2019届二轮复习　复数、程序框图、平面向量与数学文化学案（全国通用）

2019届二轮复习　复数、程序框图、平面向量与数学文化学案（全国通用）

回扣2　复数、程序框图、平面向量与数学文化 ‎1．复数的相关概念及运算法则 ‎(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 ‎①z是实数⇔b＝0；‎ ‎②z是虚数⇔b≠0；‎ ‎③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.‎ ‎(2)共轭复数 复数z＝a＋bi的共轭复数＝a－bi.‎ ‎(3)复数的模 复数z＝a＋bi的模|z|＝.‎ ‎(4)复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．‎ ‎(5)复数的运算法则 加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；‎ 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ 除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i.‎ ‎2．复数的几个常见结论 ‎(1)(1±i)2＝±2i.‎ ‎(2)＝i，＝－i.‎ ‎(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．‎ ‎(4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.‎ ‎3．程序框图的三种基本逻辑结构 ‎(1)顺序结构：如图(1)所示．‎ ‎(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．‎ ‎(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．‎ ‎4．平面向量的数量积 ‎(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.‎ ‎(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎5．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎6．利用数量积求长度 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎||＝.‎ ‎7．利用数量积求夹角 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，‎ 则cos θ＝＝.‎ ‎8．三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则 ‎(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.‎ ‎(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.‎ ‎(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.‎ ‎(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.‎ ‎1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．‎ ‎2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2＝－1化简合并同类项．‎ ‎3．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别．‎ ‎4．解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应．‎ ‎5．在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果．‎ ‎6．a·b>0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；‎ a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件．‎ ‎1．复数z满足z(2－i)＝1＋7i，则复数z的共轭复数为(　　)‎ A．－1－3i B．－1＋3i C．1＋3i D．1－3i 答案　A 解析　∵z(2－i)＝1＋7i，‎ ‎∴z＝＝＝＝－1＋3i，‎ 共轭复数为－1－3i.‎ ‎2．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z2＝3＋2i，则z1·z2等于(　　)‎ A．13i B．－13i C．13＋12i D．12＋13i 答案　A 解析　由题意得z1＝2＋3i，‎ 故z1·z2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.‎ ‎3．z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上的点不可能位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　z＝＝，‎ 由于m－15，解得n>31，‎ 所以输出的n为32.‎ ‎14．已知平面内三个单位向量，，，〈，〉＝60°，若＝m＋n，则m＋n的最大值是______．‎ 答案　 解析　由已知条件＝m＋n，两边平方可得1＝m2＋mn＋n2＝(m＋n)2－mn，‎ ‎∴(m＋n)2－1＝mn，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m，n>0，‎ ‎∴(m＋n)2－1＝mn≤(m＋n)2，当且仅当m＝n时取等号，‎ ‎∴(m＋n)2≤1，则m＋n≤，即m＋n的最大值为.‎ ‎15．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1)，即可求得球的体积公式．请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为＋＝1，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(图2)，其体积等于________．‎ 答案　 解析　椭圆的长半轴长为5，短半轴长为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积 V＝2(V圆柱－V圆锥)‎ ‎＝2＝.‎ ‎16．已知O是锐角△ABC外接圆的圆心，∠A＝60°，·＋·＝2m，则m的值为______．‎ 答案　 解析　如图所示，‎ 取AB的中点D，则＝＋，OD⊥AB，所以·＝0，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由·＋·＝2m，‎ 得·＋·＝－2m(＋)，‎ 两边同乘，得·2＋··＝－2m(＋)·，‎ 即·c2＋·bc·cos A＝m·c2，‎ 所以·c＋·b·cos A＝m·c，‎ 由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)，‎ 得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，‎ 代入上式整理，得cos B＋cos Ccos A＝m·sin C，‎ 所以m＝ ‎＝＝sin A，‎ 又∠A＝60°，所以m＝sin 60°＝.‎