上海市格致中学2020届高三9月开学考试数学

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格致中学高三开学考数学试卷 一.填空题 1.不等式 的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】 将常数移到左边，通分得到答案. 【详解】 故答案 【点睛】本题考查了分式不等式 解法，属于基础题型. 2.已知向量 ， ，则 ________ 【答案】13 【解析】 【分析】 先求出向量 （4，3，12），由此能求出| |． 【详解】∵向量 ， ， ∴ （4，3，12）， ∴| | 13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题． 3.如果双曲线 的焦点在 轴上，焦距为 8，则实数 ________ 【答案】 为 的 1 3x > 1(0, )3 1 1 1 3 3 1 13 3 0 0 0 0 3 x x xx x x x − −> ⇒ − > ⇒ > ⇒ < ⇒ < < 1(0, )3 (7, 1,5)a = − ( 3,4,7)b = − | |a b+ =  a b+ = a b+  ( )7 15a = − ， ， ( )3 4 7b = − ，， a b+ = a b+  16 9 144= + + = 2 2 13 x y m m − = y m = 4− 【解析】 【分析】 先化为标准式，再由焦距为 8，列出 m 方程，即可得到结论． 【详解】由题意，双曲线 的焦点在 y 轴上，则 =1，半焦距为 4，则 ﹣m﹣3m＝16， ∴m＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题． 4.函数 ， 的反函数为 ，则 ________ 【答案】2 【解析】 【分析】 求出原函数的反函数，取 x＝4 即可求得 f﹣1（4）． 【详解】由 y＝f（x）＝x2（x＞0）， 得 x ， 则函数 f（x）＝x2（x＞0）的反函数为 y＝f﹣1（x） ， ∴f﹣1（4） ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查反函数的求法及函数值的求法，是基础题． 5.若 ，则 ________ 【答案】0 或 2 【解析】 【分析】 方程变形为 ，分为两种情况得到答案. 2 2 13 x y m m − = 2 2 3 y x m m −− − 2( )f x x= (0, )x∈ +∞ 1( )y f x−= 1(4)f − = y= x= 4 2= = 22sin cos cos 0α α α⋅ − = cotα = (2sin cos ) cos 0α α α− ⋅ = 【 详 解 】 或 当 时： 当 时： 故答案为 0 或 2 【点睛】本题考查了三角函数运算，意在考查学生的计算能力. 6.若复数 的实部和虚部相等，且 （ 是虚数单位），则实数 的值为________ 【答案】 【解析】 分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 详解】由 ， 得 z＝i（a+2i）＝﹣2+ai， 又∵复数 的实部和虚部相等， ∴a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 7.已知一组数据 ，1，0， ， 的方差为 10，则 ________ 【答案】7 或 【解析】 【分析】 依据方差公式列出方程，解出即可。 【详解】 ，1，0， ， 的平均数为 ， 所以 解得 或 。 【 【 22sin cos cos 0 (2sin cos ) cos 0 cos 0α α α α α α α⋅ − = ⇒ − ⋅ = ⇒ = 2sin cos 0α α− = cos 0α = cot 0α = 2sin cos 0α α− = cot 2α = z i2i z a =+ i a 2− 2 z ia i =+ 2 z ia i =+ 1− 2− x x = 8− 1− 2− x 2 5 x − 2 2 2 2 21 2 2 2 2 21 1 0 2 105 5 5 5 5 5 x x x x xx  − − − − −         − − + − + − + − − + − =                      7x = 8x = − 【点睛】本题主要考查方差公式的应用。 8.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代 数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部 分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层 1 件，以后每一层比上一层多 1 件，最后一层是 件，已知第一层货物单价 1 万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 ，若这堆货 物总价是 万元，则 的值为________ 【答案】10 【解析】 【分析】 由题意可得第 n 层的货物的价格为 an＝n•（ ）n﹣1，根据错位相减法求和即可求出． 【详解】由题意可得第 n 层的货物的价格为 an＝n•（ ）n﹣1， 设这堆货物总价是 Sn＝1•（ ）0+2•（ ）1+3•（ ）2+…+n•（ ）n﹣1，①， 由① 可得 Sn＝1•（ ）1+2•（ ）2+3•（ ）3+…+n•（ ）n，②， 由①﹣②可得 Sn＝1+（ ）1+（ ）2+（ ）3+…+（ ）n﹣1﹣n•（ ）n n•（ ）n＝10﹣（10+n）•（ ）n， ∴Sn＝100﹣10（10+n）•（ ）n， ∵这堆货物总价是 万元， ∴n＝10， 故答案为 10 【点睛】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属 于中档题． n 9 10 9100 200( )10 n− n 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10 × 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10 1 10 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10 91 ( )10 91 10 n− = − − 9 10 9 10 9 10 9100 200( )10 n− 9.若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为 ________ 【答案】 【解析】 【分析】 由 函 数 在 区 间 上 单 调 递 增 ， 得 到 在 每 一 部 分 都 单 调 递 增 ， 且 ，即可求出结果. 【详解】因为函数 在区间 上单调递增， 所以 在每一部分都单调递增，且 ， 即 ，解得 . 故答案为 【点睛】本题主要考查分段函数单调的问题，只需满足每一部分单调，并且特别主要结点位 置的取值即可，属于常考题型. 10.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为 ，再由乙猜甲刚才想的数字 把乙猜的数字记为 ，且 ，若 ，则称甲乙“心有灵犀”， 现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________ 【答案】 【解析】 【分析】 试验发生的所有事件是从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 十个数中任取两个数由分步计数原 理知共有 10×10 种不同的结果，而满足条件的|a﹣b|≤2 的情况通过列举得到共 28 种情况， 代入公式得到结果． 【详解】试验发生的所有事件是从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 十个数中任取两个共有 10×10 2 2 1( ) lg 1 x xf x x m x  − ≤=  − > [0, )+∞ m 9 10m ≤ ( )f x [ )0,+∞ ( )f x 21 2 lg 1 m− ≤ − ( ) 2 2 1 lg 1 x xf x x m x  − ≤=  − > [ )0,+∞ ( )f x 21 2 lg 1 m− ≤ − 1 1 2 1 m lg m ≤  − ≤ − 9 10m ≤ 9 10m ≤ a b *, { | 0 9, }a b n n n∈ ≤ ≤ ∈N | | 1a b− ≤ 7 25 种不同的结果， 则|a﹣b|≤1 的情况有 0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9； 0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7， 6；7，8；8，7；8，9；9，8 共 28 种情况， 甲乙出现的结果共有 10×10＝100， ∴他们”心有灵犀”的概率为 P ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题． 11.若关于 的不等式 在 时恒成立，则实数 的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】 利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最 值问题，进而求得 的取值范围。 【 详 解 】 由 得 ， 两 边 同 除 以 ， 得 到 ， ， ，设 ， ，由函数 在 上递减， 所以 ，故实数 的取值范围是 。 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。 12.已知 是 满足下列性质 的一个排列（ ， ），性质 ：排列 有且只有一个 （ ），则满足性质 的所有数列的个数 ________ 【答案】 【解析】 100 28 25 7= = 7 25 x 1 1 2 log (4 2 ) 0x xλ+ + ⋅ < 0x > λ 3λ ≥ − λ 1 1 2 log (4 2 ) 0x xλ+ + ⋅ < 14 2 1x xλ+ + ⋅ > 2x 1 4 22 x x λ > − ⋅ 0x > 2 1xt = > 1 4tt λ∴ > − 1 4y tt = − ( )1 + ∞， 1 4 1 4 3tt − < − = − λ 3λ ≥ − 1 2, , , na a a⋅⋅⋅ 1,2, ,n⋅⋅⋅ T 2n ≥ n ∗∈N T 1 2, , , na a a⋅⋅⋅ 1i ia a +> {1,2, , 1}i n∈ ⋅⋅⋅ − T ( )f n = 2 1n n− − 【分析】 先根据题意得到 和 之间的关系： ，再计算 【详解】考虑 和 之间的关系，为此考虑两种情况下的 ： 第一种为 1 到 符合性质 排列，不妨设 ，此时 要么放在末尾要么放在 和 之间，这一共有 种情况； 第二种为 1 到 不符合性质 T 排列，此时若想插入数 使得序列满足性质 ，则前 个 数只能递增排列，然后插入 ，有 种情况； 故 设 易知 故答案为： 【点睛】本题考查了数列的递推公式得到数列的通项公式，找到递推公式是解题的关键，本 题还可以计算前面几项，归纳出通项公式，再利用数学归纳法得到答案. 二.选择题 13.如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ( )f n ( 1)f n − ( ) 2 ( 1) 1f n f n n= − + − ( )f n ( )f n ( 1)f n − ( )f n 1n − T 1i ia a +> n ia 1ia + 2 ( 1)f n − 1n − n T 1n − n 1n − ( ) 2 ( 1) 1f n f n n= − + − ( ) 2 ( 1) 1 ( ) 1 2[ ( 1) ]f n f n n f n n f n n= − + − ⇒ + + = − + 1( ) 1 2n n na f n n a a −= + + ⇒ = 2 2(2) 1 4 4 2 2n n nf a a −= ⇒ = ⇒ = × = 1( )) 2 ( 2n nf n n− − ≥= 2 1n n− − 【分析】 由三视图及正三棱柱的几何特征可得解. 【详解】由正三棱柱的几何特征知，俯视图中间有条实线，故选 C. 【点睛】本题主要考查了正三棱柱的几何特征和三视图的相关知识，属于基础题. 14.点 到直线 （ 为参数， ）的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得． 【详解】由 消去参数 t 可得 3x﹣4y+5＝0， 根据点到直线的距离公式可得 d ． 故选：D． 【点睛】本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题． 15.若 表示两条直线， 表示平面，下列说法中正确的为（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 【答案】C 【解析】 对于选项 A， 与 可能平行，也可能在平面内，故 A 不正确。 对于选项 B， 与 可能平行、相交、垂直，故 B 不正确。 对于选项 C，由线面垂直的定义可得必有 ，故 C 正确。 对于选项 D， 与 可能相交、平行或异面，故 D 不正确。 ( )2,0P 1 4 , 2 3 , x t y t = +  = + t t R∈ 3 5 4 5 6 5 11 5 1 4 2 3 x t y t = +  = + 2 2 3 2 0 4 5 11 53 4 × − × += = + a b、 α a α⊥ a b⊥  b α∥ a α∥ a b⊥  b α⊥ a α⊥ b α⊂ a b⊥  a α∥ b α∥ a b b α b α a b⊥  a b 选 C。 16.设向量 ， ，向量 中有 4 个 ，其余为 ， 向量 中有 3 个 ，其余为 ，则 的所有可能取值中最 小的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 由 分析求解即可 【详解】由题 ，要想数量积之和最小，数量积为 0 的个数越多越好； 中的 4 个 ，与 中 4 个 分别求数量积， 中的 3 个 ， 与 中 3 个 分别求数量积，之和为 0，剩余的 中的 3 个 ，分别与 中 3 个 求数量积之和为 3 故选：B 【点睛】本题考数量积运算，考查分析能力，是基础题 三.解答题. 17.在直三棱柱 中， ， ， . （1）求异面直线 与 所成角的大小； （2）求直线 与平面 的距离. (cos ,sin )a α α= ( sin ,cos )b α α= − 1 2 10, , ,x x x⋅⋅⋅   a b 1 2 10, , ,y y y⋅⋅⋅   a b 1 1 2 2 10 10x y x y x y⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅      2 2 0, 1a b a b⋅ = = =   2 2 0, 1a b a b⋅ = = =   1 2 10, , ,x x x⋅⋅⋅   a 1 2 10, , ,y y y⋅⋅⋅   b 1 2 10, , ,x x x⋅⋅⋅   b 1 2 10, , ,y y y⋅⋅⋅   a 1 2 10, , ,x x x⋅⋅⋅   b 1 2 10, , ,y y y⋅⋅⋅   b 1 1 1ABC A B C− 90ABC∠ = ° 1AB BC= = 1 2BB = 1 1B C 1AC 1 1B C 1A BC 【答案】(1) . (2) . 【解析】 【分析】 （1） 或其补角就是异直线 与 所成角，我们可证 为直角三角形且 ，故可得异面直线所成角的大小. （2）先计算 ，再利用等积法求 到平面 的距离，它就是直线 到平面 的距离. 【详解】(1)因为 ，所以 (或其补角)是异直线 与 所成角. 因为 ， ， ， 所以 平面 ，所以 . 中， ，所以 ， 所以异面直线 与 所成角的大小为 . (2)因为 平面 ，所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离， 设 到平面 的距离为 ，因为 ， ，可得 ， 直线 与平面 的距离为 . 【点睛】异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求 其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线 面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距. 18.在△ABC 中，a=3，b−c=2，cosB= ． （Ⅰ）求 b，c 的值； arctan 5 2 5 5 1ACB∠ 1 1B C 1AC 1A AB∆ 1 5A B = 1 1A B BCV − 1B 1A BC 1 1B C 1A BC 1 1B C BC∥ 1ACB∠ 1 1B C 1AC BC AB⊥ 1BC BB⊥ 1AB BB B∩ = BC ⊥ 1ABB 1BC A B⊥ 1Rt A BC 1 1 5tan 51 A BACB BC ∠ = = = 1 arctan 5ACB∠ = 1 1B C 1AC arctan 5 1 1B C ∥ 1A BC 1 1B C 1A BC 1B 1A BC 1B 1A BC d 1 1 1B A BC A BB CV V− −= 1 1 1 3 3A BCS d∆∴ × = 1 1 1B BCS A B∆ × 2 5 5d = 1 1B C 1A BC 2 5 5 1 2 − （Ⅱ）求 sin（B–C）的值． 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意列出关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定 b,c 的值； (Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得 的值. 【详解】(Ⅰ)由题意可得： ，解得： . (Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得： ， 结合正弦定理 可得： ， 很明显角 C 为锐角，故 ， 故 . 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.已知抛物线 关于 轴对称，且经过点 . （1）求抛物线 的标准方程及其准线方程； （2）设 为原点，过抛物线 的焦点 作斜率不为 0 的直线 交抛物线 于两点 、 ， 抛物线的准线分别交直线 、 于点 和点 ，求证：以 为直径的圆经过 轴上的 两个定点. 【答案】（1）标准方程为 ，准线方程为 ；（2）证明见解析 【解析】 7 5 b c =  = 4 37 ( )sin B C− 2 2 2 1cos 2 2 2 3 a c bB ac b c a  + −= = −  − =  =  3 7 5 a b c =  =  = 2 3sin 1 cos 2B B= − = sin sin b c B C = sin 5 3sin 14 c BC b = = 2 11cos 1 sin 14C C= − = ( ) 4sin sin cos cos sin 37B C B C B C− = − = C y (2, 1)− C O C F l C M N OM ON A B AB y 2 4x y= − 1y = 【分析】 （1）设抛物线 C：x2＝﹣2py，代入点（2，﹣1），解方程可得 p，求得抛物线的方程和准线方 程；（2）抛物线 x2＝﹣4y 的焦点为 F（0，﹣1），设直线方程为 y＝kx﹣1，联立抛物线方程， 运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得 A，B 的坐标，可得 AB 为直径的圆方程，可令 x ＝0，解方程，即可得到所求定点． 【详解】（1）设抛物线 C：x2＝﹣2py，经过点（2，﹣1）．可得 4＝2p，即 p＝2， 可得抛物线 C 的方程为 x2＝﹣4y，准线方程为 y＝1； （2）抛物线 x2＝﹣4y 的焦点为 F（0，﹣1）， 设直线方程为 y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得 x2+4kx﹣4＝0， 设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 可得 x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4， 直线 OM 的方程为 y x，即 y x， 直线 ON 的方程为 y x，即 y x， 可得 A（﹣ ，1），B（﹣ ，1）， 可得 AB 的中点的横坐标为﹣2（ ）＝﹣2• ﹣2k， 即有 AB 为直径的圆心为（﹣2k， 1）， 半径为 | |＝2• 2 ， 可得圆的方程为（x+2k）2+（y﹣1）2＝4（1+k2）， 化为 x2+4kx+（y﹣1）2＝4， 由 x＝0，可得 y＝﹣1 或 3． 则以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点（0，﹣1），（0，3）． 点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联 立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 【 1 1 y x = 1 4 x= − 2 2 y x = 2 4 x= − 1 4 x 2 4 x 1 2 1 1 x x + 4 4 k− =− 1 2 2 AB = 1 2 4 4 x x − 216 16 4 k + = 21 k+ 20.若数列 、 满足 ( N*)，则称 为数列 的“偏差数列”. （1）若 为常数列，且为 的“偏差数列”，试判断 是否一定为等差数列，并说明 理由； （2）若无穷数列 是各项均为正整数的等比数列，且 ， 为数列 的“偏 差数列”，求 的值； （3）设 ， 为数列 的“偏差数列”， ， 且 ， 若 对任意 恒成立，求实数 M 的最小值. 【答案】（1）见解析；（2） 或 ；（3） 【解析】 【分析】 （1）{an}不一定为等差数列，如 ； （2）设数列{an}的公比为 q，解方程可得首项和公比，由等比数列的通项公式和求和公式， 计算可得所求值； （3）由累加法可得数列{an}的通项公式，讨论 n 为奇数或偶数，求得极限，由不等式恒成立 思想可得 M 的最小值． 【详解】解：(1) 如 ，则 为常数列，但 不是等差数列， (2) 设数列 的公比为 ，则由题意， 、 均为正整数， 因为 ，所以 ， 解得 或 ， 故 或 ( N*)， ①当 时， ， ， ， { }na { }nb 1| |n n na a b+ − = n∈ { }nb { }na { }nb { }na { }na { }na 3 2 6a a− = { }nb { }na 1 2 3 1 1 1 1lim( ) n nb b b b→∞ + + + + 116 ( )2 n nb += − { }nb { }na 1 1a = 2 2 1n na a −≤ 2 2 1n na a +≤ | |na M≤ n∈ *N 3 4 2 3 29 6 ( 1)n na = − ( )1 n na = − 2nb = { }na { }na q 1a q 3 2 6a a− = ( )1 1 6 1 2 3a q q − = = × × 1 1 3 a q =  = 1 3 2 a q =  = 13n na −= 13 2n na −= × n∈ 13n na −= 12 3n nb −= × 11 1 1 2 3 n nb − =    1 2 1 1 1 3lim 4n nb b b→∞  + +…+ =    ② 当 时， ， ， 综上， 的值为 或 ； (3) 由 ≤ 且 ≤ 得， = 故有： ， ， ， 累加得： = = ， 又 ，所以 当 n 为奇数时， 单调递增， ， ， 当 n 为偶数时， 单调递减， ， ， 从而 ≤ ，所以 M≥ ，即 M 的最小值为 ． 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式， 考查分类讨论思想方法，化简运算能力，属于难题． 13 2n na −= × 13 2n nb −= × 11 1 1 3 2 n nb − =    1 2 1 1 1 2lim 3n nb b b→∞  + +…+ =    1 2 3 1 1 1 1lim n nb b b b→∞  + + + +    3 4 2 3 2na 2 1na − 2na 2 1na + ( ) 1 1 11 6 2 n n n na a + +   − = − −      ( ) 116 1 2 n n + ⋅ − + −   ( ) 1 1 16 1 2 n n n na a − −  − = ⋅ − + −   ( ) 1 2 1 2 16 1 2 n n n na a − − − −  − = ⋅ − + −   ( ) 2 1 2 1 16 1 2a a  − = ⋅ − + −   ( ) ( ) ( ) ] [ 2 3 1 2 1 1 1 1 16 1 1 1 2 2 2 n n na a −      − = − + − +…+ − + − + − +…+ −              ( ) 1 1 1 111 1 1 4 2 6 12 1 2 n n − −   − −   − − −      × + + ( ) 1 1 11 23 1 1 6 n n − −  − −   − − − +  1 1a = 1 * 1 * 7 1 1 2 1,6 6 2 29 1 1 2 ,6 6 2 n n n n m m N a n m m N − −   − − = − ∈    =   − − − = ∈    { }na 0na > 7lim 6nn a→∞ = { }na 0na < 29lim 6nn a→∞ = − na 29 6 29 6 29 6 21.已知函数 ， ，如果对于定义域 内的任意实数 ，对于给定的非零常数 ， 总存在非零常数 ，恒有 成立，则称函数 是 上的 级类增周期函数， 周期为 ，若恒有 成立，则称函数 是 上的 级类周期函数，周期为 . （1）已知函数 是 上的周期为 1 的 2 级类增周期函数，求实数 的取 值范围； （2）已知 ， 是 上 级类周期函数，且 是 上的单调 递增函数，当 时， ，求实数 的取值范围； （3）是否存在实数 ，使函数 是 上的周期为 的 级类周期函数，若存在， 求出实数 和 的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） ；（2） ；（3）当 时， ， ；当 时， ， . 【解析】 【分析】 （1）由题意 f（x+1）＞2f（x）整理可求得 a＜x﹣1 ，令 x﹣1＝t（t≥2），由 g（t）＝ t 在[2，+∞）上单调递增，即可求得实数 a 的取值范围；（2）由 x∈[0，1）时，f（x）＝ 2x，可求得当 x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m•2x﹣1，…当 x∈[n，n+1）时，f（x）＝ mn•2x﹣n，利用 f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得 m＞0 且 mn•2n﹣n≥mn﹣1•2n﹣（n﹣1），从而 可求实数 m 的取值范围；（3）f（x+T）＝Tf（x）对一切实数 x 恒成立，即 cosk（x+T）＝ Tcoskx 对一切实数恒成立，分当 k＝0 时，T＝1；当 k≠0 时，要使 cosk（x+T）＝Tcoskx 恒 成立，只有 T＝±1，于是可得答案． 【详解】（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），即﹣（x+1）2+a（x+1）＞2（﹣x2+ax）对一 切[3，+∞）恒成立， 整理得：（x﹣1）a＜x2﹣2x﹣1， ∵x≥3， ( )y f x= x D∈ D x m T ( ) ( )f x T mf x+ > ( )f x D m T ( ) ( )f x T mf x+ = ( )f x D m T 2( )f x x ax= − + [3, )+∞ a 1T = ( )y f x= [0, )+∞ m ( )y f x= [0, )+∞ [0,1)x∈ ( ) 2xf x = m k ( ) cosf x kx= R T T k T 1a < 2m ≥ 1T = 2k nπ= n∈Z 1T = − (2 1)k n π= + n∈Z 2 1x − − 2 t − ∴a x﹣1 ， 令 x﹣1＝t，则 t∈[2，+∞），g（t）＝t 在[2，+∞）上单调递增， ∴g（t）min＝g（2）＝1， ∴a＜1． （2）∵x∈[0，1）时，f（x）＝2x， ∴当 x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m•2x﹣1，… 当 x∈[n，n+1）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2f（x﹣2）＝…＝mnf（x﹣n）＝mn•2x﹣n， 即 x∈[n，n+1）时，f（x）＝mn•2x﹣n，n∈N*， ∵f（x）在[0，+∞）上单调递增， ∴m＞0 且 mn•2n﹣n≥mn﹣1•2n﹣（n﹣1）， 即 m≥2． （3）由已知，有 f（x+T）＝Tf（x）对一切实数 x 恒成立， 即 cosk（x+T）＝Tcoskx 对一切实数恒成立， 当 k＝0 时，T＝1； 当 k≠0 时， ∵x∈R， ∴kx∈R，kx+kT∈R，于是 coskx∈[﹣1，1]， 又∵cos（kx+kT）∈[﹣1，1]， 故要使 cosk（x+T）＝Tcoskx 恒成立，只有 T＝±1， 当 T＝1 时，cos（kx+k）＝coskx 得到 k＝2nπ，n∈Z 且 n≠0； 当 T＝﹣1 时，cos（kx﹣k）＝﹣coskx 得到﹣k＝2nπ+π， 即 k＝（2n+1）π，n∈Z； 综上可知：当 T＝1 时，k＝2nπ，n∈Z； 当 T＝﹣1 时，k＝（2n+1）π，n∈Z． 【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题，综合考查构造函数、 分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题． ( )22 1 22 1 1 1 xx x x x − −− − = =− −＜ 2 1x − − 2 t −