数学理卷·2018届江西省新余一中高二下学期入学考试（2017-02）

数学理卷·2018届江西省新余一中高二下学期入学考试（2017-02）

‎ 新余一中高二年级2016-2017学年度下学期入学考试 数学试题（理科）‎ 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合P={x∈Z|y=}，Q={y∈R|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（　　）‎ A．P B．Q C．{﹣1，1} D．{0，1}‎ ‎2．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），则sinC：sinA=（　　）‎ A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：2‎ ‎3.不等式的解集是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4 设实数x，y为任意的正数，且+=1，求使m≤2x+y恒成立的m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，8] B．（﹣∞，8） C．（8，+∞） D．B．C．D．‎ ‎6设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．9π+42 B．36π+18 C． D．‎ ‎7若不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）‎ ‎ A． 4 B． 5 C． 6 D． 7‎ ‎9 .若展开式中存在常数项，则的最小值为（ ）‎ A．５ B．６ C．７ D．８ ‎ ‎10已知直线x+y=1与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2（a＞0，b＞0）相切，则ab的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．（0，3] D．（0，9]‎ ‎11平行四边形ABCD中， •=0，且|+|=2，沿BD将四边形折起成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（　　）‎ A．4π B．16π C．2π D．‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+4）=16，当x∈（0，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在上的零点个数是（　　）‎ A．504 B．505 C．1008 D．1009‎ 二、填空题（每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13 5名旅客，安排在3个客房里，每个客房至少安排1名旅客，则不同方法有　　种 ‎14．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是　　．‎ ‎15. 若直线和直线相互垂直,则值为 .‎ ‎16．已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）‎ ‎17 已知函数.‎ ‎（1）试求的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（2）已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，试求面积的最大值．‎ ‎18 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．‎ ‎（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；‎ ‎（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．‎ ‎19 已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项 ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎20．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．‎ ‎（1）求证：PC⊥AD； ‎ ‎（2）求点D到平面PAM的距离．‎ ‎21．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．‎ ‎22．已知函数f（x）=1﹣在R上是奇函数．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）对x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；‎ ‎（3）令g（x）=，若关于x的方程g（2x）﹣mg（x+1）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ 数学考试卷（理科）‎ 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合P={x∈Z|y=}，Q={y∈R|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（　　）‎ A．P B．Q C．{﹣1，1} D．{0，1}‎ ‎【解答】解：对于集合P：要使y=，必须满足1﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤1，又x∈Z，∴x=﹣1，0，1，即P={﹣1，0，1}．‎ 对于集合Q：由﹣1≤cosx≤1，可得Q=．‎ ‎∴P∩Q={﹣1，0，1}=P．‎ 故选A．‎ ‎2．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），则sinC：sinA=（　　）‎ A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：2‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用和差公式、诱导公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），‎ ‎∴3（sinBcosC+sinCcosB）=sinC，‎ ‎∴3sin（B+C）=3sinA=sinC，‎ ‎∴sinC：sinA=3：1．故选：C．‎ ‎3.不等式的解集是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案及解析：‎ ‎2.B ‎4 设实数x，y为任意的正数，且+=1，求使m≤2x+y恒成立的m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，8] B．（﹣∞，8） C．（8，+∞） D．，故选：A．‎ ‎5设实数x，y满足，则z=x+y的取值范围是（　　）‎ A．B．C．D．‎ 答案及解析：.D ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出平面区域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ A（0，2），‎ 联立，解得B（4，2），‎ 化z=x+y为y=﹣x+z，‎ 由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z有最小值，等于2；‎ 当直线y=﹣x+z过B时，z有最大值，等于6．故选：D．‎ ‎6设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．9π+42 B．36π+18 C． D．‎ 答案及解析：.D ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，‎ 下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，‎ 上面是一个球，球的直径是3，‎ 该几何体的体积是两个体积之和，‎ 四棱柱的体积3×3×2=18，‎ 球的体积是，‎ ‎∴几何体的体积是18+，故选D．‎ ‎7若不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案及解析：‎ ‎.A ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣logax．h（x）=f（x）+g（x）（0＜x＜），根据不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立，可得f（）≤g（），从而可得0＜a＜1且a≥，即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣logax，（0＜x＜）‎ ‎∵不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立，‎ ‎∴f（）≤g（）‎ ‎∴3•﹣loga≤0．‎ ‎∴0＜a＜1且a≥，‎ ‎∴实数a的取值范围为 B．（0，] C．（0，3] D．（0，9]‎ 答案及解析：.B ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】直线与圆相切，圆心到直线的距离d=r，求出a+b的值，再利用基本不等式求出ab的取值范围．‎ ‎【解答】解：直线x+y=1与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2（a＞0，b＞0）相切，‎ 则圆心C（a，b）到直线的距离为d=r，‎ 即=，‎ ‎∴|a+b﹣1|=2，‎ ‎∴a+b﹣1=2或a+b﹣1=﹣2，‎ 即a+b=3或a+b=﹣1（不合题意，舍去）；‎ 当a+b=3时，ab≤=，当且仅当a=b=时取“=”；‎ 又ab＞0，∴ab的取值范围是（0，]．‎ 故选：B．‎ ‎11平行四边形ABCD中， •=0，且|+|=2，沿BD将四边形折起成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（　　）‎ A．4π B．16π C．2π D．‎ 答案及解析：A ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由已知中•=0，可得AB⊥BD，沿BD折起后，将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，可得平面ABD⊥平面BDC，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，进而根据2||2+||2=4，求出三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．‎ ‎【解答】解：∵平行四边形ABCD中， •=0，且|+|=2，‎ ‎∴平方得2||2+2•+||2=4，‎ 即2||2+||2=4，‎ ‎∵•=0，∴AB⊥BD，‎ 沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，‎ ‎∵将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，‎ ‎∴平面ABD⊥平面BDC ‎∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，‎ ‎∴AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2，‎ ‎∵2||2+||2=4，‎ ‎∴AC2=4∴外接球的半径为1，‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+4）=16，当x∈（0，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在上的零点个数是（　　）‎ A．504 B．505 C．1008 D．1009‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】由f（x）+f（x+4）=16可判断出f（x）=f（x+8），从而可得函数f（x）是R上周期为8的函数；而当x∈（﹣4，4]时，f（2）=f（4）=0；从而解得．‎ ‎【解答】解：当x∈（﹣4，0]时，x+4∈（0，4]，‎ f（x）=16﹣f（x+4）=16﹣（（x+4）2﹣2x+4），‎ ‎∵f（x）+f（x+4）=16，‎ ‎∴f（x+4）+f（x+8）=16，‎ ‎∴f（x）=f（x+8），‎ ‎∴函数f（x）是R上周期为8的函数；‎ 当x∈（﹣4，4]时，f（2）=f（4）=0；‎ 而2020=8×252+4，‎ f（2）=f（10）=f（18）=…=f（8×251+2），‎ f（﹣4）=f（4）=f（8×251+4），‎ 故函数f（x）在上的零点个数是251+1+251+2=505，‎ 故选B．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13 5名旅客，安排在3个客房里，每个客房至少安排1名旅客，则不同方法有　　种150‎ ‎14．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是　　．‎ ‎15. 若直线和直线相互垂直,则值为 .0, 1‎ ‎16．已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于　﹣　．‎ ‎【考点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系．‎ ‎【分析】利用三角形面积公式表示出S，利用余弦定理表示出cosC，变形后代入已知等式，化简求出cosC的值，进而求出sinC的值，即可求出tanC的值．‎ ‎【解答】解：∵S=absinC，cosC=，‎ ‎∴2S=absinC，a2+b2﹣c2=2abcosC，‎ 代入已知等式得：2S=a2+b2﹣c2+2ab，即absinC=2abcosC+2ab，‎ ‎∵ab≠0，∴sinC=2cosC+2，‎ ‎∵sin2C+cos2C=1，‎ ‎∴5cos2C+8cosC+3=0，即（cosC+1）（5cosC+3）=0，‎ 解得：cosC=﹣1（不合题意，舍去），cosC=﹣，‎ ‎∴sinC==，‎ 则tanC==﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）‎ ‎17 已知函数.‎ ‎（1）试求的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（2）已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，试求面积的最大值．‎ 答案及解析：‎ ‎.（1），，；（2）.‎ 试题解析：（1）‎ ‎.‎ ‎∴.‎ ‎，，‎ ‎∴的单调递减区间为，.‎ ‎（2）.‎ 又∵，，‎ ‎，∴.‎ ‎.‎ 当且仅当时取等号.‎ ‎18 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．‎ ‎（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；‎ ‎（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．‎ 答案及解析：‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．‎ ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1，根据P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48，即可求得结论；‎ ‎（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；‎ B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1‎ ‎∵P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48‎ ‎∴P（B）=0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352；‎ ‎（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3‎ P（ξ=0）=P（A2A）=0.36×0.4=0.144‎ P（ξ=2）=P（B）=0.352‎ P（ξ=3）=P（A0）=0.16×0.6=0.096‎ P（ξ=1）=1﹣0.144﹣0.352﹣0.096=0.408‎ ‎∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400．‎ ‎19 已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项 ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．‎ 答案及解析：‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；‎ ‎（II）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），‎ ‎∴，‎ 解得a1=3，d=2，‎ ‎∵b1=a1=3，b2=a4=9，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由（I）可知：an=3+2（n﹣1）=2n+1．‎ ‎，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，单调递减，得，‎ 而，‎ 所以不存在k∈N*，使得等式成立．‎ ‎20．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．‎ ‎（1）求证：PC⊥AD； ‎ ‎（2）求点D到平面PAM的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】（1）取AD中点O，由题意可证AD⊥平面POC，可证PC⊥AD；‎ ‎（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证PO为三棱锥P﹣ACD的体高．设点D到平面PAC的距离为h，由VD﹣PAC=VP﹣ACD可得h的方程，解方程可得．‎ ‎【解答】解：（1）取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，‎ ‎∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，‎ ‎∴AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD．‎ ‎（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，‎ 由（1）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．‎ 在Rt△POC中，，，‎ 在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，‎ ‎∴△PAC的面积，‎ 设点D到平面PAC的距离为h，由VD﹣PAC=VP﹣ACD得，‎ 又，∴，‎ 解得，∴点D到平面PAM的距离为．‎ ‎21．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）当截距不为0时，根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，设出切线方程x+y=a，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切线的方程；‎ ‎（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，‎ ‎∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，‎ 又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，‎ ‎∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，‎ 即，‎ 解得：a=﹣1或a=3，‎ 当截距为零时，设y=kx，‎ 同理可得或，‎ 则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．‎ ‎（2）∵切线PM与半径CM垂直，‎ ‎∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．‎ ‎∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．‎ ‎∴2x1﹣4y1+3=0．‎ ‎∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．‎ ‎∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．‎ 而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，‎ ‎∴由，可得 故所求点P的坐标为．‎ ‎22．已知函数f（x）=1﹣在R上是奇函数．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）对x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；‎ ‎（3）令g（x）=，若关于x的方程g（2x）﹣mg（x+1）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】（1）根据f（0）=0可求得a的值，然后验证a的取值满足函数为奇函数；‎ ‎（2）分离参数法，将问题转化为函数的最值问题求解；‎ ‎（3）可先将方程化简，然后问题转化为一元二次方程在指定区间上根的分布问题，然后再进一步求解．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知f（0）=0．即，‎ 所以a=2．此时f（x）=，‎ 而f（﹣x）=，‎ 所以f（x）为奇函数，故a=2为所求．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为x∈（0，1]，所以2x﹣1＞0，2x+1＞0，‎ 故s•f（x）≥2x﹣1恒成立等价于s≥2x+1恒成立，‎ 因为2x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．‎ 故s的取值范围是[3，+∞）．‎ ‎（3）因为．‎ 所以g（2x）﹣mg（x+1）=．‎ 整理得22x﹣2m•2x﹣m+1=0．‎ 令t=2x＞0，则问题化为t2﹣2mt﹣m+1=0有一个正根或两个相等正根．‎ 令h（t）=t2﹣2mt﹣m+1（t＞0），则函数h（t）=t2﹣2mt﹣m+1在（0，+∞）上有唯一零点．‎ 所以h（0）≤0或，‎ 由h（0）≤0得m≥1，‎ 易知m=1时，h（t）=t2﹣2t符合题意；‎ 由解得，‎ 所以m=．‎ 综上m的取值范围是．‎ ‎　‎