2020-2021年新高三数学一轮复习训练：一元二次不等式及其解法
2020-2021 年新高三数学一轮复习训练：一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的解法
1 已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2－3x＋2≥0}，则∁RA 等于( )
A．(1,2) B．[1,2]
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
答案 A
解析 由题意可得，∁RA＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1
0)．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为 a>0，所以 x－1
a (x－1)<0.
所以当 a>1 时，解得1
a1 时，不等式的解集为
x 1
a0 时，f(x)＝x2－2x，则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示
为________.
解析 设 x<0，则－x>0，
因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x).
又 f(0)＝0.
于是不等式 f(x)>x 等价于
x>0，
x2－2x>x
或
x<0，
－x2－2x>x，
解得 x>3 或－3a2(a∈R).
解 (1)原不等式等价于
x2－x－2>0，
x2－x－2≤4，可得
x>2或x<－1，
－2≤x≤3.
借助于数轴，如图所示，
∴原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1 或 2＜x≤3}.
(2)∵12x2－ax>a2，∴12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
得 x1＝－a
4，x2＝a
3.
当 a>0 时，－a
4a
3 ；
当 a＝0 时，x2>0，解集为{x|x∈R 且 x≠0}；
当 a<0 时，－a
4>a
3，解集为
x|x－a
4 .
综上所述，当 a>0 时，不等式的解集为
x|x<－a
4或x>a
3 ；
当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0}；
当 a<0 时，不等式的解集为
x|x－a
4 .
一元二次方程与一元二次不等式
1.关于 x 的不等式 ax－b<0 的解集是(1，＋∞)，则关于 x 的不等式(ax＋b)(x－3)>0 的解集是
( )
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(－1，3) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析 关于 x 的不等式 ax－b<0 即 ax0 可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－10，若 f(2－x2)>f(x)，则实数 x 的取值范围是( )
A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C.(－1，2) D.(－2，1)
解析 易知 f(x)在 R 上是增函数，∵f(2－x2)>f(x)，
∴2－x2>x，解得－2f(2m＋mt2)对任
意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )
A.(－∞，－ 2) B.(－ 2，0)
C.(－∞，0)∪( 2，＋∞) D.(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)
解析 因为 f(x)在 R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以 f(x)在 R 上是增函数，结合
题 意 得 － 4t>2m ＋ mt2 对 任 意 实 数 t 恒 成 立 ⇒mt2 ＋ 4t ＋ 2m<0 对 任 意 实 数 t 恒成立
⇒
m<0，
Δ＝16－8m2<0⇒m∈(－∞，－ 2).
答案 A
3.设 a<0，若不等式－cos2x＋(a－1)cos x＋a2≥0 对于任意的 x∈R 恒成立，则 a 的取值范围是
________.
解析 令 t＝cos x，t∈[－1，1]，则不等式 f(t)＝t2－(a－1)t－a2≤0 对 t∈[－1，1]恒成立，因
此
f（－1）≤0，
f（1）≤0 ⇒
a－a2≤0，
2－a－a2≤0，∵a<0，∴a≤－2.
答案 (－∞，－2]
4.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，f(x)＝ex.若对任意 x∈[a，a＋1]，恒有 f(x＋
a)≥f(2x)成立，求实数 a 的取值范围.
解 因为函数 f(x)是偶函数，
故函数图象关于 y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.
所以由 f(x＋a)≥f(2x)可得|x＋a|≥2|x|在[a，a＋1]上恒成立，
从而(x＋a)2≥4x2 在[a，a＋1]上恒成立，
化简得 3x2－2ax－a2≤0 在[a，a＋1]上恒成立，
设 h(x)＝3x2－2ax－a2，
则有
h（a）＝0≤0，
h（a＋1）＝4a＋3≤0，解得 a≤－3
4.
故实数 a 的取值范围是
－∞，－3
4 .
考点四 一元二次不等式的应用
1.甲厂以 x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10)，每小时可获得利润
100
5x＋1－3
x 元.
(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围；
(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利
润.
解 (1)根据题意，得 200
5x＋1－3
x ≥3 000，
整理得 5x－14－3
x≥0，即 5x2－14x－3≥0，
解得 x≥3 或 x≤－1
5，
又 1≤x≤10，可解得 3≤x≤10.
即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，x 的取值范围是[3，10].
(2)设利润为 y 元，则
y＝900
x ·100
5x＋1－3
x
＝9×104
5＋1
x－3
x2
＝9×104
－3
1
x－1
6
2
＋61
12 ，
故当 x＝6 时，ymax＝457 500 元.
即甲厂以 6 千克/时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为 457 500
元.
规律方法 求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模
型.
(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.
(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.
2.已知产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0，
240).若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是
( )
A.100 台 B.120 台
C.150 台 D.180 台
解析 由题设，产量 x 台时，总售价为 25x；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于
总成本，
即 25x≥3 000＋20x－0.1x2，
即 0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，
解之得 x≥150 或 x≤－200(舍去).
故欲使生产者不亏本，最低产量是 150 台.
故选 C.
答案 C
3.某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件.若售价降低 x 成(1 成＝10%)，
售出商品数量就增加8
5x 成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式 y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围.
解 (1)由题意得，y＝100
1－ x
10 ·100
1＋ 8
50x .
因为售价不能低于成本价，所以 100
1－ x
10 －80≥0，解得 0≤x≤2.
所以 y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，
定义域为{x|0≤x≤2}.
(2)由题意得 40(10－x)(25＋4x)≥10 260，
化简得 8x2－30x＋13≤0，解得1
2≤x≤13
4 .
所以 x 的取值范围是
1
2，2 .
1．(2020·武汉调研)已知集合 A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则 A∩B 等于( )
A．(0,2) B．(－1,0)
C．(－3,2) D．(－1,3)
2．(2020·黄冈调研)关于 x 的不等式 ax＋b>0 的解集是(1，＋∞)，则关于 x 的不等式(ax＋b)(x－2)<0 的解集
是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
3．“不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立”的充要条件是( )
A．m>1
4 B．m<1
4
C．m<1 D．m>1
4．若不等式 x2－(a＋1)x＋a≤0 的解集是[－4,3]的子集，则 a 的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
5．若存在实数 x∈[2,4]，使 x2－2x＋5－m<0 成立，则 m的取值范围为( )
A．(13，＋∞) B．(5，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(－∞，13)
6．在关于 x 的不等式 x2－(a＋1)x＋a<0 的解集中至多包含 1 个整数，则 a 的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－1,3] D．[－2,4]
7．(多选)下列四个解不等式，正确的有( )
A．不等式 2x2－x－1>0 的解集是{x|x>2 或 x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0 的解集是
x x≤－2
3或x≥1
2
C．若不等式 ax2＋8ax＋21<0 的解集是{x|－7－2}，则 k＝－2
5
B．若不等式的解集为
x x∈R，x≠1
k ，则 k＝ 6
6
C．若不等式的解集为 R，则 k<－ 6
6
D．若不等式的解集为∅，则 k≥ 6
6
9．(2020·北京市顺义区模拟)满足关于 x 的不等式(ax－b)(x－2)>0 的解集为
x 1
20 的解集是
x －1
20，则实数 a 的取值范围是
________．
14．若集合 A＝{x∈Z|x2－(a＋2)x＋2－a<0}中有且只有一个元素，则正实数 a 的取值范围是________．
15．已知关于 x 的不等式－x2＋ax＋b>0.
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求 a，b 的值；
(2)若 b＝a＋1，求此不等式的解集．
16．甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10)，每小时可获得的利润是
100 5x＋1－3
x 元．
(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围；
(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
17．(2020·南京六校联考)已知函数 f (x)＝x2－2ax＋2a－1.若对任意的 a∈(0,3)，存在 x0∈[0,4]，使得 t≤|f
(x0)|成立，求实数 t 的取值范围．
1.不等式 x2＋2x－3<0 的解集为( )
A．{x|x<－3 或 x>1} B．{x|x<－1 或 x>3}
C．{x|－10 的解集为{x|－1a2(a∈R)．
拓展练
1.答案 B
解析 A＝{x|－10 的解集是(1，＋∞)，
∴a>0，且－b
a＝1，
∴关于 x 的不等式(ax＋b)(x－2)<0 可化为 x＋b
a (x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，
∴不等式的解集为{x|10 在 R 上恒成立，
∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得 m>1
4，
又∵m>1
4，∴Δ＝1－4m<0，
∴“m>1
4”是“不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立”的充要条件．故选 A.
4.答案 B
解析 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当 a<1 时，不等式的解集为[a,1]，此时只要 a≥－4 即可，即－
4≤a<1；当 a＝1 时，不等式的解为 x＝1，此时符合要求；当 a>1 时，不等式的解集为[1，a]，此时只要
a≤3 即可，即 1x2－2x＋5，
设 f (x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，
当 x＝2 时 f (x)min＝5，
∃x∈[2,4]使 x2－2x＋5－m<0 成立，
即 m>f (x)min，∴m>5.故选 B.
6.答案 C
解析 因为关于 x 的不等式 x2－(a＋1)x＋a<0 可化为(x－1)(x－a)<0，
当 a>1 时，不等式的解集为{x|10 得(2x＋1)(x－1)>0，
解得 x>1 或 x<－1
2，
∴不等式的解集为
x x>1或x<－1
2 .故 A 错误；
对于 B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥1
2或 x≤－2
3.故 B 正确；
对于 C，由题意可知－7 和－1 为方程 ax2＋8ax＋21＝0 的两个根．∴－7×(－1)＝21
a ，∴a＝3.故 C 正确；
对于 D，依题意 q,1 是方程 x2 ＋px－2＝0 的两根，
q＋1＝－p，即 p＋q＝－1，故 D 正确．
8.答案 ACD
解析 对于A，∵不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，∴k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，
∴(－3)＋(－2)＝2
k，解得 k＝－2
5.故 A 正确；
对于 B，∵不等式的解集为
x x∈R，x≠1
k ，
∴
k<0，
Δ＝4－24k2＝0， 解得 k＝－ 6
6 .故 B 错误；
对于 C，由题意，得
k<0，
Δ＝4－24k2<0， 解得 k<－ 6
6 .
故 C 正确；
对于 D，由题意，得
k>0，
Δ＝4－24k2≤0， 解得 k≥ 6
6 .故 D 正确．
9.答案 (－2，－1)(答案不唯一)
解析 不等式(ax－b)(x－2)>0 的解集为
x 1
20 对任意实数 x 都成立，
所以 Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即 4a2－4a－3<0，
解得－1
20 时，(4x2＋a)(2x＋b)≥0 在(a，b)上恒成立，
当 x＝0 时，(4x2＋a)(2x＋b)＝ab<0，不符合题意；
③当 b＝0 时，由题意知 x∈(a,0)，(4x2＋a)2x≥0 恒成立，
所以 4x2＋a≤0，所以－1
4≤a<0，所以 00 对 x∈R 恒成立，符合题意；
当 a＝1 时，f (－1)＝0，不符合题意；
当 a＝4 时，f (x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2>0 对 x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)恒成立，符合题意；
当 Δ>0 时，由
Δ>0，
14，
30，
3a－1≤1，
解得1
20⇔x2－ax－(a＋1)<0，
即[x－(a＋1)](x＋1)<0.
当 a＋1＝－1，即 a＝－2 时，原不等式的解集为∅；
当 a＋1<－1，即 a<－2 时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；
当 a＋1>－1，即 a>－2 时，原不等式的解集为(－1，a＋1)．
综上，当 a<－2 时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当 a＝－2 时，不等式的解集为∅；当 a>－2 时， 不等式
的解集为(－1，a＋1)．
16.解 (1)根据题意，得 200 5x＋1－3
x ≥3 000，
整理得 5x－14－3
x≥0，即 5x2－14x－3≥0，
又 1≤x≤10，可解得 3≤x≤10.
故要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，x 的取值范围是[3,10]．
(2)设利润为 y 元，则 y＝900
x ·100 5x＋1－3
x
＝9×104
5＋1
x－3
x2
＝9×104
－3 1
x－1
6
2＋61
12 ，
故当 x＝6 时，ymax＝457 500.
故甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为 457 500 元．
17.解 ∵f (x)＝x2－2ax＋2a－1 的对称轴为 x＝a，且 a∈(0,3)，
∴函数 f (x)＝x2－2ax＋2a－1 在[0，a]上是减函数，
在[a,4]上是增函数；
∴函数 f (x)＝x2－2ax＋2a－1 在[0,4]上的最小值为 f (a)＝－(a－1)2∈(－4,0]，|f (a)|＝(a－1)2，
①当 2≤a<3 时，函数 f (x)＝x2－2ax＋2a－1(x∈[0,4])在 x＝0 时取得最大值，且最大值为 2a－1，由于此时
2≤a<3，则 3≤2a－1<5，
易知当 2≤a<3 时，(a－1)2<2a－1，
所以|f (x)|max＝max{|f (a)|，|f (0)|}＝|f (0)|＝2a－1∈[3,5)．
∴t≤3.
②当 0(a－1)2，
|f (x)|max＝max{|f (a)|，|f (4)|}＝|f (4)|＝15－6a∈(3,15)，
∴t≤3.
综上， t 的取值范围是(－∞，3]．
模拟练
1.答案 D
解析 由 x2＋2x－3<0 得(x＋3)(x－1)<0，解得－30 的解集为{x|－10，
令 3x2－2x－2＝0，得 x1＝1－ 7
3 ，x2＝1＋ 7
3 ，
∴3x2－2x－2>0 的解集为
－∞，1－ 7
3 ∪
1＋ 7
3 ，＋∞ .
7.解 设 f (x)＝2x2－(m＋1)x＋m，
由
Δ>0，
－－m＋1
2×2 >0，
f0>0
⇒
m＋12－8m>0，
m>－1，
m>0
⇒
m<3－2 2或m>3＋2 2，
m>0 ⇒03＋2 2，即 m 的取值范围为(0,3－2 2)∪(3＋2 2，＋
∞)．
8.解 由(m＋2)·f (1)<0 ，
即(m＋2)·(2m＋1)<0 ⇒－20，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得 x1＝－a
4，x2＝a
3.
当 a>0 时，不等式的解集为 －∞，－a
4 ∪ a
3，＋∞ ；
当 a＝0 时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当 a<0 时，不等式的解集为 －∞，a
3 ∪ －a
4，＋∞ .
