2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二上学期期中考试数学试题

2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二上学期期中考试数学试题

‎2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二上学期期中考试数学学科试题 命题：黄 希 审核：苏春蓉 周孝东 一. 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请将答案填写在答题卡指定位置处. ‎ ‎1.命题“”的否定是　　　　　　 ． ‎ ‎2.过点P(－1，3)且垂直于直线的直线方程为______________．‎ ‎3.是直线和直线平行的 条件．‎ ‎（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）‎ ‎4.若圆的半径为1，点与点关于点对称，则圆的标准方程为 ．‎ ‎5.已知正方体，分别是正方形和的中心，则和所成的角的大小是 .‎ ‎6.直线的倾斜角的取值范围是 ．‎ ‎7.设棱长为的正方体的体积和表面积分别为，底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为，若，则的值为 .‎ ‎8.直线被圆截得的弦长为2，则实数的值为 .‎ ‎9.在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为，则椭圆的方程为 .‎ ‎10. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，.给出下列命题：‎ ‎ ①；②；③；④.‎ ‎ 其中正确的命题是 .‎ ‎11.已知实数满足方程，则的取值范围是 　.‎ ‎12.已知圆与圆相外切，则的最大值为 .‎ ‎13.若圆关于直线对称，过点作圆的切线，则切线长的最小值是 .‎ ‎14.在平面直角坐标系中，已知椭圆与不过坐标原点的直线相交于两点，线段的中点为，若、的斜率之积为，则椭圆的离心率为 ﹒‎ 二. 解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ ‎ （1）求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程；‎ ‎ （2）求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的2倍的直线方程.‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 如图，过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF∥AB，使AB＝2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG＝GC.求证：‎ ‎（1）FG∥平面AED；‎ ‎（2）平面DAF⊥平面BAF.‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，设命题：椭圆的焦点在轴上；命题：直线 与圆有公共点.若命题为假命题，且命题为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ 如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且．‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求证：平面；‎ A B C D N F M E ‎（3）若为中点，在棱上，且，求证：平面．‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点 A(2,4)．‎ ‎（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；‎ ‎（3）设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.‎ ‎2017——2018学年第一学期高二期中数学评分标准 一、填空题（）‎ ‎1． 2. 3.充分不必要条件 4. ‎ ‎5. 6. 7. 8. -2 9. 10．①④ ‎ ‎11. 12. 13．4 14. ‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分）‎ ‎15.解：（1）所设求直线的斜率为，依题意…………………………2分 ‎ 直线经过点 ‎ 所求直线方程为，即.………………4分 ‎ （2）当直线不过原点时，设所求直线方程为 ‎ 将（-5,2）代入所设方程，解得，‎ ‎ 所求直线方程为；……………………………………………8分 ‎ 当直线过原点时，设所求直线方程为，‎ ‎ 将（-5,2）代入所设方程，解得，‎ ‎ 所求直线方程为，即；……………………………12分 ‎ 综上：所求直线方程为或.……………………14分 ‎16.证明：（1）DG＝GC，AB＝CD＝2EF，AB∥EF∥CD，‎ EF∥DG，EF＝DG.‎ 四边形DEFG为平行四边形，‎ FG∥ED.‎ 又FG∥平面AED，ED⊂平面AED，‎ FG∥平面AED. ………………………………………………………7分 ‎（2）平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，‎ AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，‎ AD⊥平面BAF，‎ 又AD⊂平面DAF，‎ 平面DAF⊥平面BAF. . ……………………………………………14分 ‎17.解：若命题为真：由题可知，，解得……………………3分 ‎ 若命题为真：与圆：有公共点 ‎ 则圆心到直线的距离：，解得…7分 ‎ 命题为假命题，且命题为真命题 ‎ 若真假，则 解得…………………10分 ‎ 若真假，则 解得……………………13分 ‎ 综上：实数的取值范围是…………………………………14分 ‎18. 解：（1）因为△是正三角形，且，所以．‎ 又⊥平面，故S△BCD．…………4分 A B C D N F M E ‎（2）在底面中，取的中点，连接，因，故．‎ 因，故为的中点．为的中点，故∥，故．‎ 因平面，平面，故平面平面．‎ ‎△是正三角形，为的中点，故，故平面．‎ 平面，故．又，故平面．‎ ‎（3）当时，连，设，连．…………………10分 因为的中点，为中点，故为△的重心，．‎ 因，，故，所以∥．‎ 又平面，平面，所有∥平面．…………………16分 ‎19.解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，‎ 所以圆心M(6,7)，半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．‎ 因为圆N与x轴相切，与圆M外切，‎ 所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.‎ 因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)因为直线l//OA，‎ 所以直线l的斜率为＝2.‎ 设直线l的方程为y＝2x＋m，‎ 即2x－y＋m＝0，‎ 则圆心M到直线l的距离 d＝＝.‎ 因为BC＝OA＝＝2，‎ 而MC2＝d2＋2，‎ 所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.‎ 故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.‎ ‎(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ 因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，‎ 所以①‎ 因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②‎ 将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.‎ 于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，‎ 从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，‎ 所以5－5≤≤5＋5，‎ 解得2－2≤t≤2＋2.‎ 因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2 ]．‎ ‎20.解：（1）椭圆：的离心率，左顶点为 ‎ ……………………………………………………………2分 ‎ ‎ ‎ 椭圆的标准方程为．…………………………………4分 ‎ （2）直线的方程为 ‎ 由消元得 ‎ …………………………………………6分 ‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ 点为的中点 ‎ 的坐标为 ‎ 则………………………………………………………………8分 ‎ 直线的方程为，令，得点坐标为 ‎ 假设存在定点使得，‎ ‎ 则，即恒成立 ‎ 恒成立 ‎ ，即 ‎ 定点的坐标为…………………………………………………………10分 ‎（3）‎ ‎ 的方程可设为 ‎ 由，得点的横坐标为……………………12分 ‎ 由，得…………14分 ‎ ‎ ‎ 当且仅当即时取“=”‎ ‎ 当时，的最小值为﹒……………………………16分