2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二上学期期中考试数学试题

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2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二上学期期中考试数学试题

‎2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二上学期期中考试数学学科试题 命题:黄 希 审核:苏春蓉 周孝东 一. 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。请将答案填写在答题卡指定位置处. ‎ ‎1.命题“”的否定是       . ‎ ‎2.过点P(-1,3)且垂直于直线的直线方程为______________.‎ ‎3.是直线和直线平行的 条件.‎ ‎(从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中,选出适当的一种填空)‎ ‎4.若圆的半径为1,点与点关于点对称,则圆的标准方程为 .‎ ‎5.已知正方体,分别是正方形和的中心,则和所成的角的大小是 .‎ ‎6.直线的倾斜角的取值范围是 .‎ ‎7.设棱长为的正方体的体积和表面积分别为,底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为,若,则的值为 .‎ ‎8.直线被圆截得的弦长为2,则实数的值为 .‎ ‎9.在平面直角坐标系中,已知椭圆过点,离心率为,则椭圆的方程为 .‎ ‎10. 已知是两个不同的平面,是两条不同的直线,.给出下列命题:‎ ‎ ①;②;③;④.‎ ‎ 其中正确的命题是 .‎ ‎11.已知实数满足方程,则的取值范围是  .‎ ‎12.已知圆与圆相外切,则的最大值为 .‎ ‎13.若圆关于直线对称,过点作圆的切线,则切线长的最小值是 .‎ ‎14.在平面直角坐标系中,已知椭圆与不过坐标原点的直线相交于两点,线段的中点为,若、的斜率之积为,则椭圆的离心率为 ﹒‎ 二. 解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ ‎ (1)求过点,斜率是直线的斜率的的直线方程;‎ ‎ (2)求经过点,且在轴上的截距等于在轴上截距的2倍的直线方程.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图,过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF∥AB,使AB=2EF,且平面ABFE⊥平面ABCD,若点G在CD上且满足DG=GC.求证:‎ ‎(1)FG∥平面AED;‎ ‎(2)平面DAF⊥平面BAF.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系中,设命题:椭圆的焦点在轴上;命题:直线 与圆有公共点.若命题为假命题,且命题为真命题,求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 如图,在三棱锥中,已知是正三角形,平面,,为的中点,在棱上,且.‎ ‎(1)求三棱锥的体积;‎ ‎(2)求证:平面;‎ A B C D N F M E ‎(3)若为中点,在棱上,且,求证:平面.‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点 A(2,4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;‎ ‎(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,左顶点为,过点作斜率为的直线交椭圆于点,交轴于点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知为的中点,是否存在定点,对于任意的都有,若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)若过点作直线的平行线交椭圆于点,求的最小值.‎ ‎2017——2018学年第一学期高二期中数学评分标准 一、填空题()‎ ‎1. 2. 3.充分不必要条件 4. ‎ ‎5. 6. 7. 8. -2 9. 10.①④ ‎ ‎11. 12. 13.4 14. ‎ 二、解答题(本大题共6小题,共计90分)‎ ‎15.解:(1)所设求直线的斜率为,依题意…………………………2分 ‎ 直线经过点 ‎ 所求直线方程为,即.………………4分 ‎ (2)当直线不过原点时,设所求直线方程为 ‎ 将(-5,2)代入所设方程,解得,‎ ‎ 所求直线方程为;……………………………………………8分 ‎ 当直线过原点时,设所求直线方程为,‎ ‎ 将(-5,2)代入所设方程,解得,‎ ‎ 所求直线方程为,即;……………………………12分 ‎ 综上:所求直线方程为或.……………………14分 ‎16.证明:(1)DG=GC,AB=CD=2EF,AB∥EF∥CD,‎ EF∥DG,EF=DG.‎ 四边形DEFG为平行四边形,‎ FG∥ED.‎ 又FG∥平面AED,ED⊂平面AED,‎ FG∥平面AED. ………………………………………………………7分 ‎(2)平面ABFE⊥平面ABCD,平面ABFE∩平面ABCD=AB,‎ AD⊥AB,AD⊂平面ABCD,‎ AD⊥平面BAF,‎ 又AD⊂平面DAF,‎ 平面DAF⊥平面BAF. . ……………………………………………14分 ‎17.解:若命题为真:由题可知,,解得……………………3分 ‎ 若命题为真:与圆:有公共点 ‎ 则圆心到直线的距离:,解得…7分 ‎ 命题为假命题,且命题为真命题 ‎ 若真假,则 解得…………………10分 ‎ 若真假,则 解得……………………13分 ‎ 综上:实数的取值范围是…………………………………14分 ‎18. 解:(1)因为△是正三角形,且,所以.‎ 又⊥平面,故S△BCD.…………4分 A B C D N F M E ‎(2)在底面中,取的中点,连接,因,故.‎ 因,故为的中点.为的中点,故∥,故.‎ 因平面,平面,故平面平面.‎ ‎△是正三角形,为的中点,故,故平面.‎ 平面,故.又,故平面.‎ ‎(3)当时,连,设,连.…………………10分 因为的中点,为中点,故为△的重心,.‎ 因,,故,所以∥.‎ 又平面,平面,所有∥平面.…………………16分 ‎19.解:圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,‎ 所以圆心M(6,7),半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).‎ 因为圆N与x轴相切,与圆M外切,‎ 所以0<y0<7,圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.‎ 因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.‎ ‎(2)因为直线l//OA,‎ 所以直线l的斜率为=2.‎ 设直线l的方程为y=2x+m,‎ 即2x-y+m=0,‎ 则圆心M到直线l的距离 d==.‎ 因为BC=OA==2,‎ 而MC2=d2+2,‎ 所以25=+5,解得m=5或m=-15.‎ 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.‎ ‎(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).‎ 因为A(2,4),T(t,0),+=,‎ 所以①‎ 因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②‎ 将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.‎ 于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,‎ 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,‎ 所以5-5≤≤5+5,‎ 解得2-2≤t≤2+2.‎ 因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2 ].‎ ‎20.解:(1)椭圆:的离心率,左顶点为 ‎ ……………………………………………………………2分 ‎ ‎ ‎ 椭圆的标准方程为.…………………………………4分 ‎ (2)直线的方程为 ‎ 由消元得 ‎ …………………………………………6分 ‎ 当时,‎ ‎ ‎ ‎ 点为的中点 ‎ 的坐标为 ‎ 则………………………………………………………………8分 ‎ 直线的方程为,令,得点坐标为 ‎ 假设存在定点使得,‎ ‎ 则,即恒成立 ‎ 恒成立 ‎ ,即 ‎ 定点的坐标为…………………………………………………………10分 ‎(3)‎ ‎ 的方程可设为 ‎ 由,得点的横坐标为……………………12分 ‎ 由,得…………14分 ‎ ‎ ‎ 当且仅当即时取“=”‎ ‎ 当时,的最小值为﹒……………………………16分
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