- 2021-04-13 发布 |
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文档介绍
专题15 二项式定理及数学归纳法(高考押题)-2017年高考数学(理)考纲解读与热点难点突破
专题15 二项式定理及数学归纳法(高考押题) 2017年高考数学(理)考纲解读与热点难点突破 1. (x-y)8的展开式中,x6y2项的系数是( ) A.56 B.-56 C.28 D.-28 【答案】A 【解析】二项式的通项为Tr+1=Cx8-r·(-y)r,令8-r=6,即r=2,得x6y2项的系数为C(-)2=56. 2.已知a=2cosdx,则二项式的展开式中x的系数为( ) A.10 B.-10 C.80 D.-80 【答案】D 3.在的二项展开式中,常数项为( ) A.1 024 B.1 324 C.1 792 D.-1 080 【答案】C 【解析】的二项展开式的通项公式为Tr+1=Cx8-r(-2)rx-= (-2)rCx8-,令8-r=0,解得r=6,故展开式中的常数项为1 792.故选C. 4.若二项式(3-x)n(n∈N*)中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则+的最小值为( ) A.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】令x=1,可求得a=2n; 令x=-1,可求得b=4n; 所以+=2n+,令t=2n,t≥2, 所以+=t+≥2+=,故选B. 5.设(1+x+x2)n=a0+a1x+…+a2nx2n,则a2+a4+…+a2n的值为( ) A. B. C.3n-2 D.3n 【答案】B 6.已知(ax+1)5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等,则a=________. 【解析】 由二项式定理知,(ax+1)5的展开式中x2的系数为Ca2, 的展开式中x3的系数为C×,于是有Ca2=C×,解得a2=, 所以a=±. 【答案】 ± 7.的展开式中各项系数之和为729,则该展开式中x2的系数为________. 【解析】 依题意,得3n=729,即n=6.二项式的展开式的通项是Tr+1=C·(2x)6-r·=C·26-r·x6-.令6-=2,得r=3.因此,在该二项式的展开式中x2的系数是C×26-3=160. 【答案】 160 8.在的展开式中,x2项的系数为________. (结果用数字表示). 【答案】 45 9.设(2x-1)6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=________. 解析 ∵Tr+1=C(2x)6-r(-1)r=(-1)r26-rCx6-r, ∴ar+1=(-1)r26-rC. ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6| =a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=2×(-1)-1]6=36. 答案 729 10.二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是________(用数字作答). 解析 设二项式(x+y)5的展开式的通项公式为Tr+1,则Tr+1=Cx5-r·yr,令r=3,则含x2y3的项的系数是C=10. 答案 10 11.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=________. 解析 由等式两边对应项系数相等,即 ⇒a3=10. 答案 10 12.设二项式的展开式中常数项为A,则A=________. 13.若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为________. 解析 Tr+1=C(ax2) 6-r=Ca6-rbrx12-3r,令12-3r=3,则r=3. ∴Ca3b3=20,即ab=1. ∴a2+b2≥2ab=2, 即a2+b2的最小值为2. 答案 2 14. 的展开式中x2y2的系数为________(用数字作答). 解析 Tr+1=C·· =(-1)r·C·x·y, 令得r=4. 所以展开式中x2y2的系数为(-1)4·C=70. 答案 70 15.设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值; (1)a0; (2)a1+a3+a5+…+a99; (3)(a0+a2+a4+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2. 解 (1)由(2-x)100展开式中的常数项为C·2100,即a0=2100,或令x=0,则展开式可化为a0=2100. (2)令x=1,得 a0+a1+a2+…+a99+a100=(2-)100① 令x=-1.可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100② 联立①②得:a1+a3+…+a99 =. (3)原式=(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)]·(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)] =(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100) =(2-)100(2+)100=1. 16.设a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*. (1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. 解:(1)因为a1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=,a3=f(a2)=,a4=f(a3)=, 猜想an=(n∈N*). 17.各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a-a=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:++…+≤对一切n∈N*恒成立. 解:(1)因为a-a=2, 所以数列{a}是首项为1,公差为2的等差数列, 所以a=1+(n-1)·2=2n-1, 又an>0,则an=. (2)证明:由(1)知,即证1++…+≤. ①当n=1时,左边=1,右边=1,所以不等式成立; 当n=2时,左边<右边,所以不等式成立. ②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时不等式成立, 即1++…+≤, 当n=k+1时, 左边=1++…++≤+<+=+ ==. 所以当n=k+1时不等式成立. 由①②知对一切n∈N*不等式恒成立. 18.已知函数f(x)=x2-ax+ln(x+1)(a∈R). (1)当a=2时,求函数f(x)的极值点; (2)若函数f(x)在区间(0,1)上恒有f′(x)>x,求实数a的取值范围; (3)已知a<1,c1>0,且cn+1=f′(cn)(n=1,2,…),证明数列{cn}是单调递增数列. 解:(1)当a=2时,f(x)=x2-2x+ln(x+1), f′(x)=2x-2+=. 令f′(x)=0,得x=±. 当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以函数f(x)的极大值点为x=-,极小值点为x=. (2)因为f′(x)=2x-a+, 由f′(x)>x,得2x-a+>x, 所以由题意知,a<x+(0<x<1)恒成立. 又x+=x+1+-1≥1,当且仅当x+1=,即x=0时等号成立. 所以a≤1. 故所求实数a的取值范围为(-∞,1]. 19.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1, b,r均为常数)的图象上. (1)求r的值; (2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*),证明:对任意的n∈N*,不等式··…·>成立. 解:(1)由题意,Sn=bn+r,当n≥2时,Sn-1=bn-1+r. 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1). 由于b>0且b≠1, 所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列. 又a1=b+r,a2=b(b-1), 所以=b,即=b,解得r=-1. (2)由(1)及b=2知an=2n-1,因此bn=2(log2an+1)=2n(n∈N*), 所证不等式为··…·>. ①当n=1时,左式=,右式=, 左式>右式,所以结论成立. ②假设n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即··…·>, 则当n=k+1时,··…··>·=. 要证当n=k+1时结论成立,只需证≥, 即证≥. 由基本不等式得=≥成立, 故≥成立, 所以,当n=k+1时,结论成立. 由①②可知,n∈N*时,不等式··…·>成立. 20.已知数列{an}满足a1=a,an+1=2an+(a,λ∈R). (1)若λ=-2,数列{an}单调递增,求实数a的取值范围; (2)若a=2,试写出an≥2对任意的n∈N*成立的充要条件,并证明你的结论. 解:(1)当λ=-2时,an+1=2an-,由题意知an+1>an,所以an+1-an=an->0,解得an>或-查看更多