湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

www.ks5u.com 南雅中学2019-2020年度高一上学期12月考 数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意先求出集合N，然后根据交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】解：，又，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合交集的运算，指数不等式求解，属于基础题.‎ ‎2.与终边相同的角是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 与终边相同的角是.‎ 当1时，‎ 故选D ‎3.已知D是△ABC边AB上的中点，则向量（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的线性运算，用基底表示向量.‎ ‎【详解】因为D是△ABC边AB上的中点，所以.故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基向量靠拢.‎ ‎4.已知为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为的值的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两角和的正弦公式对式子进行化简，再由θ的范围求出的范围，由正弦函数的性质求出式子的范围，结合选项选择正确答案即可．‎ ‎【详解】由题意得，sin θ+cos θ，‎ ‎∵θ为锐角，∴，‎ 则，即，结合选项，只有A符合，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质的应用，注意角的范围．‎ ‎5.已知，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 容易得出，再根据对数函数的性质将b化为与c同底的对数，即可比较出大小.‎ ‎【详解】解：，，，所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎6.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）=50+4sin（其中0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆／分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的 （ ）‎ A. [0，5] B. [5，10] C. [10，15] D. [15，20]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：函数可看成由和合而成，那么由（）得，所以函数在（）上单调递增，当时，，此时；故选C．‎ 考点：1．三角函数的性质；2．函数模型的应用．‎ ‎7.设函数满足，当，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：因为函数满足，当时，，所以 ‎，故选A．‎ 考点：抽象函数的性质；三角函数的求值．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应用，本题的解答中函数满足，当时，，利用三角函数的诱导公式，即可求解的值，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎8.若函数在内存在零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意求出的范围，进而得到f（x）的范围，结合有零点列出不等式，得答案．‎ ‎【详解】当时，显然不满足题意；‎ 又∵在区间内存在零点，‎ 令t，则当，∴，则．‎ 即，‎ 当时，则f（x），则，即，‎ 当时，则f（x），则，即，‎ ‎∴实数m的取值范围为．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了分类讨论思想，是中档题．‎ ‎9.若，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对变形为，利用即可判断．‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以，即，‎ 当时，，但是，‎ 所以，‎ 所以是的充分不必要条件．‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查了充分、必要条件的概念，考查转化能力，属于基础题．‎ ‎10.把函数的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应的函数是（ ）‎ A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数也是偶函数 D. 非奇非偶函数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式以及函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得的图象对应的函数为y ‎＝＝sin2x，从而得出结论．‎ ‎【详解】把函数的图象向左平移，所得的图象对应的函数为y＝sin[2（x）]＝sin2x的图象，‎ 故所得函数为奇函数，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于中档题．‎ ‎11.已知函数,如果，其中，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的解析式，化简得，进而根据，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 则，即，‎ 又由，所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中根据函数的解析式判断函数的性质，利用函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12.九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺 问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示阴影部分为镶嵌在墙体内的部分已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈尺寸，，)‎ A. 600立方寸 B. 610立方寸 C. 620立方寸 D. 633立方寸 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角形，利用勾股定理可得半径，进而得，再利用，乘以高即可得体积.‎ ‎【详解】‎ 连接，设⊙的半径为，‎ 则，所以.‎ 由于，‎ 所以，即.‎ 所以 平方寸．‎ ‎∴该木材镶嵌在墙中的体积为立方寸，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式，柱体的体积公式，属于中档题 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由三角函数的诱导公式得.‎ ‎【考点】三角函数的诱导公式 ‎【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．‎ ‎14.若，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 详解】∵，∴，∴.‎ 考点：对数的计算 ‎15.函数的图象为，则以下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号）‎ ‎①图象关于直线对称；‎ ‎②图象关于点对称；‎ ‎③函数在区间内是增函数；‎ ‎④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦函数f（x）＝3sin（2x）的性质，对①②③④四个选项逐一判断即可．‎ ‎【详解】∵f（x）＝3sin（2x），‎ ‎①：由2xkπ（k∈Z）得：x（k∈Z），‎ ‎∴f（x）＝3sin（2x）的对称轴方程为：x（k∈Z），‎ 当k＝0时，x，k＝﹣1时，x，‎ ‎∴图象C关于直线x对称是错误的，即①错误；‎ ‎②：∵f（）＝3sin（2）＝0，‎ ‎∴图象C关于点（，0）对称，即②正确；‎ ‎③：由2kπ2x2kπ得：kπx≤kπ（k∈Z），‎ ‎∴f（x）＝3sin（2x）的增区间为[kπ，kπ]（k∈Z），‎ 当k＝0时，[，]为其一个增区间，故③正确；‎ ‎④：将y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到y＝3sin2（x）＝3sin（2x）≠3sin（2x）＝f（x），故④错误．‎ 综上所述，②③正确．‎ 故答案：②③．‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的周期性、对称性、单调性及函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握正弦函数的性质是解决问题之关键，属于中档题．‎ ‎16.已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，要先画出函数的图象，如图所示，‎ 又由方程有4个不同的实数根， ‎ 即函数的图象与有四个不同的交点，‎ 可得，且，‎ 则=，‎ 因为，则，所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程有4个不同的实数根，转化为两个函数的有四个交点，结合对数函数与二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.已知，计算 ‎(1) ‎ ‎(2)‎ ‎【答案】(1). (2) ．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎(1).‎ ‎ (2) ∵，∴‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．‎ ‎18.已知函数 .‎ ‎（Ⅰ）求满足的实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求时函数的值域．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将看成一个整体，对进行化简得到先求解的值，再根据对数的运算解x即可.‎ ‎（Ⅱ），可知，化简可得，然后配方即可求出在的最大最小值，进而求得值域.‎ ‎【详解】（Ⅰ）,‎ ‎，,‎ 或（舍）,‎ ‎ .‎ ‎（Ⅱ）令，.‎ 则 当时，；当时，,‎ 所以的值域为 .‎ ‎【点睛】本题考查二次型函数已知值求自变量，以及二次函数已知自变量的范围求值域，考查了换元法的应用以及二次函数配方法求值域，考查了学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎19.已知函数（其中为常数）‎ ‎（1）求的单调增区间；‎ ‎（2）若时，的最大值为，求的值；‎ ‎（3）求取最大值时的取值集合.‎ ‎【答案】（1）．（2）a＝1．（3）{x|x}．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令 2kπ2x2kπ，k∈z，求出x的范围，即可求出f（x）的单调增区间．‎ ‎（2）根据x的范围求出2x的范围，即可求得sin（2x）的范围，根据f（x）的最大值为2+a+1＝4，求出a的值．‎ ‎（3）由相位的终边落在y轴正半轴上求得使f（x）取最大值时x的取值集合．‎ ‎【详解】（1）令 2kπ2x2kπ，k∈z，可得 kπx≤kπ，k∈z，‎ 故函数的增区间为：．‎ ‎（2）当x∈[0，]时，2x，sin（2x）≤1，‎ 故f（x）的最大值为2+a+1＝4，解得a＝1．‎ ‎（3）当2x，即x时，f（x）取最大值，‎ ‎∴使f（x）取最大值时x的取值集合为{x|x}．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合三角函数单调性的应用及最值的求法，属于中档题．‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）若，且，求的值；‎ ‎（3）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）利用诱导公式可化简；‎ ‎（2）代入已知，从而得，结合平方关系可求得值；‎ ‎（3）同样由诱导公式化已知为，代入平方关系可求得，也即得的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）.‎ ‎(2) ，因为，所以，可得，结合，，所以.‎ ‎（3）由（2）得即为，联立，解得，所以.‎ 点睛：诱导公式：公式一：，公式二：，公式三：，公式四：，公式五：，公式六：，这六公式可统一写成：，，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎21.已知函数的一系列对应值如下表：‎ ‎（1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式；‎ ‎（2）根据（1）的结果，若函数周期为，当时，方程 恰有两个不同的解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)结合所给的数据描点绘图即可确定函数的图象，结合三角函数的性质可得．,．函数的解析式为．‎ ‎(2)由题意结合函数的最小正周期公式可得．结合正弦函数的性质讨论可得实数的取值范围是．‎ 试题解析：‎ ‎(1)绘制函数图象如图所示：‎ 设的最小正周期为，得．由得．‎ 又解得,‎ 令，即，，‎ 据此可得：，又，令可得．‎ 所以函数的解析式为．‎ ‎(2)因为函数的周期为，又，所以．‎ 令，因为，所以．‎ 在上有两个不同的解的条件是，‎ 所以方程在时恰好有两个不同的解的条件是，‎ 即实数的取值范围是．‎ 点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.‎ ‎(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ ‎22.已知定义在上的奇函数.‎ ‎（Ⅰ） 求的值；‎ ‎（Ⅱ） 若存在，使不等式有解，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）已知函数满足，且规定，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）定义在上的奇函数，所以利用特殊值求解，然后检验即可. （Ⅱ）首先根据定义证明函数在上单调递减，然后再根据单调性将等价转化为有解，即，求二次函数的最小值，即可解出实数的取值范围. （Ⅲ）首先根据，，解出，代入得到解析式，令，（），则，利用基本不等式求最值求出.‎ ‎【详解】（Ⅰ）是上奇函数，,‎ ‎,‎ 当时，,‎ 此时是奇函数成立.‎ ‎ ；‎ ‎（Ⅱ）任取且，‎ ‎，‎ ‎,‎ 上为减函数. ‎ 若存在，使不等式有解，则有解 ‎，当时，， ,‎ ‎（Ⅲ）,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎，且也适合,‎ ‎ ,‎ 任意，不等式恒成立,‎ ‎,‎ 令，‎ 令,‎ 任取且，‎ ‎，‎ 当时，，上为增函数.‎ 当时，，上为减函数. ‎ 时即,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎，且,‎ ‎，同理在上是增函数，在上是减函数.‎ 时,的最大值为6. ‎ ‎【点睛】本题考查已知函数的奇偶性求参数值，考查函数单调性的证明，考查利用函数的单调性求参数，考查利用均值不等式求最值，同时考查了学生整理换元的思想以及学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎