2018-2019学年山东省师大附中高二下学期期中考试数学试题（Word版）

2018-2019学年山东省师大附中高二下学期期中考试数学试题（Word版）

山东省师大附中2018-2019学年高二下学期期中考试 数 学 试 卷 ‎ 命题人： 张洁 审核人： 孔蕊 ‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在规定的位置上。‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设，复数表示纯虚数，则的值为 A．　　　 B． C． D．‎ ‎2．设复数满足，则复数的虚部为 ‎ A. 　 B. C. D. ‎ ‎3. 在复平面内，若复数，则复数的共轭复数对应的点位于 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5‎ ‎4. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断：‎ ‎ ‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ①在区间内单调递增； ②在区间内单调递减；‎ ③在区间内单调递增； ④是极小值点； ‎ ⑤是极大值点.‎ 其中正确的是 ‎ ‎ A. ③⑤ B. ②③ C. ①④⑤ D. ①②④‎ ‎5. 已知向量，且与互相垂直，则的值是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 从名男生和名女生中选出人，分别从事三项不同的工作，若这人中至少有名女生，则不同的选派方案有 ‎ ‎ A． 种 B．种 C．种 D．种 ‎7. 已知正四面体，分别是棱的中点，则直线与直线所成角的大小为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 已知函数有极值，则实数的取值范围是 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10. 近期所高校要来山师附中进行高考招生政策宣讲，学校办公室要从小郑、小赵、小李、小汤、小王名工作人员中选派人分别从事接待、礼仪、保卫、司机四项不同的工作，若其中小郑和小赵只能从事前两项工作，其余人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ‎ ‎ A．种 　 B．种 C．种 D．种 ‎ ‎11. 已知，则 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知函数， ，使得成立，则实数的取值范围为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知，则的值为________．‎ ‎14. 已知函数是奇函数，，当时，，‎ ‎ 则不等式的解集为 ．‎ 15. 将正方形沿对角线折成直二面角 ，‎ ①与平面所成角的大小为 ②是等边三角形 ③与所成的角为 ④ ⑤二面角为 则上面结论正确的为________．‎ 16. 已知函数，函数，若不存在，使 ‎，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 求下列函数在指定点的导数：‎ ‎（1） ，； （2），．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，设该厂年内共生产该新型玩具千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且满足函数关系：．‎ ‎（1）写出年利润（万元）关于该新型玩具年产量（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 正四棱柱中，，为中点，为中点．‎ ‎ （1）证明：∥平面；‎ ‎ （2）若直线与平面所成的角为，求的长．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间及函数在上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若时，函数在区间上是减函数，求实数的取值范围. ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，平面平面，，，‎ ‎，，，.‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数，（）．‎ ‎（1）若，求的极值； ‎ ‎（2）若时，，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ 数学试卷答案 一、选择题 ‎1-5 6-10 11-12 ‎ 二、填空题 ‎13. 15 14. (－2，0)∪(2，＋∞) 15. (2)(3)(4) 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 【解析】(1) ..........5分 ‎(2) ..........10分 ‎18. 【解析】（1）依题意， ，.......4分 ‎(2）由（1）得，令，得. ‎ ‎∴当时，,单调递增；当时，，单调递减.‎ ‎∴当时，有. 即当年产量为千件时，‎ 该厂在该商品生产中获得的年利润最大且最大值为38.6万元 ........12分 ‎19. 【解析】（1）法一几何法（略）,法二向量法 以为原点的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系 设,则，，，，‎ 故，． ‎ 设平面的法向量=(x,y,z)．∵平面，∴,，得 取，得平面的一个法向量． ，‎ 又平面，所以∥平面； .......6分 ‎（2） ,则．‎ ‎ 即 解得，即的长为2． ........12分 ‎20. 【解析】（1）与直线垂直的直线斜率为2,‎ ‎,则 ........2分 则 当时,, 递减;当时,, 递增.‎ 所以的单减区间为;的单增区间为. ........5分 因为在上减,在上增,所以函数在上的 最大值为 , 最小值为 .......7分 ‎(2) ）若时，‎ 若函数在区间上是减函数则 即,设,,‎ 所以在上单调递增, ‎ 所以. ........12分 ‎21.【解析】【解析】(1)∵面面，面面，‎ ‎∵，面，∴面， ‎ ‎∵面， ∴，‎ 又，∴面， ........2分 ‎(2)取中点为，连结，，‎ ‎∵， ∴， ‎ ‎∵， ∴， ........3分 以为原点，如图建系易知，，，，‎ 则，，，，‎ 设为面的法向量，令．，........5分 设为面的法向量，令．‎ ‎， ........7分 则二面角余弦值为 ........8分 二面角正弦值为 ........9分 ‎ (3)假设存在点使得面， 设，，‎ 由(2)知，，，，‎ 有∴‎ ‎∵面，为的法向量，‎ ‎∴，即，∴‎ ‎∴综上，存在点，即当时，点即为所求． ........12分 ‎22．【解析】 (1)当时，‎ 时，则.‎ 当x变化时，变化状态如下表：‎ ‎ +‎ ‎ 0‎ ‎ -‎ ‎ 0‎ ‎ +‎ ‎ ‎ 极大 ‎ ‎ 极小 ‎ ‎ 所以的极大值是 ，的极小值是 ........5分 ‎（2））等价于当时,恒成立 解法一: 当,等号成立,当,,设 ‎,由经典不等式 或者 ‎,‎ 这里用到洛比达法则: ........12分 解法二: ‎ 若,则,即不等式恒成立.(充分性)‎ 若 ‎,‎ 这与当时,恒成立相矛盾(必要性)‎ 解法三: 当时,恒成立,且 所以(必要性)‎ 当时, 则,即不等式恒成立(充分性)‎