2021高考数学一轮复习课后限时集训27正弦定理余弦定理理北师大版

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2021高考数学一轮复习课后限时集训27正弦定理余弦定理理北师大版

课后限时集训27‎ 正弦定理、余弦定理 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.已知△ABC中,A=,B=,a=1,则b等于(  )‎ A.2     B.1    ‎ C.     D. D [由正弦定理=,得=,所以=,所以b=.]‎ ‎2.(2019·成都模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B=(  )‎ A. B. ‎ C. D. A [由正弦定理得,sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,因为sin B≠0,所以sin Acos C+sin Ccos A=,即sin(A+C)=,所以sin B=.已知a>b,所以B不是最大角,所以B=.]‎ ‎3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则cos B等于(  )‎ A.- B. ‎ C.- D. B [由正弦定理知==1,即tan B=,‎ 由B∈(0,π),所以B=,所以cos B=cos =,故选B.]‎ ‎4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=(  )‎ 6‎ A. B. ‎ C. D. C [由题可知S△ABC=absin C=,所以a2+b2-c2=2absin C,由余弦定理a2+b2-c2=2abcos C,所以sin C=cos C.因为C∈(0,π),所以C=.故选C.]‎ ‎5.在△ABC中,若=,则△ABC的形状是(  )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 D [由已知===,所以=或=0,即C=90°或=.当C=90°时,△ABC为直角三角形.当=时,由正弦定理,得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin ‎2C=sin 2B.因为B,C均为△ABC的内角,所以‎2C=2B或‎2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D.]‎ 二、填空题 ‎6.在锐角△ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asin B=b,则角A=________.‎  [因为2asin B=b,所以2sin Asin B=sin B,得sin A=,所以A=或A=.因为△ABC为锐角三角形,所以A=.]‎ ‎7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=________.‎  [在△ABC中,由cos A=,cos C=,可得sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos A·sin C=,由正弦定理得b==.]‎ ‎8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为________.‎ 6‎ +1 [∵b=2,B=,C=,‎ 由正弦定理=,‎ 得c===2,A=π-=,‎ ‎∴sin A=sin=sin cos +cos sin =.‎ 则S△ABC=bc·sin A=×2×2×=+1.]‎ 三、解答题 ‎9.(2019·北京高考)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.‎ ‎(1)求b,c的值;‎ ‎(2)求sin(B-C)的值.‎ ‎[解] (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得 b2=32+c2-2×3×c×.‎ 因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×.‎ 解得c=5.所以b=7.‎ ‎(2)由cos B=-得sin B=.‎ 由正弦定理得sin C=sin B=.‎ 在△ABC中,∠B是钝角,所以∠C为锐角.‎ 所以cos C==.‎ 所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=.‎ ‎10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C;‎ ‎(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.‎ ‎[解] (1)由题设得acsin B=,‎ 即csin B=.‎ 6‎ 由正弦定理,得sin Csin B=,‎ 故sin Bsin C=.‎ ‎(2)由题设及(1),得cos Bcos C-sin Bsin C=-,‎ 即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.‎ 由题意得bcsin A=,a=3,所以bc=8.‎ 由余弦定理,得b2+c2-bc=9,‎ 即(b+c)2-3bc=9.由bc=8,得b+c=.‎ 故△ABC的周长为3+.‎ ‎1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B-c-=0,a2=bc,b>c,则=(  )‎ A. B.2 ‎ C.3 D. B [由余弦定理b2=a2+c2-2accos B可得acos B=,又acos B-c-=0,a2=bc,所以c+=,即2b2-5bc+‎2c2=0,所以有(b-‎2c)·(2b-c)=0.所以b=‎2c或c=2b,又b>c,所以=2.故选B.]‎ ‎2.在△ABC中,B=30°,AC=2,D是AB边上的一点,CD=2,若∠ACD为锐角,△ACD的面积为4,则sin A=________,BC=________.‎  4 [依题意得S△ACD=CD·AC·sin∠ACD=2·sin∠ACD=4,解得sin∠ACD=.又∠ACD是锐角,所以cos∠ACD=.在△ACD中,AD==4.由正弦定理得,=,即sin A==.在△ABC中,=,即BC==4.]‎ ‎3.(2019·西安质检)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S 6‎ ‎,已知2acos2+2ccos2=b.‎ ‎(1)求证:2(a+c)=3b;‎ ‎(2)若cos B=,S=,求b.‎ ‎[解] (1)证明:由已知得,‎ a(1+cos C)+c(1+cos A)=b.‎ 在△ABC中,过B作BD⊥AC,垂足为D,‎ 则acos C+ccos A=b.‎ 所以a+c=b,即2(a+c)=3b.‎ ‎(2)因为cos B=,所以sin B=.‎ 因为S=acsin B=ac=,所以ac=8.‎ 又b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-‎2ac(1+cos B),2(a+c)=3b,‎ 所以b2=-16×,所以b=4.‎ ‎1.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若S△ABC=2,a+b=6,=2cos C,则c等于(  )‎ A.2 B.4 ‎ C.2 D.3 C [∵=2cos C,‎ 由正弦定理,‎ 得sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos C,‎ ‎∴sin(A+B)=sin C=2sin Ccos C,‎ 由于0<C<π,sin C≠0,∴cos C=,∴C=,‎ ‎∵S△ABC=2=absin C=ab,∴ab=8,‎ 又a+b=6,解得或 c2=a2+b2-2abcos C=4+16-8=12,‎ ‎∴c=2,故选C.]‎ ‎2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-(b-c)2=(2-)bc,sin A 6‎ sin B=cos2,BC边上的中线AM的长为.‎ ‎(1)求角A和角B的大小;‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ ‎[解] (1)由a2-(b-c)2=(2-)bc,‎ 得a2-b2-c2=-bc,∴cos A==,‎ 又0<A<π,∴A=.‎ 由sin Asin B=cos2,‎ 得sin B=,即sin B=1+cos C,‎ 则cos C<0,即C为钝角,‎ ‎∴B为锐角,且B+C=,‎ 则sin=1+cos C,‎ 化简得cos=-1,‎ 解得C=,∴B=.‎ ‎(2)由(1)知,a=b,在△ACM中,‎ 由余弦定理得AM2=b2+2-2b··cos C=b2++=()2,‎ 解得b=2,‎ 故S△ABC=absin C=×2×2×=.‎ 6‎
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