2018-2019学年福建省莆田第八中学高二下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年福建省莆田第八中学高二下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省莆田第八中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)‎ A．1 B．0 C．－1 D．－1或1‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据复数为纯虚数的概念，得到复数的实部为0，并且虚部不为0求出m．‎ ‎【详解】‎ 因为复数z=m（m+1）+（m2－1）i（i为虚数单位）是纯虚数，所以 ，解得m=0；‎ 故答案为：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0并且b≠0．‎ ‎2．设随机变量的分布列如表，则 等于(　　)‎ A． B． C． D．不确定 ‎【答案】A ‎【解析】根据随机变量的分布列求出，再求 ‎【详解】‎ 根据随机变量的分布列可知，解得 ‎ 所以 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的分布列，属于简单题。‎ ‎3．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”假设的内容是(　　)‎ A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．‎ ‎【考点】反证法 ‎4．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(－X)的值为(　　)‎ A． B．－ C． D．－‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查二项分布的含义和性质.‎ 若则，其中是常数;‎ 因为，所以故选D ‎5．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是(　　)‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，根据图像即可判断函数的单调性，然后结合图像判断出函数的极值点位置，从而求出答案。‎ ‎【详解】‎ 根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，由导函数的图象可知，图像先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，故排除A,C 且第二个拐点（即函数的极大值点）在轴的右侧，排除B 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与导函数正负的关系，属于一般题。‎ ‎6．用数学归纳法证明不等式 (n>1，n∈ N)的过程中，从n＝k到n＝k＋1时左边需增加的代数式是(　　)‎ A． B．－ C．＋ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，左边的代数式为，‎ 当时，左边的代数式为，‎ 故用当时，左边的代数式减去时，左边的代数式的结果为：‎ ‎，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关应用数学归纳法证明问题的过程中，由到增加的项的问题，注意对式子的正确归纳，属于简单题目.‎ ‎7．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】事件A在每次试验中发生的概率为p，则，解得，事件A恰好发生一次的概率为 ‎8．将曲线C按伸缩变换公式变换得曲线方程为x2＋y2＝1，则曲线C的方程为(　　)‎ A． B． C．9x2＋4y2＝1 D．4x2＋9y2＝1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，把伸缩变换公式代入曲线方程为x/2+y/2=1，‎ 得（2x）2+（3y）2=1，即4x2+9y2=1．‎ ‎∴曲线c的方程为4x2+9y2=1．‎ 故选：D．‎ ‎9．已知随机变量服从正态分布，且， ，若，则等于(　　)‎ A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为随机变量服从正态分布，且，根据原则，得出,,两式相减，由对称性得出答案。‎ ‎【详解】‎ 因为随机变量服从正态分布，且， ，‎ 所以，，‎ 所以 ‎ 所以 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布，其中利用正态分布的对称性是解题的关键，属于一般题。‎ ‎10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎【答案】D ‎【解析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案 ‎【详解】‎ 解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，‎ 甲不知自己的成绩 ‎→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）‎ ‎→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 ‎→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，‎ 给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．‎ ‎11．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点个数为 (　　)‎ A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3) C．n2 D．n ‎【答案】B ‎【解析】解：由已知中的图形我们可以得到：‎ 当n=1时，顶点共有12=3×4（个），‎ n=2时，顶点共有20=4×5（个），‎ n=3时，顶点共有30=5×6（个），‎ n=4时，顶点共有42=6×7（个），‎ ‎…‎ 由此我们可以推断：‎ 第n个图形共有顶点（n+2）（n+3）个，‎ 故选B ‎12．已知可导函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x)，则当a＞0时，f(a)和eaf(0)的大小的关系为(　　)‎ A．f(a)eaf(0) C．f(a)＝eaf(0) D．f(a)≤eaf(0)‎ ‎【答案】B ‎【解析】构造函数，求导后可知，从而可确定在上单调递增，得到，整理可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 令，则 又， 在上单调递增 ‎，即 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性的问题，关键是能够构造出新函数，通过求导得到函数的单调性，将问题转变为新函数的函数值之间的比较问题.‎ 二、填空题 ‎13．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则|a＋bi|＝________.‎ ‎【答案】1＋2i ‎【解析】由复数相等的定义求得a，b的值，即得复数．‎ 由(a＋i)(1＋i)＝bi可得(a－1)＋(a＋1)i＝bi，因此a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，故a＋bi＝1＋2i.‎ ‎14．由抛物线y＝x2，直线x＝1，x＝3和x轴所围成的图形的面积是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，作出图形，确定定积分，即可求解所围成的图形的面积．‎ ‎【详解】‎ 解析：如图所示，S＝x2dx＝1＝ (33－13)＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了定积分的应用，其中根据题设条件，作出图形，确定定积分求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题．‎ ‎15．观察下列不等式 ‎……‎ 照此规律，第n个不等式为_______________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知中不等式，，，分析不等式两边的变化规律，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由已知中，不等式：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 归纳可得：第个不等式为：‎ ‎，‎ 当时，第五个不等式为：‎ ‎，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关归纳推理的问题，在解题的过程中，需要认真观察各个式子之间的关系，从而得到规律，将第个式子写出，再将对应的的值代入求得结果，属于简单题目.‎ ‎16．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，若要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：依题意，满足条件的分配数为种. 或种.‎ ‎【考点】排列与组合的概念.‎ 三、解答题 ‎17．已知圆的极坐标方程为：.‎ ‎（1）将极坐标方程化为普通方程；‎ ‎（2）若点在该圆上，求的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）最大值为，最小值为 ‎【解析】（1）将先由两角差的余弦公式展开，再化为普通方程。‎ ‎（2）由题可知圆的参数方程为 （为参数），因为点在该圆上，所以，所以可得，从而得出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由圆的极坐标方程为：‎ 可得，即 所以直角坐标方程为 ‎ ‎（2）由（1）可知圆的方程为 ‎ 所以圆的参数方程为 ，（为参数）‎ 因为点在该圆上，所以 所以 因为的最大值为，最小值为 ‎ 所以的最大值为，最小值为 ‎【点睛】‎ 极坐标与参数方程是高考的重要选修考点，学生应准确掌握极坐标方程与普通方程的互化，与圆锥曲线有关的最值问题可转化为三角函数求最值。‎ ‎18．为了调查某生产线上质量监督员甲是否在现场对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：质量监督员甲在现场时，1 000件产品中合格品有990件，次品有10件，甲不在现场时，500件产品中有合格品490件，次品有10件．‎ ‎（1）补充下面列联表，并初步判断甲在不在现场与产品质量是否有关：‎ 合格品数/件 次品数/件 总数/件 甲在现场 ‎990‎ 甲不在现场 ‎10‎ 总数/件 ‎（2）用独立性检验的方法判断能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“甲在不在现场与产品质量有关”？‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ K ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）列联表如图 合格品数/件 次品数/件 总数/件 甲在现场 ‎990‎ ‎10‎ ‎1000‎ 甲不在现场 ‎490‎ ‎10‎ ‎500‎ 总数/件 ‎1480‎ ‎20‎ ‎1500‎ 在某种程度上可以认为甲在不在现场与产品质量有关。‎ ‎（2）能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“甲在不在现场与产品质量有关”。‎ ‎【解析】（1）先由数据得出列联表，通过计算的值得出答案。‎ ‎（2）由表中数据可得的观测值，进而得出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题中所给数据得出列联表如图 合格品数/件 次品数/件 总数/件 甲在现场 ‎990‎ ‎10‎ ‎1000‎ 甲不在现场 ‎490‎ ‎10‎ ‎500‎ 总数/件 ‎1480‎ ‎20‎ ‎1500‎ 由列联表看出 ‎ 因为相差较大，所以在某种程度上可以认为甲在不在现场与产品质量有关。‎ ‎（2）由表中数据可得的观测值 所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“甲在不在现场与产品质量有关”。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验，解题的关键是求出得的观测值与数据表中的值进行比较，，属于简单题，要注意计算准确。‎ ‎19．已知 (n∈N)的展开式中第五项的系数的与第三项的系数的比是10∶1.‎ ‎(1)求展开式中各项系数的和；‎ ‎(2)求展开式中含的项；‎ ‎(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．‎ ‎【答案】（1）1；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）已知的展开式中第五项系数与第三项的系数的比是，由此关系建立起方程，求出；(2)由（1) ，利用展开式中项的公式,令的指数为解出,即可得到的项；(3)利用,得出展开式中系数最大的项 .‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知，第五项系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则，‎ 化简得n2－5n－24＝0，‎ 解得n＝8或n＝－3(舍去)．‎ ‎(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.‎ ‎(2)通项公式Tr＋1＝C ()8－r＝C (－2)rx－2r，‎ 令－2r＝，则r＝1.‎ 故展开式中含的项为.‎ ‎(3)设展开式中的第r项，第r＋1项，第r＋2项的系数绝对值分别为C·2r－1，C·2r，C·2r＋1，‎ 若第r＋1项的系数绝对值最大，‎ 则解得5≤r≤6.‎ 又T6的系数为负，所以系数最大的项为T7＝1 792x－11‎ 由n＝8知第5项二项式系数最大，‎ 此时.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎20．设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0. ‎ ‎(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间与极值．‎ ‎【答案】（1）曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1‎ ‎（2）f(x)在(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)内为减函数；最大值为f(1＋m)＝m3＋m2－；最小值为f(1－m)＝－m3＋m2－‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义先求切线斜率f′(1)，（2）先求导函数零点x＝1－m或x＝1＋m.再列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间及极值.‎ 试题解析：(1)当m＝1时，f(x)＝－ x3＋x2，‎ f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.‎ 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1. ‎ ‎(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.‎ 令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m. ‎ 因为m＞0，所以1＋m＞1－m.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ 所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数. ‎ 函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－ m3＋m2－.‎ 函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m3＋m2－.‎ 点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.‎ ‎(2)已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论.‎ ‎(3)已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.‎ ‎21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得＝80，＝20，＝184，＝720.‎ ‎(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；‎ ‎(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程中，b＝，‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求均值，，‎ ‎，再代公式求系数，最后根据回归直线方程过点求（2）即求自变量为7时对应函数值 试题解析：（1）由题意知，，，‎ ‎∴，∴，‎ 故所求回归方程为．‎ ‎（2）将代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为（千克）．‎ ‎【考点】回归直线方程 ‎【名师点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a，，写出回归方程，回归直线方程恒过点(，).‎ ‎22．已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N＋)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球，若2个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．‎ ‎(1)当n＝3时，设三次摸球中中奖的次数为X，求随机变量X的分布列；‎ ‎(2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P，求当n取多少时，P的值最大．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）1或2‎ ‎【解析】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率p==，设中奖次数为ζ，则ζ的可能取值为0，1，2，3．分别求出P（ζ=0），P（ζ=1），P（ζ=2），P（ζ=3），由此能求出ζ的分布列和Eζ．‎ ‎（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为P（ζ=2）=•p2•（1﹣p）=﹣3p3+3p2，0＜p＜1，由此利用导数性质能求出n为1或2时，P有最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，‎ ‎； ；‎ ‎；；‎ ξ分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎（2）设每次摸奖中奖的概率为p，‎ 则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：‎ ‎，0＜p＜1，‎ P'=﹣9p2+6p=﹣3p（3p﹣2），知在上P为增函数，在上P为减函数，‎ 当时P取得最大值．‎ 又，‎ 故n2﹣3n+2=0，解得：n=1或n=2，‎ 故n为1或2时，P有最大值．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的分布列和数学斯望的求法，解题时要认真审题，解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．‎