数学文卷·2017届广东省广州市高三12月模拟考试（2016

数学文卷·2017届广东省广州市高三12月模拟考试（2016

‎2017届广州市普通高中毕业班模拟考试 文科数学 2016.12‎ 本试卷共4页，23小题， 满分150分。考试用时120分钟。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）设全集，集合，集合，则 　 (Ａ) 　　 (Ｂ) (Ｃ) 　 (Ｄ) ‎ ‎（2）设，其中是实数，则 ‎ （A）1 （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知双曲线（）的渐近线方程为, 则双曲线的离心率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（4）袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸出一个球. 若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率是 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎（5）已知角的顶点与原点重合, 始边与轴正半轴重合, 终边过点, 则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）已知菱形的边长为，, 则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎ ‎ ‎（7）已知函数 ，则函数的图象是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（8）曲线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 ‎(A) 7 (B) ‎9 ‎ (C) 10 (D) 11‎ ‎（10）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是( 　)．‎ ‎(Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) ‎ ‎（11）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥 的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是 ‎(A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎ (12) 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本小题共4题，每小题5分。‎ ‎（13）等比数列的前项和为，若，则公比________． ‎ ‎（14）已知函数，若，则 ．‎ ‎（15）设分别是圆和椭圆上的点，则两点间的最大 ‎ 距离是 . ‎ ‎（16）已知锐角△的内角,,的对边分别为，，，若，‎ ‎ ，则△的周长的取值范围是 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 等差数列中，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记表示不超过的最大整数，如，. 令，‎ 求数列的前2000项和.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用前卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解甲, 乙两座城市年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本，监测值如以下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．‎ ‎（Ⅰ）从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中，‎ 从PM2.5日均值在范围内随机取2天 数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率；‎ ‎（Ⅱ）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年 的空气质量情况，则甲, 乙两城市一年（按365天计算）‎ 中分别约有多少天空气质量达到一级或二级．‎ ‎ ‎ ‎(19) （本小题满分12分）‎ 在三棱锥中, △是等边三角形, ∠∠.‎ ‎（Ⅰ）求证: ⊥;‎ ‎（Ⅱ）若，，求三棱锥的体积.‎ ‎ (20) （本小题满分12分）‎ 已知点是抛物线上相异两点，且满足．‎ ‎（Ⅰ）若直线经过点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线，使得线段的中垂线交轴于点, 且? 若存 在，求直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎(21) （本小题满分12分）‎ 设函数. 若曲线在点处的切线方程为 ‎（为自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，试比较与的大小，并予以证明.‎ 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为为参数, 曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎（II）设直线与曲线C相交于两点, 当变化时, 求的最小值.‎ ‎(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，不等式的解集是.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（II）若存在实数解，求实数的取值范围.‎ ‎2017届广州市普通高中毕业班模拟考试 文科数学试题答案及评分参考 评分说明:‎ ‎1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数．选择题不给中间分．‎ 一、选择题 ‎ （1）A （2）D （3）B （4）B （5）A （6）D ‎（7）D （8）C （9）B （10）C （11）D （12）A 二、填空题 ‎ （13） （14） （15） （16）‎ 三、解答题 ‎ (17) 解：‎ ‎（Ⅰ）由，，得 ……………………2分 ‎ 解得，， …………………………………………4分 ‎ 所以. ………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）， …………………………………………6分 ‎ 当时, ; …………………………………………7分 当时, ; …………………………………………8分 ‎ 当时, ; …………………………………………9分 当时, . ………………………………………10分 所以数列的前2000项和为. ……12分 ‎ (18) 解:‎ ‎（Ⅰ）从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中，PM2.5日均值在内的共有6天，而PM2.5日均值为超标（大于75微克/立方米）的有3天．记PM2.5日均值超标的3天为，不超标的3天为，则从这6天中随机取2天，共有如下15种结果（不记顺序）:‎ ‎，， ……………………2分 其中，抽出2天的PM2.5均超标的情况有3种：．…4分 由古典概型知，抽到2天的PM2.5均超标的概率． ……………………6分 ‎（Ⅱ）各抽取的20天样本数据中，甲城市有15天达到一级或二级；……………………7分 ‎ 乙城市有16天达到一级或二级． …………………………………………8分 ‎ 由样本估计总体知，甲, 乙两城市一年（按365天计算）中空气质量达到一级或二级的天数分别约为:‎ ‎， ．……………………12分 ‎ (19) 解:‎ ‎（Ⅰ）因为是等边三角形, ∠∠,‎ 所以≌, 可得. …………1分 如图, 取中点, 连结,,‎ 则,, ……………………3分 因为 所以平面, ………………………………………………………………4分 因为平面,‎ 所以. ……………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）因为 ≌,‎ 所以, . ………………………………………………………6分 由已知，在Rt中, ,‎ ‎ ………………………………………………8分　‎ 因为, , , ‎ 所以. ……………………………………………………………9分 因为, ，‎ ‎ 所以的面积. ……………………10分 ‎ 因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积,‎ ‎ 所以三棱锥的体积. ………………12分 ‎ (20) 解：‎ ‎（I）法1：①若直线的斜率不存在，则直线方程为． ‎ ‎ 联立方程组 解得 或 ‎ ‎ 即，． ………………………………………………………………1分 ‎ 所以． ………………………………………………………………2分 ‎ ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 联立方程组 消去得，‎ 故，方程无解． …………………………………………3分 所以． ‎ 法2：因为直线过抛物线的焦点，根据抛物线的定义得，‎ ‎ ，， …………………………………………………………2分 ‎ 所以. …………………………………………3分 ‎（II）假设存在直线符合题意，设直线的方程为，‎ 联立方程组 消去得，(*) ‎ 故，……………………………………………………………4分 所以．‎ 所以． …………………………………………………………5分 所以．‎ ‎ …………………………………………………………6分 因为．‎ 所以的中点为． ‎ 所以的中垂线方程为=，即． …………………7分 令, 得.‎ ‎ 所以点的坐标为. ……………………………………………………………8分 ‎ 所以点到直线的距离.‎ ‎ 因为，………………………………………………………9分 ‎ 所以 . ‎ 解得． ………………………………………………………………10分 当时，；当时，．‎ 把和分别代入(*)式检验, 得,不符合题意. …………………11分 所以直线不存在. ……………………………………………………………12分 ‎(21) 解:‎ ‎（Ⅰ）函数的定义域为.‎ ‎. ………………………………………………………………1分 依题意得，即 ……………………3分 所以. ………………………………………………………………4分 所以，.‎ 当时, ; 当时, .‎ 所以函数的单调递减区间是, 单调递增区间是.………………6分 ‎（Ⅱ）当时，.‎ 等价于，‎ 也等价于. ………………………………………7分 不妨设，‎ 设（）, ‎ 则. …………………………………………………………8分 ‎ 当时，，所以函数在上为增函数，‎ 即， ……………………9分 故当时，（当且仅当时取等 号）.‎ 令，则， …………………………………………10分 即（当且仅当时取等号），……………11分 综上所述，当时，（当且仅当时取等号）.‎ ‎ ………………………………………………………………12分 ‎(22) 解:‎ ‎ (Ⅰ) 由消去得, ……………………1分 ‎ 所以直线的普通方程为. ……………………2分 由, 得, ……………………3分 把代入上式, 得,‎ ‎ 所以曲线C的直角坐标方程为. …………………………………………5分 ‎ (II) 将直线l的参数方程代入, 得, ………………6分 ‎ 设A、B两点对应的参数分别为, ‎ 则, , …………………………………………7分 ‎ 所以 . ……9分 ‎ 当时, 的最小值为4. …………………………………………10分 ‎ (23) 解：‎ ‎（Ⅰ）由|, 得，即. ……………………1分 ‎ 当时，. …………………………………………………………2分 因为不等式的解集是 ‎ 所以 解得…………………………………………………………3分 ‎ 当时，. …………………………………………………………4分 因为不等式的解集是 ‎ 所以 无解. …………………………………………………………5分 所以 ‎（II）因为………………7分 ‎ 所以要使存在实数解，只需. ………………8分 ‎ 解得或. ………………………………………………………9分 ‎ 所以实数的取值范围是. …………………………10分