山东省烟台市招远第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

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文档介绍

山东省烟台市招远第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

高一数学 注意事项:‎ ‎1.本试题满分150分,考试时间为120分钟.‎ ‎2.答卷前,务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.‎ ‎3.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.‎ ‎1.设复数(i为虚数单位),则在复平面内z对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘法运算可得到结果.‎ ‎【详解】复数,对应的点坐标为,在第一象限.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】在复平面上,点和复数一一对应,所以复数可以用复平面上的点来表示,这就是复数的几何意义.复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来,从而使复数问题可通过画图来解决,即实现了数与形的转化.由此将抽象问题变成了直观的几何图形,更直接明了,属于基础题.‎ ‎2.若向量,,与共线,则实数k的值为( )‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出与的坐标表示,然后再按照向量共线的条件列出方程求解即可.‎ ‎【详解】,,‎ 因为与共线,所以有,解之得:.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查向量共线的充要条件的应用,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎3.已知正三角形的边长为,那么的直观图的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出原图和直观图,然后求面积.‎ ‎【详解】如图,直观图的底边长度为原图形的底边长,高为原图形的高的一半乘以,故其直观图面积为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了斜二测画法及平面直观图的面积,熟记作图原则是关键,属于基础题.‎ ‎4.在中,,,,则此三角形( )‎ A. 无解 B. 两解 C. 一解 D. 解的个数不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理列出关系式,把a,b,的值代入求出的值,即可做出判断.‎ ‎【详解】∵在中,,,,‎ ‎∴由正弦定理得:,‎ 又∵,‎ ‎∴此三角形有两解.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形解的情况,解题关键是能够熟练掌握正弦定理,考查逻辑思维能力和运算求解能力,属于常考题.‎ ‎5.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上,则圆柱的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆柱的底面圆的半径,再求圆柱的表面积.‎ ‎【详解】由题得圆柱的底面圆的半径为,‎ 所以圆柱的侧面积为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查球的内接圆柱问题,考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象观察能力,关键在于求出圆柱的底面圆的半径,属于中档题.‎ ‎6.在平行四边形中,点N为对角线上靠近A点的三等分点,连结并延长交于M,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,再把代入化简即得解.‎ ‎【详解】‎ 如图,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查数乘向量和向量的减法法则,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周十尺,高六尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为10尺,米堆的高为6尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算堆放的米约为( )‎ A. 17斛 B. 25斛 C. 41斛 D. 58斛 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可.‎ ‎【详解】解:设圆锥的底面半径为,则,‎ 解得,‎ 故米堆的体积为,‎ 斛米体积约为1.62立方尺,‎ ‎,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查锥体的体积的计算,属于基础题.‎ ‎8.如图,为了测量B,C两点间的距离,选取同一平面上A,D两点,已知,,,,,则的长为( )‎ A. B. ‎5 ‎C. D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中,由正弦定理求出,再根据诱导公式求出,最后在中,由余弦定理计算可得;‎ ‎【详解】解:在中,由正弦定理可得,即 所以,又因为,所以 在中,由余弦定理可得 即 所以 故选:A ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,属于基础题.‎ 二.多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.在复平面内,下列说法正确的是( )‎ A. 若复数(i为虚数单位),则 B. 若复数z满足,则 C. 若复数,则z为纯虚数的充要条件是 D. 若复数z满足,则复数z对应点的集合是以原点O为圆心,以1为半径的圆 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算及相关概念一一判断可得;‎ ‎【详解】解:对于A:,,,所以,故A正确;‎ 对于B:设,,所以,若,则,则或或,当时,故B错误;‎ 复数,则z为纯虚数的充要条件是且,故C错误;‎ 若复数z满足,则复数z对应点的集合是以原点O为圆心,以1为半径的圆,故D正确;‎ 故选:AD ‎【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解,属于基础题.‎ ‎10.下列叙述错误的是( )‎ A. 已知直线和平面,若点,点且,,则 B. 若三条直线两两相交,则三条直线确定一个平面 C. 若直线不平行于平面,且,则内的所有直线与都不相交 D. 若直线和不平行,且,,,则l至少与,中的一条相交 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线线关系、线面关系性质定理及判定定理判断可得;‎ ‎【详解】解:由公理一,可知A正确;‎ 若三条直线相交于一点,则三条直线不能唯一确定一个平面,故B错误;‎ 若直线不平行于平面,且,则与平面相交,设交点为,则平面中所有过点的直线均与直线相交,故C错误;‎ 若直线和不平行,且,,,‎ 所以直线和异面 与共面,与共面,‎ 可以与平行或相交,可以与平行或相交,‎ 但是一定不能同时平行,若两条直线与同时平行,‎ 则和平行,与两条直线是异面直线矛盾,‎ 至少与和中的一条相交,故D正确;‎ 故选:BC.‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系,本题解题的关键是理解两条直线在空间中所有的关系就只有三种,属于中档题.‎ ‎11.下列结论正确的是( )‎ A. 在中,若,则 B. 在锐角三角形中,不等式恒成立 C. 在中,若,,则为等腰直角三角形 D. 在中,若,,三角形面积,则三角形外接圆半径为 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项A,利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A正确;对选项B ‎,利用余弦定理,即可判断B正确,对选项C,首先根据余弦定理得到,利用正弦定理边化角公式得到,再化简即可判断选项C正确.对选项D,首先利用面积公式得到,利用余弦定理得到,再利用正弦定理即可判断D错误.‎ ‎【详解】对选项A,在中,由,‎ 故A正确.‎ 对选项B,若,则,‎ 又因为,所以为锐角,符合为锐角三角形,故B正确.‎ 对选项C,,整理得:.‎ 因为,所以,即.‎ 所以,即,‎ ‎,‎ 即,又,所以.‎ 故,则为等腰直角三角形,故C正确.‎ 对选项D,,解得.‎ ‎,‎ 所以.‎ 又因为,,故D错误.‎ 故选:ABC ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用,熟练掌握公式为解题的关键,属于中档题.‎ ‎12.在中,D,E,F分别是边,,中点,下列说法正确的是( )‎ A. ‎ B. ‎ C. 若,则是在的投影向量 D. 若点P是线段上的动点,且满足,则的最大值为 ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项A,B,利用平面向量的加减法即可判断A错误,B正确.对选项C,首先根据已知得到为的平分线,即,再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D,首先根据三点共线,设,,再根据已知得到,从而得到,即可判断选项D正确.‎ ‎【详解】如图所示:‎ 对选项A,,故A错误.‎ 对选项B,‎ ‎,故B正确.‎ 对选项C,,,分别表示平行于,,的单位向量,‎ 由平面向量加法可知:为的平分线表示的向量.‎ 因为,所以为的平分线,‎ 又因为为的中线,所以,如图所示:‎ 在的投影为,‎ 所以是在的投影向量,故选项C正确.‎ 对选项D,如图所示:‎ 因为在上,即三点共线,‎ 设,.‎ 又因为,所以.‎ 因为,则,.‎ 令,‎ 当时,取得最大值为.故选项D正确.‎ 故选:BCD ‎【点睛】本题主要考查平面向量的加法,减法的几何意义,数形结合为解决本题的关键,属于中档题.‎ 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知复数(i为虚数单位),则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简,求出的共轭复数,再求模长即可.‎ ‎【详解】,‎ ‎,.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的模长,同时考查复数的四则运算和共轭复数,属于简单题.‎ ‎14.已知向量,夹角为30°,,,则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合平面向量数量积的定义可得,再利用计算即可得解.‎ ‎【详解】向量,夹角为30°,,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用,考查了运算求解能力,熟练掌握平面向量数量积的定义及是解题关键,属于基础题.‎ ‎15.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,且,则的值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合正弦定理、余弦定理可转化条件为、,求得后代入运算即可得解.‎ ‎【详解】,,‎ ‎,由可得,‎ 又,,‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用,考查了运算求解能力与转化化归思想,熟记公式,合理运用是解题的关键,属于中档题.‎ ‎16.已知一个高为的三棱锥,各侧棱长都相等,底面是边长为的等边三角形,则三棱锥的表面积为______,若三棱锥内有一个体积为V的球,则V的最大值为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形,取的中点,连接、,设的中心为,连接,由题意结合正三棱锥的几何特征可得、,进而可求得的三棱锥的表面积和体积,由等体积法即可求得三棱锥内切球的半径,即可得解.‎ ‎【详解】由题意,三棱锥如图所示:‎ 取的中点,连接、,‎ 由正三角形的性质可得的中心在线段上,且,‎ 连接,则即为该三棱锥的高,即, ‎ 所以,‎ 又,所以,‎ 所以,‎ 又,‎ 所以三棱锥的表面积;‎ 所以该三棱锥的体积,‎ 当球与三棱锥内切时,体积最大,‎ 设三棱锥的内切球的半径为,‎ 则,解得,‎ 则.‎ 故答案为:;.‎ ‎【点睛】本题考查了正三棱锥几何特征的应用以及几何体内切球半径的求解,考查了空间思维能力与运算求解能力,属于中档题.‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图,正方体中,E,F分别为,的中点.‎ ‎(1)求证:E,F,B,D四点共面;‎ ‎(2)若,,与平面交于点R,求证:P,Q,R三点共线.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接,由正方体的几何特征及平面几何的知识可得,由平面的基本性质即可得证;‎ ‎(2)由题意可得是平面与平面的交线,由平面的基本性质即可得证.‎ ‎【详解】(1)证明:连接,如图:‎ 在正方体中,分别为的中点,‎ 是的中位线,,‎ 又因为,,‎ 四点共面;‎ ‎(2)证明:在正方体中,,,‎ 是平面与平面的交线,‎ 又因为交平面于点,‎ 是平面与平面的一个公共点.‎ 两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上,‎ 三点共线.‎ ‎【点睛】本题考查了利用平面的基本性质证明点共面及点共线问题,考查了空间思维能力与逻辑推理能力,属于基础题.‎ ‎18.已知复数(i为虚数单位,)为纯虚数,和b是关于x方程的两个根.‎ ‎(1)求实数a,b的值;‎ ‎(2)若复数z满足,说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形?并求该图形的面积 ‎【答案】(1),(2)点的集合是以原点为圆心,以和为半径的两个圆所夹的圆环,包括边界;面积为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据复数的分类求解,然后由韦达定理可求得;‎ ‎(2)根据模的几何意义说明结论.‎ ‎【详解】解:(1)因为为纯虚数,‎ 所以,即,‎ 解得,‎ 此时,由韦达定理得,‎ ‎.‎ ‎(2)复数满足,即,‎ 不等式解集是圆的外部(包括边界)所有点组成的集合,‎ 不等式的解集是圆的内部(包括边界)所有点组成的集合,‎ 所以所求点的集合是以原点为圆心,以和为半径的两个圆所夹的圆环,包括边界.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查复数的分类、韦达定理,考查复数模的几何意义,属于基础题.‎ ‎19.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.‎ ‎(1)求C;‎ ‎(2)若,,求a.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由余弦定理可求得;‎ ‎(2)由正弦定理化边为角,再由诱导公式和两角和正弦公式变形可求得,然后由正弦定理求得边.‎ ‎【详解】解:(1)因为,‎ 所以,‎ 因为,所以;‎ ‎(2)因为,‎ 由正弦定理可得,‎ 故,‎ ‎ ‎ 所以,‎ 因为,所以,‎ 由正弦定理可得,.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理,掌握正弦定理的边角转换是解题关键.‎ ‎20.如图,在三棱锥中,高,,,.‎ ‎(1)求三棱锥的体积;‎ ‎(2)求三棱锥的表面积.‎ ‎【答案】(1)2(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由体积公式直接计算;‎ ‎(2)题中有两两垂直,面积易得,然后求出三边长,得等腰三角形,求出底边上的高可得面积.‎ ‎【详解】解:(1)因为是高,,,,‎ 所以;‎ ‎(2)因为是高,平面,平面,所以,同理,‎ ‎,,,‎ 所以,‎ ‎,‎ 是等腰三角形,,,‎ 所以,‎ 所以三棱锥的表面积为.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥的体积与表面积,根据体积公式直接计算体积,根据表面积的定义计算出各个面的面积后相加即得表面积.属于基础题.‎ ‎21.如图,四边形中,.‎ ‎(1)用,表示;‎ ‎(2)若,点在上,,点在上,,,求.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可以根据向量的三角形法则得出,然后根据即可得出结果;‎ ‎(2)本题首先可以根据题意得出以及,然后在中得出与,在中得出以及,再然后可以根据得出,最后在中得出并通过即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)因为,‎ 所以;‎ ‎(2)因为,,,‎ 所以,,‎ 在中,,,‎ 故,,‎ 在中,,,‎ 故,,,‎ 因为,所以,,‎ 在中,,,,‎ 所以,,‎ 因为,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的三角形法则、等腰三角形性质的应用以及三角函数的诱导公式,考查通过向量的三角形法则的运用展示向量之间的关系,考查的诱导公式为,考查推理能力与计算能力,是中档题.‎ ‎22.如图,在平面四边形中,,,.‎ ‎(1)若,,求的长;‎ ‎(2)若,,求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在中求得,在中由线段关系求得,即可在中应用余弦定理求得的长;‎ ‎(2)设,由正弦定理表示出与的关系,结合同角三角函数关系式,即可求得的值.‎ ‎【详解】(1)在中,.‎ 在中,,所以,‎ 所以.‎ 在中,由余弦定理得,‎ 所以.‎ ‎(2)设,则,,‎ 在中,由正弦定理得,‎ 化简得,‎ 代入,得,‎ 又为锐角,所以,‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,根据几何关系求线段或三角函数值,同角三角函数关系式的应用,属于基础题.‎
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