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文档介绍
【数学】2020届一轮复习江苏版12-3-1绝对值不等式学案
§12.3 不等式选讲
第1课时 绝对值不等式
考情考向分析 本节考查热点为绝对值不等式的解法及证明．在高考中主要以解答题的形式考查，属于低档题．
1．绝对值不等式的解法
(1)含有绝对值的不等式|x|
a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
2．含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( × )
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( √ )
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．( × )
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．( × )
(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( √ )
题组二 教材改编
2．[P6例3]不等式3≤|5－2x|<9的解集为__________．
答案 (－2,1]∪[4,7)
解析 由题意得
即
解得不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)．
3．[P6例4]求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．
解 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；
②当1－1时，f(x)＝
∴f(x)min＝f(a)＝a＋1＝5，∴a＝4成立．
综上，a＝4或a＝－6.
方法二 当a＝－1时，f(x)min＝0，不符合题意；
当a≠－1时，f(x)min＝f(a)＝|a＋1|＝5，
∴a＝4或a＝－6.
6．若存在实数x，使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是____________．
答案 [－2,4]
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，
∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
7．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_______．
答案
解析 设y＝|2x－1|＋|x＋2|
＝
当x<－2时，y＝－3x－1>5；
当－2≤x<时，5≥y＝－x＋3>；
当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.
解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，
故实数a的取值范围为.
题型一 绝对值不等式的解法
1．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①
当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，
从而－1≤x≤1；
当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而11.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解 (1)方法一 当a＝2时，由题意知|x－2|＋|x－4|≥4，利用几何意义可知不等式表示数轴上x的对应点到2与4对应点的距离之和大于等于4，又2和4之间的距离为2，即x在以2和4为标准分别向左或者向右平移1个单位长度的位置上．
故不等式的解集为{x|x≤1或x≥5}．
方法二 当a＝2时，
f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，
解得x≤1；
当22时，由f(x)≥1，解得x>2，
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m，得
m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x
≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|
＝－2＋≤，
当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
故m的取值范围为.
1．解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.
解 方法一 如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．
显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把点A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
方法二 由原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5，
可得或
或解得x≥2或x≤－3，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
方法三 将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则
f(x)＝
作出函数的图象，如图所示，
由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，f(x)≥0，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
2．已知a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.
证明 因为|m|＋|n|≥|m－n|，
所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|
＝|2a－1|.
又a≥2，故|2a－1|≥3.
所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3.
3．若不等式log2(|x＋1|＋|x－2|－m)≥2恒成立，求实数m的取值范围．
解 由题意，知|x＋1|＋|x－2|－m≥4恒成立，
即m≤(|x＋1|＋|x－2|－4)min.
又因为|x＋1|＋|x－2|－4≥|(x＋1)－(x－2)|－4＝－1，
当且仅当－1≤x≤2时等号成立．所以m≤－1.
即实数m的取值范围为(－∞，－1]．
4．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．
解 因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，
所以|3a－3b|≤3，≤，
所以|4a－3b＋2|＝
≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，
即|4a－3b＋2|的最大值为6，
所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.
即实数m的取值范围为[6，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋a|，若对任意x∈R，不等式f(x)>a2－3恒成立，求实数a的取值范围．
解 ∵对任意x∈R，不等式f(x)>a2－3恒成立，
∴f(x)min>a2－3，
又∵|x－a|＋|x＋a|≥ |x－a－(x＋a)|＝|2a|，
∴|2a|>a2－3，
即|a|2－2|a|－3<0，
解得－1<|a|<3.
∴－30.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，
解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题意可得，f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.
由题意得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
7．已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a>0)．
(1)当a＝4时，求不等式的解集；
(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝4时，不等式为|2x＋1|－|x－1|≤2.
当x<－时，－x－2≤2，解得－4≤x<－；
当－≤x≤1时，3x≤2，解得－≤x≤；
当x>1时，x≤0，此时x不存在，
∴原不等式的解集为.
(2)令f(x)＝|2x＋1|－|x－1|，
则f(x)＝
故f(x)∈，即f(x)的最小值为－.
若f(x)≤log2a有解，则log2a≥－，
解得a≥，即a的取值范围是.
8．设f(x)＝|ax－1|.
(1)若f(x)≤2的解集为[－6,2]，求实数a的值；
(2)当a＝2时，若存在x0∈R，使得不等式f(2x0＋1)－f(x0－1)≤7－3m成立，求实数m
的取值范围．
解 (1)显然a≠0，当a>0时，解集为，
则－＝－6，＝2，无解；
当a<0时，解集为，
令－＝2，＝－6，得a＝－.
综上所述，a＝－.
(2)当a＝2时，令h(x)＝f(2x＋1)－f(x－1)
＝|4x＋1|－|2x－3|
＝
由此可知h(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，则当x＝－时，h(x)取得最小值－，由题意，知－≤7－3m，解得m≤，所以实数m的取值范围是.
9．已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
(1)解 f(x)＝
当x≤－时，由f(x)<2，得－2x<2，解得x>－1，
即－10，b>0且a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9，
当且仅当＝，
即a＝，b＝时，＋取得最小值9.
(2)∵对∀a，b∈(0，＋∞)，
＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，
∴|2x－1|－|x＋1|≤9.
当x≤－1时，不等式化为2－x≤9，
解得－7≤x≤－1；
当－1
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