数学(理)卷·2019届福建省南安一中高二上学期期中考试(2017-11)

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数学(理)卷·2019届福建省南安一中高二上学期期中考试(2017-11)

南安一中2017-2018学年高二上期中考试数学试卷(理)‎ 考试内容:必修五、常用逻辑用语、椭圆、双曲线 考试时间:120分钟 ‎ 命题:雷剑平 审核:叶墀龙 ‎‎2017-11-17‎ 班级_____ _姓名____________座号______ ‎ 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一.选择题(共12小题,每小题5分,只有一个选项正确,请把答案填在答题卡上):‎ ‎1.等差数列的前项和为,若 ( )‎ A.65 B.66 C.67 D.68‎ ‎2.若集合则A∩B是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知,则下列不等式成立的是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.“”是“”成立的 ( )‎ ‎ A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 ‎ C.必要不充分条件 D.充分不必要条件 ‎5. 已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 在中, = 分别为角的对应边),则的形状为 ( )‎ A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 ‎7.下列选项中说法正确的是 ( )‎ A.若,则 B.命题“为真”是命题“为真” 的必要条件 C.若向量满足,则与的夹角为钝角[来源]‎ D.“”的否定是“”‎ ‎8. 已知变量满足约束条件若目标函数在该约束条件下的最小值为2,则的最小值为 ( )‎ A.25 B.26 C.27 D.不存在 ‎9.已知点是双曲线的左焦点,点是该双曲线的右顶点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.数列满足 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 已知对于任意的恒成立,则 ( )‎ A.的最大值为2 B.的最大值为4 C.的最小值为 D.的最小值为 ‎12.已知数列满足,则下列结论正确的是( )‎ A.只有有限个正整数使得 B.只有有限个正整数使得 C.数列是递增数列 D.数列是递减数列 第Ⅱ卷(非选择题共90分)‎ 二.填空题(共4小题,每小题5分,请把答案写在答题卡上):‎ ‎13.“若,则或”的逆否命题是 .‎ ‎14.已知数列的前项和,则通项_________________.‎ ‎15.已知、是椭圆(>>0)的两个焦点,为椭圆上一点,且.若的面积为8,则=____________.‎ ‎16.已知动点满足,则的最小值为__________.‎ 三.解答题(共6题,要求写出解答过程或者推理步骤):‎ ‎17.(本题满分10分)已知命题:函数在上单调递增;命题:关于的方程有解.若为真命题,为假命题,求实数 的取值范围.‎ ‎18.(本题满分12分)在中,分别是角的对边,且.‎ ‎(I)求的大小;‎ ‎(II)若为的中点,且,求面积最大值.‎ ‎19.(本题满分12分)已知数列中, ‎ ‎(I)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;‎ ‎(II)求证:. ‎ ‎20.(本题满分12分)如图,椭圆经过点,离心率,直线l的方程为.‎ ‎ ‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记、、的斜率分别为、、.问:是否存在常数,使得? 若存在,求的值; 若不存在,请说明理由.‎ ‎21.(本题满分12分)设各项均为正数的数列的前n项和为,满足,且,公比大于1的等比数列满足, .‎ ‎(1)求证数列是等差数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前n项和;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若对一切正整数n恒成立,求实数t的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[]‎ ‎22.(本题满分12分)设椭圆的左、右焦点分别为、,过右焦点的直线与椭圆相交于两点.‎ ‎(Ⅰ)设直线, 的斜率分别是, ,当时,求直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)过右焦点作与直线垂直的直线,直线与椭圆相交于两点,求四边形的面积的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 南安一中2017-2018学年高二上期中考试数学试卷(理)参考答案 一.选择题:(每小题5分,计60分)‎ ‎1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.‎ 二.填空题:(每小题5分,计20分)‎ ‎13. 若且,则 14. 15. 16.‎ 三.解答题: ‎ ‎17.解:由已知得, 在上单调递增. ………2分[]‎ 若为真命题,则 , , 或; ………4分 若为真命题,, , . ……………………6分 为真命题, 为假命题, 、一真一假, ……………………7分 当真假时, ,即; ……………………8分 当假真时, ,即. …………………… 9分 故. ……………………10分 ‎18.解:(I)由,得,‎ ‎, , ……………………2分 ‎, 又. ……………………4分 ‎(II)在中,由余弦定理得. ……………… 6分 在中,由余弦定理得, …………………… 8分 二式相加得, ……………………9分 整理得 , ……………………10分 ‎ , ‎ 所以的面积, ……………………11分 当且仅当时“”成立.[]‎ 的面积的最大值为. ……………………12分 ‎19.解:(I)由题设知 ……………………2分 数列是首项为,公比为的等比数列, ……………………4分 ‎ ……………………6分 ‎ ‎(II) ……………………8分 ‎………12分 ‎20.解:(1)由在椭圆上,得 ①. ……………………1分 又得 ②‎ 由①②,得 ……………………3分 故椭圆C的方程为 ……………………4分 ‎(2)设直线的方程为,‎ 由 ……………………5分 ‎ ……………………6分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……………………9分 又将代入得 ‎, ……………………11分 故存在常数符合题意. ……………………12分 ‎21.解:(1)当时,,∴,‎ 即,∵,∴.……………………2分 ‎∴当时,是公差的等差数列, ‎ 又,, ……………………3分 则是首项,公差的等差数列,‎ 所以数列的通项公式为. ……………………4分 ‎(2)由题意得, ; ……………………5分 则前n项和;‎ ‎;‎ 相减可得 ‎;‎ 化简可得前n项和; ……………………8分 ‎(3)对一切正整数n恒成立,‎ 由 可得数列单调递减,即有最大值为, ……………………10分 则 解得或.‎ 即实数t的取值范围为. ……………………12分 ‎22. 解:(Ⅰ)设,当直线的斜率不存在时,可得,‎ 此时,,不合题意. ……………………1分 当直线的斜率存在时,设直线的斜率为,则直线的方程为,‎ 把代入椭圆方程中消去,整理得,‎ 则有. ……………………3分 则,‎ 即有, ……………………5分 由,得,故直线的方程为.………………6分 ‎(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,可得,此时,‎ 则. ……………………7分 当直线的斜率存在,且不为零时,设直线的斜率为.‎ 由(Ⅰ)知,‎ 即. ……………………8分 又直线的斜率为,则. ……………9分 从而,‎ 设,则有,…………………10分 ‎,‎ 则,综合有.‎ 所以四边形的面积的取值范围为.……………………12分 ‎ ‎ ‎ ‎
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