2020-2021年新高三数学一轮复习考点：函数的单调性与最值
2020-2021 年新高三数学一轮复习考点：函数的单调性与最值
函数的单调性经常作为考试内容，是热点知识点之一，考查有关已知单调性求解某一参数的值或范围问题，
多以客观题或填空题形式考查，考查难度小，属于基础题。
一、确定函数的单调性；
二、函数单调性的应用；
【易错警示】
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
提示 对∀x1，x2∈D，x1≠x2，f x1－f x2
x1－x2
>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f (x1)
－f (x2)]>0⇔f (x)在 D 上是增函数．减函数类似．
2．写出函数 y＝x＋a
x(a>0)的增区间．
提示 (－∞，－ a]和[ a，＋∞)．
确定函数的单调性
函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义
一般地，设函数 f (x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意
两个自变量的值 x1，x2
当 x1
f (x2)，那么
就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数 y＝f (x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区
间 D 叫做 y＝f (x)的单调区间．
【知识拓展】
连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不
连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单
调性．
【易错警示】
1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例 1(1).(2)单调区间不能
用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.
2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数 y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数 y＝f(t)和内层函数 t＝g(x)的单调性判断，遵循“同
增异减”的原则.
【典例】
命题点 1 求具体函数的单调区间
例 1 (1)(2019·郴州质检)函数 f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案 D
解析 由 x2－2x－8>0，得 f (x)的定义域为{x|x>4 或 x<－2}．
设 t＝x2－2x－8，则 y＝ln t 为增函数．
要求函数 f (x)的单调递增区间，即求函数 t＝x2－2x－8 的单调递增区间(定义域内)．
∵函数 t＝x2－2x－8 在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
∴函数 f (x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
故选 D.
(2)设函数 f (x)＝
1，x>0，
0，x＝0，
－1，x<0，
g(x)＝x2f(x－1)，则函数 g(x)的单调递减区间是__________．
答案 [0,1)
解析 由题意知 g(x)＝
x2，x>1，
0，x＝1，
－x2，x<1，
该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
命题点 2 判断或证明函数的单调性
例 2 讨论函数 f (x)＝ ax
x－1(a>0)在(－∞，1)上的单调性．
解 方法一 ∀x1，x2∈(－∞，1)，且 x10，x1－1<0，x2－1<0，
故当 a>0 时，f (x1)－f (x2)>0，
即 f (x1)>f (x2)，
∴函数 f (x)在(－∞，1)上单调递减．
方法二 f′(x)＝ax－1－ax
x－12 ＝－ a
x－12，
∵(x－1)2>0，a>0，∴f′(x)<0，
故 a>0 时，f (x)在(－∞，1)上是减函数．
函数单调性的应用
1.函数的最值
前提 设函数 y＝f (x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足
条件
(1)对于任意的 x∈I，都有 f (x)≤M；
(2)存在 x0∈I，使得 f (x0)＝M
(1)对于任意的 x∈I，都有 f (x)≥M；
(2)存在 x0∈I，使得 f (x0)＝M
结论 M 为最大值 M 为最小值
2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)求最值．
(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
【拓展延伸】
求函数最值的四种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求
出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调
区间比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子
集上也是单调的．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取
值．
【典例】
命题点 1 比较函数值的大小
例 3 (1)若函数 f (x)＝x2，设 a＝log54，b＝ 1
5
l og 1
3，c＝
1
52 ，则 f (a)，f (b)，f (c)的大小关系是( )
A．f (a)>f (b)>f (c) B．f (b)>f (c)>f (a)
C．f (c)>f (b)>f (a) D．f (c)>f (a)>f (b)
答案 D
解析 因 为 函 数 f (x) ＝ x2 在 (0 ，＋∞) 上 单 调 递 增 ， 而 0< 1
5
l og 1
3 ＝ log530， 若 f (2－x2)>f (x)，则实数 x 的取值范围是________．
答案 (－2,1)
解析 根据函数 f (x)的图象可知，f (x)是定义在 R 上的增函数．∴2－x2>x，∴－21，
若 f (x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数 a 的取值范围为
________．
答案 (1,2]
解析 由题意，得 12＋1
2a－2≤0，则 a≤2，又 y＝ax－a (x>1)是增函数，故 a>1，所以 a 的取值范围为
10 且 a≠1，
∴函数 u 在[0,1]上是减函数．
由题意可知函数 y＝logau 在[0,1]上是增函数，
∴a>1.又∵u 在[0,1]上要满足 u>0，
∴
2－a×1>0，
2－a×0>0， 得 a<2.
综上得 1
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