- 2021-04-13 发布 |
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文档介绍
2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案:第三章导数及其应用第2节导数在研究函数中的应用第3课时导数在不等式中的应用
www.ks5u.com 第三课时 导数在不等式中的应用 考点一 构造函数证明不等式 多维探究 角度1 直接构造函数证明不等式 【例1-1】 (2020·南昌调研)已知函数f(x)=1-,g(x)=+-bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直. (1)求a,b的值; (2)证明:当x≥1时,f(x)+g(x)≥. (1)解 因为f(x)=1-, 所以f′(x)=,f′(1)=-1. 因为g(x)=+-bx, 所以g′(x)=---b. 因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直, 所以g(1)=1,且f′(1)·g′(1)=-1. 从而g(1)=a+1-b=1,且g′(1)=-a-b-1=1. 解得a=b=-1. (2)证明 由(1)知,g(x)=-++x, 则f(x)+g(x)≥⇔1---+x≥0. 令h(x)=1---+x(x≥1), 则h(1)=0,h′(x)=-+++1=++1. 因为x≥1,所以h′(x)=++1>0, 所以h(x)在[1,+∞)上单调递增, 所以h(x)≥h(1)=0,即1---+x≥0. 故当x≥1时,f(x)+g(x)≥. 角度2 适当放缩构造函数证明不等式 【例1-2】 (2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=aex-ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a≥时,f(x)≥0. (1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=aex-. 由题设知,f′(2)=0,所以a=. 从而f(x)=ex-ln x-1,f′(x)=ex-. 当0查看更多