【数学】2019届一轮复习人教A版函数的奇偶性与周期性学案
第6讲 函数的奇偶性与周期性
考纲要求
考情分析
命题趋势
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
2017·北京卷，5
2017·天津卷，6
2016·山东卷，9
2016·江苏卷，11
1．对函数的奇偶性与周期性的考查主要有两种题型：一是判断函数的奇偶性与周期性；二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围，难度一般．
2．函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，题型有根据性质判断图象、解不等式、求方程根的个数等，难度较大．
分值：5分
1．偶函数、奇函数的概念
一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象特征
偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．
3．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
4．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个__非零常数__T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__最小__正周期．
5．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x的值：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
6．函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a
0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( A )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A．
4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 015)＝( A )
A．－2 B．2
C．8 D．－8
解析 由f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，
∴f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)，
又函数为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，故选A．
5．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝！！！ － ###.
解析 函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
故ln ＝2ax，即ln e－3x＝2ax，则－3x＝2ax，
∴a＝－.
一 函数奇偶性的判断
函数奇偶性的判断方法
(1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．
(2)分段函数指在定义域的不同子集上有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
【例1】 判断下列各函数的奇偶性．
(1)f(x)＝(x＋1)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解析 (1)由得定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，
∴函数f(x)为奇函数．
二 函数奇偶性的应用
函数奇偶性问题的解决方法
(1)已知函数的奇偶性，求函数值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)已知函数的奇偶性求解析式．将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值．常常利用待定系数法：由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．
(4)应用奇偶性画图象和判断单调性．利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性．
【例2】 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( C )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f[lg(log210)]＝5，则f[lg(lg 2)]＝( C )
A．－5 B．－1
C．3 D．4
解析 (1)用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C．
(2)∵f(x)＝ax3＋bsin x＋4，①
∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin (－x)＋4，
即f(－x)＝－ax3－bsin x＋4，②
①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③
又∵lg(log210)＝lg＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，
∴f[lg(log210)]＝f[－lg(lg 2)]＝5，
又由③式知f[－lg(lg 2)]＋f[lg(lg 2)]＝8，
∴5＋f[lg(lg 2)]＝8，∴f[lg(lg 2)]＝3.
三 函数的周期性
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
【例3】 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝( B )
A．335 B．338
C．337 D．2 015
解析 由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋336×1＝338.
四 函数性质的综合应用
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
【例4】 (1)已知定义域为(－1,1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)<0，则实数a的取值范围是( A )
A．(2，3) B．(3，)
C．(2，4) D．(－2,3)
(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( C )
A．a0时，f(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)>0.又a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，20.8<2＝log240，所以不是奇函数，所以B项错；C项，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，f(x)是偶函数，所以C项错；D项，f(x)＝x3－1不过原点，所以f(x)是非奇非偶函数，所以D项错．只有A项，满足定义域关于原点对称，并且f(－x)＝－f(x)，是奇函数．
2．已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝( A )
A． B．－1
C．1 D．7
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a－1＋a＝0，所以a＝.又因为f(x)为偶函数，所以3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，得b＝0，所以a＋b＝，故选A．
3．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则( C )
A．函数f(g(x))是奇函数 B．函数g(f(x))是奇函数
C．函数f(x)·g(x)是奇函数 D．函数f(x)＋g(x)是奇函数
解析 令h(x)＝f(x)·g(x)，∵函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数，故选C．
4．(2018·重庆模拟)已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lg x，则f＝( D )
A． B．－
C．lg 2 D．－lg 2
解析 因为当x>0时，f(x)＝lg x，所以f＝lg＝－2，
则f＝f(－2)＝－f(2)＝－lg 2.
5．(2018·河南南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，
则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( C )
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
解析 f(x)的图象如图．
当x∈[－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；
当x∈[0,1)时，xf(x)>0无解；
当x∈[1,3]时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．
故x∈(－1,0)∪(1,3)．
6．已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，如果f(ax＋1)≤f(x－2)在x∈时恒成立，则实数a的取值范围是( D )
A．[－2,1] B．[－5,0]
C．[－5,1] D．[－2,0]
解析 因为f(x)是偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，如果f(ax＋1)≤f(x－2)在x∈时恒成立，则|ax＋1|≤2－x，即x－2≤ax＋1≤2－x.由ax＋1≤2－x，得ax≤1－x，a≤－1，而－1在x＝1时取得最小值0，故a≤0.同理，x－2≤ax＋1时，a≥－2，所以a的取值范围是[－2,0]．
二、填空题
7．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(2x－1)>f成立，则x的取值范围是！！！ ###.
解析 因为偶函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以由f(2x－1)>f，得f(|2x－1|)>f，∴|2x－1|<，
即－<2x－1<，即－f(3x－6)成立的x的取值范围是__(－∞，2)∪(3，＋∞)__.
解析 函数f(x)＝为奇函数，当x>0时，f(x)＝1－，可得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由奇函数的性质，可得f(x)在R上单调递增，则由f(x2－2x)>f(3x－6)，可得x2－2x>3x－6，解得x<2或x>3.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以10时，f(x)＝x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解析 (1)当x<0时，－x>0，
所以f(x)＝f(－x)＝ (－x)，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)因为f(4)＝4＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x2－1|<4，解得－
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