专题02+平面向量与复数（命题猜想）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题02+平面向量与复数（命题猜想）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

命题猜想二 平面向量与复数 ‎ ‎ ‎【考向解读】 ‎ ‎1.考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.‎ ‎2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.‎ ‎【命题热点突破一】平面向量的线性运算 ‎ (1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；‎ ‎(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．‎ 例1、【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）‎ ‎（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量，由得，解得，故选D.‎ ‎【变式探究】(1)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.‎ ‎(2)如图，在△ABC中，AF＝AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若＝a，＝b，且＝xa＋yb，则x＋y＝________.‎ ‎【答案】(1)　(2)－ ‎【解析】(1)因为a∥b，‎ 所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.‎ 因为0<θ<，所以cosθ>0，‎ 得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.‎ ‎(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.‎ 因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.‎ 因为AF＝AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．‎ 方法二　易得EF＝MD，MD＝CF，‎ 所以EF＝CF，所以CE＝CF.‎ 因为＝＋＝－＋＝－b＋a，‎ 所以＝(－b＋a)＝a－b.‎ 所以x＝，y＝－，则x＋y＝－.‎ ‎【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．‎ ‎【变式探究】‎ ‎ (1)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是(　　)‎ A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1‎ C．mn＝1 D．mn＝－1‎ ‎(2)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.‎ ‎【答案】(1)C　(2)　－ ‎【解析】(1)因为A，B，D三点共线，所以 ＝λ⇔i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，又向量i与j不共线，所以所以mn＝1.‎ ‎(2)如图，＝＋ ‎＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝－，‎ ‎∴x＝，y＝－.‎ ‎【命题热点突破二】平面向量的数量积 ‎(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ.‎ ‎(2)三个结论 ‎①若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎||＝.‎ ‎③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，‎ 则cosθ＝＝.‎ 例2、【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎ 【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ ‎ (2)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若·＝6，则||的最小值是________．‎ ‎【答案】(1)22　(2)2‎ ‎【解析】(1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋‎ )·(－)＝2，即2－‎ ·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.‎ ‎(2)如图，在△AOB中，＝＝×(＋)‎ ‎＝(＋)，‎ 又·＝||||·cos60°＝6，‎ ‎∴||||＝12，‎ ‎∴||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝(||2＋||2＋12)≥×(2||||＋12)＝×36＝4(当且仅当||＝||时取等号)．‎ ‎∴||≥2，故||的最小值是2.‎ ‎【感悟提升】(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．‎ ‎【命题热点突破三】平面向量与三角函数 平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．‎ 例3、已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<αc，已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：‎ ‎(1)a和c的值；‎ ‎(2)cos(B－C)的值．‎ ‎【解析】(1)由·＝2得c·acosB＝2.‎ 又cosB＝，所以ac＝6.‎ 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.‎ 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.‎ 解得或 因为a>c，所以a＝3，c＝2.‎ ‎【命题热点突破四】复数的概念与运算 复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i等要熟记．‎ 例4、【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由，可得，所以，，故答案为2．‎ ‎【变式探究】(1)若复数z＝，则|z|＝(　　)‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎(2)已知复数z＝(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】(1)C　(2)B　‎ ‎【解析】 (1)z＝＝＝－i，，所以|z|＝＝1.‎ ‎(2)z＝＝－1－i，则复数z＝－1＋i，对应的点在第二象限．‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）‎ ‎（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量，由得，解得，故选D.‎ ‎2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，‎ ‎，‎ 因此，‎ ‎3.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,‎ ‎===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又 ‎，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.‎ ‎1.【2016新课标理】设其中,实数,则( )‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为所以故选B.‎ ‎2.【2016高考新课标3理数】若，则（ ）‎ ‎(A)1 (B) -1 (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C．‎ ‎3.【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A.‎ ‎4.【2016年高考北京理数】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_______________.‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】，故填：－1‎ ‎5.【2016高考山东理数】若复数z满足 其中i为虚数单位，则z=（ ）‎ ‎（A）1+2i （B）12i （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则，故，则，选B.‎ ‎6.【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由，可得，所以，，故答案为2．‎ ‎7.【2016高考江苏卷】复数其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________. ‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】，故z的实部是5‎ ‎1．(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ 解析　因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.‎ 答案　B ‎2．(2015·广东，2)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝(　　)‎ A．3－2i B．3＋2i C．2＋3i D．2－3i 解析　因为z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以z＝2－3i，故选D.‎ 答案　D ‎3．(2015·四川，2)设i是虚数单位，则复数i3－＝(　　)‎ A．－i B．－3i C．i D．3i 解析　i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.选C.‎ 答案　C ‎4．(2015·山东，2)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)‎ A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i 解析　∵＝i，∴z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴z＝1－i.‎ 答案　A ‎5．(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 解析　由＝i，得1＋z＝i－zi，z＝＝i，∴|z|＝|i|＝1.‎ 答案　A ‎6.【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）‎ A．13 B． 15 C．19 D．21‎ ‎【答案】A ‎【解析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此 ‎，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．‎ ‎7.【2015高考湖北，理11】已知向量，，则 .‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】因为，，‎ 所以.‎ ‎8.【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为 ， ,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】D ‎【解析】因为 ‎ 故选D.‎ ‎9.【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎10.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，，‎ ‎.若点M，N满足，，则（ ）‎ ‎（A）20 （B）15 （C）9 （D）6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，所以 ‎，选C.‎ ‎11.【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，‎ ‎ ‎ 由题意，，则，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，而，所以，故选D.‎ ‎ ‎