江西省上饶市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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江西省上饶市“山江湖”协作体2019-2020学年高二上学期期中数学(自招班)试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合内的不等式进行计算，然后根据交集运算得到答案.‎ ‎【详解】集合中，解不等式，得，‎ 所以集合 而集合 所以，‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查对数不等式的计算，集合交集的运算，属于简单题.‎ ‎2.如图，在边长为2的正方形ABCD的内部随机取一点E，则△ABE的面积大于的概率为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得正方形边长为2,E到AB的距离大于时满足题意,由几何概型公式计算可得答案.‎ ‎【详解】解:由题意得，正方形边长为2,E到AB的距离大于时，△ABE的面积大于 ‎,易得E在长宽分别为2，的矩形内,又正方形面积为4,由几何概型的公式得到△ABE的面积大于的概率,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的概念和计算,得出点E在长宽分别为2，的矩形内，再利用几何概型计算概率是解题的关键.‎ ‎3.展开式中的常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将二项式表示为，得出其通项，令的指数为零，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出展开式中的常数项.‎ ‎【详解】，‎ 展开式通项为，‎ 令，得，‎ 因此，二项式展开式中的常数项为，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查二项式展开式中指定项系数的计算，解题的关键就是写出二项展开式的通项，根据指数求出参数的值，进而求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的 ‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】阅读流程图，初始化数值. ‎ 循环结果执行如下：‎ 第一次：；‎ 第二次：；‎ 第三次：；‎ 第四次：；‎ 第五次：；‎ 第六次：，‎ 结束循环，输出.故选B.‎ 点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.‎ ‎5.设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵是与的等比中项，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当且，即时等号成立．选D．‎ ‎6.在中，，，，则的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形内角和求出角C，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果.‎ ‎【详解】因为中，，，，‎ 由正弦定理得：，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得，从而求得，之后应用三角形面积公式求得结果.‎ ‎7.设实数满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. 4 C. 8 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把化简为，然后令，然后作图，找出可行域，即可根据图象找出答案.‎ ‎【详解】‎ 作图可得，可行域为阴影部分，对于，可化简为，‎ 令，明显地，当直线过时，‎ 即当时，取最大值4，则的最大值为16.‎ 答案选D ‎【点睛】本题考查线性规划的求最值问题，属于基础题 ‎8.利用数学归纳法证明“ 且”的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，该不等式左边的变化是（ ）‎ A. 增加 B 增加 C. 增加并减少 D. 增加并减少 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题写出时的表达式和的递推式，通过对比，选出答案 ‎【详解】时，不等式为 时，不等式为，增加并减少.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】用数学归纳法写递推式时，要注意从到时系数k对表达式的影响，防止出错的方法是依次写出和的表达式，对比增项是什么，减项是什么即可 ‎9.已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，平面，且，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于球中球心与球的小圆圆心的连线垂直于这个小圆，利用也垂直于这个小圆，即可利用球心与小圆圆心建立起直角三角形，，根据题意可求出是底面三角形的外接圆的半径，利用计算即可，最后即可求出球的表面积。‎ ‎【详解】由已知得，作下图 ‎，连结，延长至圆上交于H，‎ 过作交于，‎ 则为，所以，为斜边的中点， ‎ 所以，为的中位线，为小圆圆心，则为的中点，则 ‎，则，，‎ 则球的半径 ‎ 球的表面积为 答案选D.‎ ‎【点睛】本题考查计算球的表面积，关键在于利用进行计算，难点在于构造三要素相关的直角三角形进行求解，难度属于中等。‎ ‎10.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）‎ A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 化简圆到直线的距离 ‎ ‎，‎ 又 两圆相交. 选B ‎11. 将4个不同的球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数为（ ）‎ A. 24 B. 36 C. 48 D. 96‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：因为将个不同的球放入个不同的盒中，每个盒内至少有个球，则 ‎4=1+1+2,分为三组，然后分配，则不同的放法种数为种，选B ‎12.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对勾函数求得在的最小值，再得图象向右移动个单位，其函数值扩大倍，从而求解.‎ ‎【详解】当时，的最小值是 由知 当时，的最小值是 当时，的最小值是 要使，则，‎ 解得：或 ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查对勾函数和的图象平移和函数值的倍数关系，属于难度题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.设随机变量，，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布数学期望的计算公式可求出；由，利用二项分布概率公式可求得结果.‎ ‎【详解】 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查二项分布概率公式、数学期望公式的应用问题，属于基础题.‎ ‎14.已知随机变量服从正态分布，且,则_______．‎ ‎【答案】0.01‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布的对称性，求得的值.‎ ‎【详解】根据正态分布的对称性有.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.‎ ‎15.在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过条件三条棱两两垂直，可将其补为长方体，从而求得半径.‎ ‎【详解】若两两垂直,可将四面体补成一长方体，从而长方体的外接球即为四面体的外接球，于是半径，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查外接球的半径，将四面体转化为长方体求解是解决本题的关键.‎ ‎16.已知正项数列满足，，则数列的前项和为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知表达式因式分解得到数列递推式，再运用累乘的方法求得通项公式，再将通项公式裂项，利用裂项相消求和得解.‎ ‎【详解】由已知得 所以又因为 ‎ 所以 所以 所以 ‎；‎ ‎ ‎ 累乘得 所以 所以=‎ 所以 累加求和得 故答案为 ‎【点睛】本题关键将已知表达式因式分解得递推式，再运用累乘和裂项相消求和的方法求解，属于难题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.已知不等式的解集为．‎ ‎(1)求，的值；‎ ‎(2)求函数 的最小值．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析：第一问应用一元二次不等式解的边界值就是对应的一元二次方程的根，从而将代入，求得的值，代入原不等式，解不等式即可求得的值；第二问先将的值代入，之后对式子进行整理，应用基本不等式求得结果.‎ 详解：(1)∵不等式的解集为 ‎∴1和是方程的两根 ,∴ 解得，. ‎ ‎(2)由(1)得, ‎ 当且仅当，即时，函数有最小值8．‎ 点睛：（1）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出结果；（2）将的值代入，利用对勾函数的单调性也可以求得结果，也可以利用基本不等式求解.‎ ‎18.已知，，分别为三个内角，，的对边，且.‎ ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，的面积为，求的值．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）正弦定理得，，所以 ‎；（2）根据面积公式和余弦定理，得，所以.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由已知及正弦定理得，‎ 因为 ，所以，即 又，‎ ‎，所以.‎ ‎（Ⅱ）由已知， ‎ 由余弦定理得 ，即，‎ 即，又所以.‎ ‎19.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=2，公差d≠0，a2，a4，a8成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用等比中项的性质和等差数列的通项公式，可得公差、首项，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2）由等差数列的求和公式，可得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．‎ ‎【详解】解：（1）设等差数列的首项为公差为；‎ ‎，，成等比数列，，‎ ‎，即，‎ ‎，又，，‎ ‎，‎ 故．‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查等比中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．‎ ‎20.如图，四棱锥P一ABCD中，AB=AD=2BC=2，BC∥AD，AB⊥AD，△PBD为正三角形．且PA=2．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；‎ ‎（2）若点P到底面ABCD的距离为2，E是线段PD上一点，且PB∥平面ACE，求四面体A-CDE的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明AB⊥PB，AB⊥BC，推出AB⊥平面PBC，然后即可证明平面PAB⊥平面PBC．‎ ‎（2）设BD，AC交于点O，连接OE，点P到平面ABCD的距离为2，点E到平面ABCD的距离为h==，通过VA-CDE=VE-CDA，转化求解四面体A-CDE的体积．‎ ‎【详解】（1），且，，‎ 又为正三角形，，又，，‎ ‎，，又，，，，‎ 平面，又平面，‎ 平面平面． ‎ ‎（2）如图，设，交于点，，‎ 且，，连接，‎ 平面，，则，‎ 又点到平面的距离为2，‎ 点到平面的距离为，‎ ‎，‎ 即四面体的体积为．‎ ‎【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎21.司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．‎ ‎（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；‎ ‎（2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为X，若每次抽检的结果都相互独立，求X的分布列和数学期望E（X）．‎ 参考公式与数据：，其中n=a+b+c+d．‎ ‎【答案】（1）有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；‎ ‎（2）求出任意抽取1辆车中司机为男性且开车时使用手机的概率，知X的可能取值，且X服从二项分布，计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值．‎ ‎【详解】（1）填写2×2列联表，如下；‎ 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 女性司机人数 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 根据数表，计算=≈8.25＞7.879，‎ 所以有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；‎ ‎（Ⅱ）由题意，任意抽取1辆车中司机为男性且开车时使用手机的概率是，‎ 则的可能取值为：0，1，2，3，且，‎ 可得，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ 所以分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 数学期望为．‎ ‎【点睛】本题考查了二项分布列的性质及其数学期望和独立性检验思想方法，属于中档题．‎ ‎22.已知动点P与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求曲线C的轨迹方程 ‎（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为（4，0），求△ABM面积最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，运用两点的距离公式，化简整理可得所求轨迹方程；‎ ‎（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，求得到直线的距离，以及弦长公式，和三角形的面积公式，运用换元法和二次函数的最值可得所求．‎ ‎【详解】（1）设点，,即，‎ ‎，即，‎ 曲线方程为．‎ ‎（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，‎ 由（1）可知，点是圆的圆心，‎ 点到直线的距离为，由得，即，‎ 又，‎ 所以，‎ 令，所以，，‎ 则，‎ 所以，‎ 当，即，此时，符合题意，‎ 即时取等号，所以面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，直线和圆的位置关系，以及弦长公式和点到直线的距离公式的运用，考查推理与运算能力，试题综合性强，属于中档题．‎ ‎ ‎