【数学】2019届一轮复习人教B版（文）第2章第3节函数的奇偶性及周期性学案
第三节函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )
(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈ ，n≠0)也是函数的周期．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数也不是偶函数．
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B. C. D．－
解析：选B ∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.
又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝( )
A．－ B. C．－ D.
解析：选B 由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f＝f＝－f＝3＝.
5．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1.
答案：x－1
6.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．
解析：由函数f(x)为奇函数，作出函数在[－5,0)上的图象，由图象知，不等式f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
答案：(－2,0)∪(2,5]
[考什么·怎么考]
函数的奇偶性问题是高考的热点，主要考查函数奇偶性的判断与函数奇偶性的应用，多以选择、填空题的形式出现，属于中低档题.
考法(一) 函数奇偶性的判断
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解：(1)由f(x)＝，可知⇒故函数f(x)的定义域为{x|－6
0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．
法三：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．
[题型技法] 判定函数奇偶性的2种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
考法(二) 函数奇偶性的应用
2．(2018·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝( )
A．－2x B．2－x
C．－2－x D．2x
解析：选C 当x>0时，－x<0，∵x<0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
3．(2018·合肥八中模拟)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析：∵f(x)＝xln(x＋)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x＋)，从而ln[()2－x2]＝0，即ln a＝0，故a＝1.
答案：1
[题型技法] 函数奇偶性的应用
(1)求函数解析式
①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．
(2)求参数值
在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
[注意] 利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0”的性质解决有关最值问题．
[怎样快解·准解]
1．力避失误稳得分
(1)首先必须判断f(x)的定义域是否关于原点对称．若不关于原点对称，则是非奇非偶函数．若关于原点对称，则需定义域内的任意x满足定义．若否定函数的奇偶性只需有一个自变量不满足．(如第1题(1))．
(2)有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，(如第1题(2)，若不化简可能会出现误判)，(如第1题(3)可能会误判为非奇非偶函数)．
(3)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．(如第1题(4))．
2．利用二级结论快得分
(1)对于运算函数有如下结论：
奇±奇为奇；偶±偶为偶；奇±偶为非奇非偶；
奇×(÷)奇为偶；奇×(÷)偶为奇；偶×(÷)偶为偶．
(2)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记偶函数g(x)＝[f(x)＋f(－x)]，奇函数h(x)＝[f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x)．
(3)复合函数y＝f[g(x)]的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇．
(4)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有意义，则有f(0)＝0；偶函数y＝f(x)必满足f(x)＝f(|x|)．
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题，在高考中经常出现，虽不及函数的单调性、奇偶性考查频率高，但仍不失为一个重点内容，多以选择题、填空题形式考查，属中低档题.
[典题领悟]
1．若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＝________.
解析：因为f(x)的周期为4，则f＝f＝f＝cos＝cos＝，所以f＝f＝×＝.
答案：
2．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)[1－f(x)]＝1＋f(x)，f(2)＝2 018，则f(2 018)＝________.
解析：显然f(x)≠1，故已知条件可变形为f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝－，所以f(x＋8)＝－＝f(x)，
则f(x)为周期函数，且8为f(x)的一个周期，
所以f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)＝2 018.
答案：2 018
[解题师说]
1．明确解题的2个关键
(1)根据函数的周期性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内，再代入相应解析式求解；
(2)对其函数解析式变形，使得其满足函数周期性的相关定义，进而归纳总结确定对应的周期，为进一步分析与求解打下基础．
2．熟记4种常见抽象函数的周期
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2|a|；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2|a|；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2|a|；
(4)若f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2|a|.
[冲关演练]
1．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数，
且f(x)＝
∴f＝f＝－4×2＋2＝1.
答案：1
2．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值为________．
解析：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－＝f(x)，
∴函数y＝f(x)的周期T＝4.
又x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，
∴f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－＝－1，f(4)＝－＝－.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)
＝504[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(504×4＋1)＋f(504×4＋2)
＝504＋1＋3
＝1 348.
答案：1 348
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现.,常见的命题角度有：
(1)单调性与奇偶性结合；
(2)周期性与奇偶性结合；
(3)单调性、奇偶性与周期性结合.
[题点全练]
角度(一) 单调性与奇偶性结合
1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
解析：选D ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.
角度(二) 周期性与奇偶性结合
2．(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．
又f(x)为偶函数，
∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
答案：6
角度(三) 单调性、奇偶性与周期性结合
3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是( )
A．0f(0)>f(1)，
即f(1)<00时，f(x)＝2x－，则>0的解集为( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选D ∵当x>0时，函数f(x)单调递增，又f(1)＝0，∴f(x)＝2x－>0的解集为(1，＋∞)．∵f(x)是奇函数，∴是偶函数，则>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)＞f()，
∴2|a－1|＜＝2，
∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.
答案：
3．设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝则f(2 017)＝________.
解析：设00时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
所以函数f(x)为奇函数．
答案：②③
10．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.
解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，
则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.
∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f
＝f＋0＋f＋f(0)＋f
＝f－f＋f(0)＋f
＝f＋f(0)
＝2－1＋20－1
＝－1.
答案：－1
B级——中档题目练通抓牢
1．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f＝( )
A. B.
C．0 D．－
解析：选A ∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵当0≤x＜π时，f(x)＝0，∴f＝0，∴f＝f＋sin＝0，∴f＝，∴f＝f＝f＝.
2．已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](ag(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
5.已知偶函数y＝f(x)，奇函数y＝g(x)的定义域均为[－4,4]，f(x)在[－4,0]上，g(x)在[0,4]上的图象如图所示，则不等式<0的解集为________．
解析：
因为函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域均为[－4,4]，结合奇函数和偶函数图象的性质可得两个函数在定义域上完整的图象如图所示．由图可得，当x∈(－2,0)∪(2,4)时，f(x)与g(x)异号，此时f(x)·g(x)<0，即<0.
答案：(－2,0)∪(2,4)
6．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
解：(1)证明：由f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＋＝－f＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
7．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
C级——重难题目自主选做
1．(2018·许昌二模)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：选C f(x)＝＝2＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)(x∈R)，
∴g(x)为奇函数，∴g(x)max＋g(x)min＝0.
∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，
∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4，故选C.
2．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为________．
解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
10.设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
B级——拔高题目稳做准做
1.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝( )
A．1 B.
C．－1 D．－
解析：选C 因为x∈R，且f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，因为f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4.
所以f(log220)＝f(log220－4)＝f
＝－f＝－f＝－
＝－＝－1，故选C.
2．(2018·许昌二模)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：选C f(x)＝＝2＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)(x∈R)，
∴g(x)为奇函数，
∴g(x)max＋g(x)min＝0.
∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，
∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4，故选C.
3.定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．
解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，
得f(x＋2)＝－f(x)，
则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期；
由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称；
由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，
得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．
答案：①②③
4．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为________．
解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得f(－x2)＝－f(x2)，
所以f(x1)＋f(x2)>0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)<0成立．
若x1＋x2>0，则－1≤－x2
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