- 2021-04-13 发布 |
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文档介绍
高考数学一轮复习第十章平面解析几何10-6双曲线练习理北师大版
10.6 双曲线 核心考点·精准研析 考点一 双曲线的定义及标准方程 1.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 2.已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( ) A.x2-=1 B.-y2=1 C.x2-=1(x≤-1) D.x2-=1(x≥1) 3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为 ( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 4.(2020·唐山模拟)P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________. - 14 - 5.若双曲线的渐近线方程为y=±x,且经过点(4,),则双曲线的方程为________. 【解析】1.选B.如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,所以|MF2|=2.因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|, 所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线. 2.选C.设圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,得|MC1|=1+r, |MC2|=3+r,|MC2|-|MC1|=2<6,所以点M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,a=1,又c=3,则b2=c2-a2=8,所以点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1). 3.选C.因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c=5,=,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以此双曲线的方程为-=1. 4.(利用定义解三角形)如图所示,内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|,|MB|,|MC|,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质有|CF1|= |AF1|, |AF2|= |BF2|,|PC|=|PB|, 所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a, 又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c, |OA|=|AF1|-|OF1|=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以M的横坐标为a. - 14 - 答案:a 5.方法一:因为双曲线的渐近线方程为y=±x, 所以可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0). 因为双曲线过点(4,),所以λ=16-4×()2=4,所以双曲线的标准方程为-y2=1. 方法二:因为渐近线y=x过点(4,2),而<2, 所以点(4,)在渐近线y=x的下方,在y=-x的上方(如图). 所以双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0). 由已知条件可得 解得 所以双曲线的标准方程为-y2=1. 答案:-y2=1 1.双曲线定义的应用 - 14 - (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线还是双曲线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支. (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立|PF1|与|PF2|的关系. 2.求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有: ①c2=a2+b2; ②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a. (2)待定系数法 ①一般步骤 ②常用设法 (ⅰ)与双曲线-=1共渐近线的方程可设为-=λ(λ≠0); (ⅱ)若双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0); (ⅲ)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为+=1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0). 【秒杀绝招】 - 14 - 求双曲线的标准方程时,若已知渐近线方程为y=±x,但不知道焦点所在坐标轴,可直接设-=λ(λ≠0).例如第5题. 考点二 直线与双曲线的位置关系 【典例】1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线与圆(x-a)2+y2=a2的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 2.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点 (1)求双曲线C2的方程. (2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围. 【解题导思】 序号 联想解题 1 一看到①直线与圆的位置关系问题,即联想到利用弦心距与半径的大小关系判别;②出现双曲线离心率为时,一定为等轴双曲线,渐近线方程为y=±x 2 当题目中出现数量积时,首选方法是联立方程,利用根与系数的关系表示数量积,进而可求出参数范围 【解析】1.选C.因为一条渐近线方程为ay-bx=0,又离心率为=,所以a=b,所以一条渐近线方程为y-x=0,由(x-a)2+y2=a2知圆心为(a,0),半径为a,圆心到直线的距离d==a>a,所以直线与圆相离. - 14 - 2.(1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),则a2=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1. 故C2的方程为-y2=1. (2)将y=kx+代入-y2=1, 得(1-3k2)x2-6kx-9=0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得 所以k2≠且k2<1.① 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=-. 所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+) =(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=. 又由·>2,得x1x2+y1y2>2, 所以>2,即>0, 解得查看更多