高考数学人教A版(理)一轮复习:易失分点清零(十) 立体几何(二)

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高考数学人教A版(理)一轮复习:易失分点清零(十) 立体几何(二)

易失分点清零(十) 立体几何(二)‎ ‎1.将下面的平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后,直线MN与PQ是异面直线的是 (  ).[来源:学科网ZXXK]‎ ‎[来源:学科网]‎ A.①② B.③④ C.①④ D.②③‎ 答案 C ‎2.已知空间直角坐标系O-xyz中有一点A(-1,-1,2),点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则A,B两点的最短距离是 (  ).‎ A. B. C.3 D. 解析 点B在xOy平面内的直线x+y=1上,设点B为(x,-x+1,0),所以AB=== ,所以当x=时,AB取得最小值,此时点B为.‎ 答案 B ‎3.空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为 (  ).‎ A. B. C.- D.0‎ 解析 因为·=·(-)=·-·=||·||cos 〈,〉-||||cos〈,〉又因为〈,〉=〈,〉=,||=||,所以·=0,所以⊥,所以cos 〈,〉=0.‎ 答案 D ‎4.已知a,b是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是 (  ).‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ 解析 因为·=(++)·=2=1.‎ 所以cos〈,〉==.‎ 所以AB与CD所成的角为60°,即异面直线a与b所成的角为60°.‎ 答案 C ‎5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值是 (  ).‎ A.0 B. ‎ C.- D.[来源:学科网]‎ 解析 分别以直线DA,DC,DD1为x轴,y轴,z 轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,3),=(-1,2,0),1=(-1,-2,3),[来源:Zxxk.Com]‎ cos〈,〉= ‎= ‎=-,故AC与BD1所成角的余弦值为.‎ 答案 B ‎6.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(1,0,1),b=(0,1,1),那么这条斜线与平面所成的角是 (  ).‎ A.90° B.60° C.45° D.30°‎ 解析 ∵cos〈a,b〉==,又∵〈a,b〉∈[0,π],‎ ‎∴〈a,b〉=60°.‎ 答案 B ‎7.二面角α-l-β为60°,A,B是棱l上的两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为 (  ).‎ A.2a      B.a [来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ C.a      D.a 解析 ∵AC⊥l,BD⊥l,∴〈,〉=60°,且·=0,·=0,‎ ‎∴=++,∴||= ‎==2a.‎ 答案 A ‎8.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成角是 (  ).‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ 解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0),=(1,,-1),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos〈,n〉==-,所以〈,n〉=120°,所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°,所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.‎ 答案 A ‎9.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为 (  ).‎ A.10 B.3 C. D. 解析 =(1,2,-4),∴P到平面α的距离d====.‎ 答案 D ‎10.如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点,则二面角C-BF-D的正切值为 (  ).‎ A. B. C. D. 解析 如图所示,连接AC,AC∩BD=O,连接OF.以O为原点,OB、OC、OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz.设PA=AD=AC=1,则BD=.所以B,‎ F,C0,,0,D.‎ 结合图形可知,=且为面BOF的一个法向量,由=,=,‎ 可求得面BCF的一个法向量n=(1,,).‎ 所以cos〈n,〉=,sin〈n,〉=,‎ 所以tan〈n,〉=.‎ 答案 D ‎11.(2013·兰州模拟)已知点A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线,则实数λ+μ=________.‎ 解析 因为=(λ-1,1,λ-2μ-3),=(2,-2,6),若A,B,C三点共线,则∥,即=-=,解得λ=0,μ=0,所以λ+μ=0.‎ 答案 0‎ ‎12.已知A(2,5,-6),在xOy平面上存在点B,使得||=3,则点B到原点的最短距离为________.‎ 解析 设B(x,y,0),由||==3,得(x-2)2+(y-5)2‎ ‎=9,所以点B在xOy平面内以C(2,5)为圆心,以3为半径的圆上,到原点的最短距离是|OC|-3=-3.‎ 答案 -3‎ ‎13.(2013·泰安模拟)如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F、G分别是线段AE、BC的中点.AD与GF所成角的余弦值为________.‎ 解析 以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1),=(0,-2,2),=(-1,2,1),||=2,||=,·=-2,cos〈,〉==-.‎ 故AD与GF所成角的余弦值为.‎ 答案  ‎14.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=1,AB=2,点E是AB上一点.AE等于________时二面角P-EC-D的平面角为.‎ 解析 以D为原点,射线DA,DC,DP为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(0,2,0),=(0,2,-1).‎ 设E(1,y0,0),则=(-1,2-y0,0),设平面PEC的法向量为n1=(x,y,z),‎ ‎∴⇒ 令y=1,得n1=(2-y0,1,2),‎ 而平面ECD的法向量n2=(0,0,1),‎ 设二面角P-EC-D的平面角为θ,‎ ‎∴cos θ===⇒y0=2-,即AE=2-.‎ 答案 2- ‎15.已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.‎ ‎(1)证明:CM⊥SN;‎ ‎(2)求SN与平面CMN所成角的大小.‎ ‎(1)证明 设PA=1,以A为原点,AB,AC,AP所在直线为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系如图所示.则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M,N,S,‎ 所以=,=.‎ 因为·=-++0=0,所以CM⊥SN.‎ ‎(2)=,设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量.则即令x=2,得a=(2,1,-2).因为|cos〈a,〉|==.‎ 所以SN与平面CMN所成角为45°.‎
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