【数学】2020届北京一轮复习通用版8-2空间点、线、面的位置关系作业

【数学】2020届北京一轮复习通用版8-2空间点、线、面的位置关系作业

8.2 空间点、线、面的位置关系 挖命题 【考情探究】 考点 内容解读 5 年考情 预测 热度考题示例 考向 关联考点 空间点、 线、面的位 置关系 1.理解空间直线、平面 位置关系的定义,并了 解四个公理及推论 2.会用平面的基本性质 证明点共线、线共点以 及点线共面等问题 3.理解空间两直线的位 置关系及判定,了解等 角定理和推论 2011 北京文,17 点、直线、平面 的位置关系的判 定 线面平行、线线 垂直、点到直线 的距离 ★☆☆ 分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明异面或共面问 题.2.会判定和证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题;会求两条异面直 线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为载体,求异面直线所成 的角,分值约为 5 分,属中档题. 破考点 【考点集训】 考点 空间点、线、面的位置关系 1.α是一个平面,m,n 是两条直线,A 是一个点,若 m⊄ α,n⊂α,且 A∈m,A∈α,则 m,n 的位置关系不可能是 ( ) A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行 答案 D 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱所在直线与直线 BA1 是异面直线的条数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C 3.如图,G,N,M,H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH,MN 是异面直线的图形有( ) A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④ 答案 C 4.已知四棱锥 P-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,点 E 是 PB 的中点,则异面直线 AE 与 PD 所成角的余弦值 为( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 2 3答案 C 5.在正四棱锥 P-ABCD 中,PA=2,直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60°,E 为 PC 的中点,则异面直线 PA 与 BE 所 成角的大小为 . 答案 45° 炼技法 【方法集训】 方法 1 点、线、面位置关系的判断方法 1.(2014 辽宁,4,5 分)已知 m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n⊂α,则 m⊥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α 答案 B 2.如图所示,空间四边形 ABCD 中,E,F,G 分别在 AB、BC、CD 上,且满足 AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1, 过 E、F、G 的平面交 AD 于 H,连接 EH. (1)求 AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD 三线共点. 解析 (1)∵ = =2,∴EF∥AC,又 EF⊄ 平面 ACD,AC⊂平面 ACD,∴EF∥平面 ACD, 又∵EF⊂面 EFGH,面 EFGH∩面 ACD=GH,∴EF∥GH. 而 EF∥AC,∴AC∥GH,∴ = =3. ∴AH∶HD=3∶1. (2)证明:∵EF∥GH, 且 = 1 3 , = 1 4 ,∴EF≠GH, ∴四边形 EFGH 为梯形, ∴直线 EH,FG 必相交. 设 EH∩FG=P,则 P∈EH,而 EH⊂面 ABD,∴P∈面 ABD, 同理,P∈面 BCD,而面 ABD∩面 BCD=BD,∴P∈BD. ∴EH、FG、BD 三线共点. 3.如图所示,已知 l1,l2,l3,l4 四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为 A,B,C,D,E,F.求证:四条直线 l1,l2,l3,l4 共面. 证明 证法一:∵A、C、E 不共线, ∴它们确定一个平面α, 又 A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α, 同理,l2⊂α,又 B∈l1,D∈l2,∴B∈α,D∈α, ∴l3⊂α,同理,l4⊂α, 故 l1,l2,l3,l4 四条直线共面. 证法二:∵点 A、C、E 不共线, ∴它们确定一个平面α, 又∵A∈l1,C∈l1, ∴l1⊂α,同理,l2⊂α, 又∵F、D、E 不共线, ∴它们确定一个平面β. 又 D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4, ∴l3⊂β,l4⊂β. 而不共线的三点 B、C、D 可确定一个平面, 又 B、C、D 既在α内又在β内, 故平面α与平面β重合. ∴l1,l2,l3,l4 四条直线共面. 评析证法一与证法二是证明共面问题常用的方法,证法一是先确定一个平面α,后证明其他的直线也在这个 平面内,从而使问题得证;证法二是寻找了两个平面α与β使得四条直线在α内或在β内,然后再证明α与 β重合,从而使问题得证.证明本题也可用反证法. 方法 2 异面直线所成角的求法 4.已知 P 是△ABC 所在平面外一点,M,N 分别是 AB,PC 的中点,若 MN=BC=4,PA=4 3 ,则异面直线 PA 与 MN 所成 角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 A 5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,F 为 B1C1 的中点,则异面直线 AF 与 C1E 所成角的正切值为( ) A. 5 2 B. 2 3 C. 2 5 5 D. 5 3答案 C 过专题 【五年高考】 A 组 自主命题·北京卷题组 考点 空间点、线、面的位置关系 (2011 北京文,17,14 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中 点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由. 解析 (1)证明:因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点, 所以 DE∥PC. 又因为 DE⊄ 平面 BCP,PC⊂平面 BCP, 所以 DE∥平面 BCP. (2)证明:因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, 所以 DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF. 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 又因为 PC⊥AB, 所以 DE⊥DG. 所以四边形 DEFG 为矩形. (3)存在点 Q 满足条件.理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点. 由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= 1 2 EG. 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN. 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中点 Q,且 QM=QN= 1 2 EG, 所以 Q 为满足条件的点. 评析本题考查线面平行、线线垂直、点到直线的距离等知识,考查空间想象力.第(3)问难度较大,利用第(2) 问的结论作出恰当的辅助线是解题关键. B 组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点 空间点、线、面的位置关系 1.(2018 课标Ⅱ文,9,5 分)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 CC1 的中点,则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切 值为( ) A. 2 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 7 2答案 C 2.(2016 浙江文,2,5 分)已知互相垂直的平面α,β交于直线 l.若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥β,则( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 答案 C 3.(2015 浙江文,4,5 分)设α,β是两个不同的平面,l,m 是两条不同的直线,且 l⊂α,m⊂β.( ) A.若 l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则 l⊥m C.若 l∥β,则α∥β D.若α∥β,则 l∥m 答案 A 4.(2015 广东文,6,5 分)若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面α内,l2 在平面β内,l 是平面α与平面β的交 线,则下列命题正确的是( ) A.l 与 l1,l2 都不相交 B.l 与 l1,l2 都相交 C.l 至多与 l1,l2 中的一条相交 D.l 至少与 l1,l2 中的一条相交 答案 D 5.(2014 广东文,9,5 分)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一 定正确的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 答案 D 6.(2015 四川文,18,12 分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系,并证明你的结论; (3)证明:直线 DF⊥平面 BEG. 解析 (1)点 F,G,H 的位置如图所示. (2)平面 BEG∥平面 ACH.证明如下: 因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 BC∥FG,BC=FG, 又 FG∥EH,FG=EH,所以 BC∥EH,BC=EH, 故 BCHE 为平行四边形. 所以 BE∥CH. 又 CH⊂平面 ACH,BE⊄ 平面 ACH, 所以 BE∥平面 ACH. 同理,BG∥平面 ACH. 又 BE∩BG=B, 所以平面 BEG∥平面 ACH. (3)连接 FH. 因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 DH⊥平面 EFGH, 因为 EG⊂平面 EFGH,所以 DH⊥EG. 又 EG⊥FH,DH∩FH=H,所以 EG⊥平面 BFHD. 又 DF⊂平面 BFHD,所以 DF⊥EG. 同理,DF⊥BG. 又 EG∩BG=G, 所以 DF⊥平面 BEG. 评析本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查空间想象能 力、推理论证能力. 7.(2014 课标Ⅱ文,18,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设 AP=1,AD= 3 ,三棱锥 P-ABD 的体积 V= 3 4 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 解析 (1)证明:设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. EO⊂平面 AEC,PB⊄ 平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC. (2)V= 1 3 ·PA·S△ABD= 1 6 PA·AB·AD= 3 6 AB. 由 V= 3 4 ,可得 AB= 3 2 . 作 AH⊥PB 交 PB 于 H. 由题设知 BC⊥平面 PAB,所以 BC⊥AH, 又 BC∩BP=B,故 AH⊥平面 PBC. 又 AH= · = 3 13 13 , 所以 A 到平面 PBC 的距离为 3 13 13 . 评析本题考查直线和平面平行、垂直的判定方法以及空间距离的计算,考查了空间想象能力. C 组 教师专用题组 (2014 陕西文,17,12 分)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD,BC 的平面分别交四面体的棱 AB,BD,DC,CA 于点 E,F,G,H. (1)求四面体 ABCD 的体积; (2)证明:四边形 EFGH 是矩形. 解析 (1)由该四面体的三视图可知, BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1, ∴AD⊥平面 BDC, ∴四面体 ABCD 的体积 V= 1 3 × 1 2 ×2×2×1= 2 3 . (2)证明:∵BC∥平面 EFGH, 平面 EFGH∩平面 BDC=FG,平面 EFGH∩平面 ABC=EH, ∴BC∥FG,BC∥EH, ∴FG∥EH. 同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG, ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 又∵AD⊥平面 BDC, ∴AD⊥BC,∴EF⊥FG, ∴四边形 EFGH 是矩形. 【三年模拟】 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2017 北京朝阳期中,5)设 m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题正确的是( ) A.若 m⊂α,n⊂β,m⊥n,则α⊥β B.若α∥β,m⊥α,n∥β,则 m⊥n C.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则 n⊥m D.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则 n⊥β 答案 B 2.(2018 北京海淀期末,8)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 M,N 分别是棱 BC,C1D1 的中点,点 P 在平面 A1B1C1D1 内,点 Q 在线段 A1N 上,若 PM= 5 ,则 PQ 长度的最小值为( ) A. 2 -1 B. 2 C. 3 5 5 -1 D. 3 5 5答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 5 分) 3.(2017 北京海淀二模,14)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 是线段 BD1 上的动点.当△PAC 在 平面 DC1,BC1,AC 上的正投影都为三角形时,将它们的面积分别记为 S1,S2,S3. (1)当 BP= 3 3 时,S1 S2(填“>”“=”或“<”); (2)S1+S2+S3 的最大值为 . 答案 (1)= (2) 3 2三、解答题(共 15 分) 4.(2017 北京东城二模,18)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧面 ADD1A1 和侧面 CDD1C1 都是矩 形,BC∥AD,△ABD 是边长为 2 的正三角形,E,F 分别为 AD,A1D1 的中点. (1)求证:DD1⊥平面 ABCD; (2)求证:平面 A1BE⊥平面 ADD1A1; (3)若 CF∥平面 A1BE,求棱 BC 的长度. 解析 (1)证明:因为侧面 ADD1A1 和侧面 CDD1C1 都是矩形, 所以 DD1⊥AD,且 DD1⊥CD. 因为 AD∩CD=D, 所以 DD1⊥平面 ABCD. (2)证明:因为△ABD 是正三角形,且 E 为 AD 的中点, 所以 BE⊥AD. 因为 DD1⊥平面 ABCD,BE⊂平面 ABCD, 所以 BE⊥DD1. 因为 AD∩DD1=D, 所以 BE⊥平面 ADD1A1. 因为 BE⊂平面 A1BE, 所以平面 A1BE⊥平面 ADD1A1. (3)因为 BC∥AD,AD∥A1D1, 所以 BC∥A1F. 所以 B,C,F,A1 四点共面. 因为 CF∥平面 A1BE, 平面 BCFA1∩平面 A1BE=A1B, 所以 CF∥A1B. 所以四边形 BCFA1 是平行四边形. 所以 BC=FA1= 1 2 AD=1. 思路分析 (1)应用线面垂直判定定理证明. (2)由线面垂直到线线垂直,再证面面垂直. (3)证四边形 BCFA1 是平行四边形,即可得 BC=FA1= 1 2 AD=1. 易错警示 推理不严谨,书写不规范是失分的主要原因.