- 2021-04-13 发布 |
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文档介绍
2021高考数学一轮复习课后限时集训27正弦定理余弦定理理北师大版
课后限时集训27 正弦定理、余弦定理 建议用时:45分钟 一、选择题 1.已知△ABC中,A=,B=,a=1,则b等于( ) A.2 B.1 C. D. D [由正弦定理=,得=,所以=,所以b=.] 2.(2019·成都模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B=( ) A. B. C. D. A [由正弦定理得,sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,因为sin B≠0,所以sin Acos C+sin Ccos A=,即sin(A+C)=,所以sin B=.已知a>b,所以B不是最大角,所以B=.] 3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则cos B等于( ) A.- B. C.- D. B [由正弦定理知==1,即tan B=, 由B∈(0,π),所以B=,所以cos B=cos =,故选B.] 4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=( ) 6 A. B. C. D. C [由题可知S△ABC=absin C=,所以a2+b2-c2=2absin C,由余弦定理a2+b2-c2=2abcos C,所以sin C=cos C.因为C∈(0,π),所以C=.故选C.] 5.在△ABC中,若=,则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 D [由已知===,所以=或=0,即C=90°或=.当C=90°时,△ABC为直角三角形.当=时,由正弦定理,得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B.因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D.] 二、填空题 6.在锐角△ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asin B=b,则角A=________. [因为2asin B=b,所以2sin Asin B=sin B,得sin A=,所以A=或A=.因为△ABC为锐角三角形,所以A=.] 7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=________. [在△ABC中,由cos A=,cos C=,可得sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos A·sin C=,由正弦定理得b==.] 8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为________. 6 +1 [∵b=2,B=,C=, 由正弦定理=, 得c===2,A=π-=, ∴sin A=sin=sin cos +cos sin =. 则S△ABC=bc·sin A=×2×2×=+1.] 三、解答题 9.(2019·北京高考)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-. (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值. [解] (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得 b2=32+c2-2×3×c×. 因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×. 解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=-得sin B=. 由正弦定理得sin C=sin B=. 在△ABC中,∠B是钝角,所以∠C为锐角. 所以cos C==. 所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=. 10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为. (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长. [解] (1)由题设得acsin B=, 即csin B=. 6 由正弦定理,得sin Csin B=, 故sin Bsin C=. (2)由题设及(1),得cos Bcos C-sin Bsin C=-, 即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=. 由题意得bcsin A=,a=3,所以bc=8. 由余弦定理,得b2+c2-bc=9, 即(b+c)2-3bc=9.由bc=8,得b+c=. 故△ABC的周长为3+. 1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B-c-=0,a2=bc,b>c,则=( ) A. B.2 C.3 D. B [由余弦定理b2=a2+c2-2accos B可得acos B=,又acos B-c-=0,a2=bc,所以c+=,即2b2-5bc+2c2=0,所以有(b-2c)·(2b-c)=0.所以b=2c或c=2b,又b>c,所以=2.故选B.] 2.在△ABC中,B=30°,AC=2,D是AB边上的一点,CD=2,若∠ACD为锐角,△ACD的面积为4,则sin A=________,BC=________. 4 [依题意得S△ACD=CD·AC·sin∠ACD=2·sin∠ACD=4,解得sin∠ACD=.又∠ACD是锐角,所以cos∠ACD=.在△ACD中,AD==4.由正弦定理得,=,即sin A==.在△ABC中,=,即BC==4.] 3.(2019·西安质检)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S 6 ,已知2acos2+2ccos2=b. (1)求证:2(a+c)=3b; (2)若cos B=,S=,求b. [解] (1)证明:由已知得, a(1+cos C)+c(1+cos A)=b. 在△ABC中,过B作BD⊥AC,垂足为D, 则acos C+ccos A=b. 所以a+c=b,即2(a+c)=3b. (2)因为cos B=,所以sin B=. 因为S=acsin B=ac=,所以ac=8. 又b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B),2(a+c)=3b, 所以b2=-16×,所以b=4. 1.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若S△ABC=2,a+b=6,=2cos C,则c等于( ) A.2 B.4 C.2 D.3 C [∵=2cos C, 由正弦定理, 得sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos C, ∴sin(A+B)=sin C=2sin Ccos C, 由于0<C<π,sin C≠0,∴cos C=,∴C=, ∵S△ABC=2=absin C=ab,∴ab=8, 又a+b=6,解得或 c2=a2+b2-2abcos C=4+16-8=12, ∴c=2,故选C.] 2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-(b-c)2=(2-)bc,sin A 6 sin B=cos2,BC边上的中线AM的长为. (1)求角A和角B的大小; (2)求△ABC的面积. [解] (1)由a2-(b-c)2=(2-)bc, 得a2-b2-c2=-bc,∴cos A==, 又0<A<π,∴A=. 由sin Asin B=cos2, 得sin B=,即sin B=1+cos C, 则cos C<0,即C为钝角, ∴B为锐角,且B+C=, 则sin=1+cos C, 化简得cos=-1, 解得C=,∴B=. (2)由(1)知,a=b,在△ACM中, 由余弦定理得AM2=b2+2-2b··cos C=b2++=()2, 解得b=2, 故S△ABC=absin C=×2×2×=. 6查看更多