弦方程为，‎ ‎∵AB过极点，∴公共弦方程过原点，‎ ‎∵a＞0，∴a=3，∴公共弦方程为=0，‎ 则C2（0，1）到公共弦的距离为d==．‎ ‎∴．‎ 解法二：∵AB：θ=θ0，‎ ‎∴与ρ2=2ρsinθ+6为ρ的同解方程，‎ ‎∴或θ=．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=3时，求不等式f（x）≥3，即|x﹣3|+|x﹣5|≥3，‎ ‎∴①，或 ②，或③．‎ 解①求得x≤；解②求得x∈∅；解③求得x≥．‎ 综上可得，不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤，或 x≥}．‎ ‎（2）若不等式f（x）≥|x﹣6|的解集包含[1，3]，‎ 等价于当x∈[1，3]时，不等式f（x）≥|x﹣6|恒成立，‎ 即|x﹣a|+|x﹣5|≥|x﹣6|恒成立，即|x﹣a|≥|x﹣6|﹣|x﹣5|=6﹣x﹣（5﹣x） 1恒成立，即|x﹣a|≥1 恒成立，‎ ‎∴x﹣a≥1，或 x﹣a≤﹣1恒成立，即a≤x﹣1，或a≥x+1 恒成立，∴a≤0，或a≥4．‎ 综上可得，a≤0，或a≥4．‎