【数学】2018届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件、必要条件学案

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文档介绍

【数学】2018届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件、必要条件学案

第二节 命题及其关系、充分条件、必要条件 1. 理解命题的概念.‎ 2. 了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.‎ 3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.‎ 1. 直接考查“若p,则q”形式的四种命题及其真假性的判定.‎ 2. 以函数、方程、不等式等为载体,考查充分必要条件的判定方式.‎ 3. 借助充要条件探索命题成立的依据.‎ 一、四种命题及其关系 ‎1.命题:在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.‎ ‎2.四种命题间的相互关系:‎ ‎3.四种命题的真假关系:(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.‎ 二、充分条件与必要条件:‎ ‎1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.‎ ‎2.如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.‎ ‎3.如果pq,且qp,则p是q的既不充分又不必要条件.‎ 考向一 四种命题的关系及真假判断 例1.命题“若x、y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是(  )‎ A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 ‎2.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).‎ ‎①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;‎ ‎②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;‎ ‎③命题“正多边形都相似”的逆命题为真命题;‎ ‎④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.‎ ‎3.设原命题是“当c>0时,若a>b,则ac>bc”,写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判断它们的真假.‎ ‎1.(1)在判断四种命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再考查每个命题的条件与结论之间的关系.(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时,必须保留大前提不变.‎ ‎2.判定命题为真,必须推理证明;若说明为假,只需举出一个反例.互为逆否命题是等价命题,根据需要,可相互转化.‎ 考向二 充分条件与必要条件的判定 例1.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.已知命题p:函数f(x)=|x-a|在(1,+∞)上是增函数,命题q:f(x)=ax(a>0且a≠1)是减函数,则p是q的(  )‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 设命题p:2x2-3x+1≤0;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.‎ ‎ 充分、必要条件的三种判断方法:‎ ‎1.定义法:直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假.并注意和图示相结合,例如“p⇒q”为真,则p是q的充分条件.‎ ‎2.等价法:利用p⇒q与q ⇒p,q⇒p与p ⇒q,p⇔q与q ⇔p的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.‎ ‎3.集合法:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.‎ ‎ 考向三 充分条件与必要条件的应用 例1.设p:logax>0;q:()>1,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________.‎ ‎2.已知命题p:命题q:1-m≤x≤1+m,m>0,若q是p的必要而不充分条件,则m的取值范围为________.‎ ‎3.已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}.‎ ‎(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件,若存在,求出m的范围;‎ ‎(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,若存在,求出m的范围.‎ ‎1.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.‎ ‎2.注意利用转化的方法理解充分必要条件:若p是q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分、充分不必要、充要条件。‎ 易错易误 “条件”与“结论”颠倒黑白酿失误 ‎☆答题模版1.(2014·济南模拟)下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是(  )‎ A.a>b+1 B.a>b-1 C.a2>b2 D.a3>b3‎ ‎【解析】要求a>b成立的充分不必要条件,必须满足:由选项能推出a>b,而由a>b推不出选项.‎ 此处在求解中,常误认为“由a>b推出选项,而由选项推不出a>b”而错选B.出错的原因是“分不清哪个是条件,哪个是结论”.在选项A中,a>b+1能使a>b成立,而a>b时a>b+1不一定成立,故A正确;在选项B中a>b-1时a>b不一定成立,故B错误;在选项C中,a2>b2时a>b也不一定成立,因为a,b不一定均为正值,故C错误;在选项D中,a3>b3是a>b成立的充要条件,故D也错误.‎ ‎【防范措施】充分条件、必要条件是相对的概念,在进行判断时一定要注意哪个是“条件”,哪个是“结论”,如“A是B成立的……条件”,其中A是条件;“A成立的……条件是B”,其中B是条件.‎ ‎2.设集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},则B是A的真子集的一个充分不必要条件是________.‎ ‎【解析】A={-3,2},当B=∅时,BA,此时m=0,‎ 当B≠∅时,B={},则-=-3或-=2,∴m=或m=-.‎ 故B是A的真子集的一个充分不必要条件是m=0(答案不唯一).‎ ‎【答案】m=0(答案不唯一)‎ 一、选择(本大题共6小题,每题5分,共30分)‎ ‎1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos (x+φ)(x∈R)为偶函数”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是(  )‎ A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 ‎4.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是(  )‎ A.若α≠,则tan α≠1 B.若α=,则tan α≠1‎ C.若tan α≠1,则α≠ D.若tan α≠1,则α= ‎5.命题“对任意x∈[1,2],x2-a≤0都成立”为真命题的一个充分不必要条件是(  )‎ A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5‎ ‎6.给出命题:“若x2+y2=0,则x=y=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 二、填空(本大题共4小题,每题5分,共20分)‎ ‎7.“x=-3”是“x2+2x-3=0”的__________(用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空).‎ ‎8.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________.‎ ‎9.给出命题:①“a>b”是“a2>b2”的充分条件;②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件;④“a>b”是“ac2>bc2”的充要条件.其中是真命题的是________.‎ ‎10.已知α:x≥a,β:|x-1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________.‎ 第二节 命题及其关系、充分条件、必要条件 一、选择(本大题共6小题,每题5分,共30分)‎ ‎1.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题应该是(  )‎ A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0‎ C.若方程x2+x-m=0无实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0无实根,则m≤0‎ ‎2.设集合M={x|02”的否命题;‎ ‎③在△ABC中,“A>30°”是“sin A>”的充分不必要条件;‎ ‎④“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”.‎ 其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上).‎ ‎9.若p:x(x-3)<0是q:2x-3<m的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________.‎ 三、解答题(本大题共3小题,每小题15分,共45分)‎ ‎10.(15分)已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件.那么:‎ ‎(1)s是q的什么条件? (2)r是q的什么条件? (3)p是q的什么条件?‎ ‎11.(15分)已知集合A={},B={x|-10时”是大前提,写其他命题时应该保留,原命题的条件是a>b,结论是ac>bc.因此它的逆命题:当c>0时,若ac>bc,则a>b.它是真命题;否命题:当c>0时,若a≤b,则ac≤bc.它是真命题;逆否命题:当c>0时,若ac≤bc,则a≤b.它是真命题.‎ 考向二:例1.【解析】“l1:ax+2y-1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件是:由=≠,解得a=-2或1.故“a=1”是“l1:ax+2y-1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”‎ 的充分不必要条件. 2.【解析】若命题p为真,则a≤1;若命题q为真,则01时,p:x>1,不符合条件.【答案】(0,1) 2.【解析】命题p:-2≤x≤10,由q是p的必要不充分条件知,∴或,∴m≥9.【答案】[9,+∞)‎ ‎3.【解析】(1)由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,∴P={x|-2≤x≤10},∵x∈P是x∈S的充要条件,‎ ‎∴P=S,∴∴这样的m不存在.‎ ‎(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P.∴∴m≤3.综上,可知m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.‎ 基础自测:1-6.BABCCD 7.【答案】2 9.【答案】②③ 10.【答案】(-∞,0]‎ 能力提升:1-6.DBAAAA 7.【答案】x=0. 8.【答案】①② 9.【答案】[3,+∞)‎ ‎10.【解析】由图可知,(1)因为qs,srq,所以s是q的充要条件.‎ ‎(2)因为rq,qsr,所以r是q的充要条件.(3)因为qsrp,所以p是q的必要条件. 11.【解析】A=={x|-13,即m>2.∴ (2,+∞) ‎ ‎12.【解析】因为“A∩B=∅”是假命题,所以A∩B≠∅. 设全集U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0},则U={m|m≤-1或m≥}.假设方程x2-4mx+2m+6=0的两根x1,x2均非负,则有 ⇒⇒m≥.又集合{m|m≥}关于全集U的补集是{m|m≤-1},‎ 所以实数m的取值范围是{m|m≤-1}.‎
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