专题05+函数的单调性与最值（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍
1．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2|x|
C．f(x)＝log2 D．f(x)＝sinx
答案：C
2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先减后增 D．先增后减
解析：对称轴为x＝3，函数在(2,3]上为减函数，在(3,4)上为增函数．
答案：C
3．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是( )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
解析：由已知易得即x>3，又0<0.5<1，
∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．
答案：A
4．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．a<－3 B．a≤－3
C．a>－3 D．a≥－3
解析：对称轴x＝1－a≥4，∴a≤－3.
答案：B
5．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋)有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,1)∪(1，)
C．(1，) D．[，＋∞)
解析：当a>1且x2－ax＋有最小值时，f(x)才有最小值loga，∴⇒1
x－成立，所以a>min，而函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(0)＝－1，所以a>－1，故选D.
答案：D
7．若函数y＝loga(x2＋2x－3)，当x＝2时，y>0，则此函数的单调递减区间是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
答案：A
8．已知函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位后关于直线x＝a＋1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：由函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位后关于直线x＝a＋1对称，知f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∵1<2<f>f(e)．
∴b>a>c，故选D.
答案：D
9．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：满足<0其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选A.
答案：A
10．定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2(x1≠x2)都有<0，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则当1≤s≤4时，的取值范围是( )
A．[－3，－) B．[－3，－]
C．[－5，－) D．[－5，－]
＝＝1－，不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知∈[－，1]，从而＝1－∈[－5，－]，∴∈[－5，－]．选D.
答案：D
11．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝
C．y＝lgx D．y＝x3
答案：B
解析：y＝－2x＋1在定义域上为单调递减函数；y＝lgx在定义域上为单调递增函数；y＝x3在定义域上为单调递增函数；y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数，故选B.
12．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0，) B．[0，)
C．(0，] D．[0，]
答案：D
13．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1，2] B．[－1，0]
C．[0，2] D．[2，＋∞)
答案：A
解析：由于f(x)＝|x－2|x＝
结合图像可知函数的单调减区间是[1，2]，故选A.
14．函数f(x)＝1－( )
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(1，＋∞)上单调递增
C．在(－1，＋∞)上单调递减
D．在(1，＋∞)上单调递减
答案：B
解析：f(x)图像可由y＝－图像沿x轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，如图所示．
15．函数f(x)＝log3(3－4x＋x2)的单调递减区间为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，1)，(3，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1)，(2，＋∞)
答案：C
16．设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则( )
A．f()f()>f()，即f()>f()>f()．
17．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是( )
A．(－∞，0] B．[0，1)
C．[1，＋∞) D．[－1，0]
答案：B
解析：g(x)＝
如图所示，其递减区间是[0，1)．故选B.
18．已知函数f(x)＝对于任意的x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．(－∞，3)
C．(3，＋∞) D．[1，3)
答案：D
19．设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3，4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.
20．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
答案：B
解析：设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.
21．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定( )
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
答案：D
解析：由题意知a<1，所以g(x)＝＝x＋－2a，当a<0时，显然g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，当a>0时，g(x)在[，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，所以g(x)在(1，＋∞)上一定是增函数．
22．函数f(x)＝的最大值为________．
答案：
23．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析：依题意，h(x)＝
当02时，h(x)＝－x＋3是减函数．
∴h(x)＝min{f(x)，g(x)}在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
答案：1
24．若函数f(x)＝2x＋sinx对任意的m∈[－2,2]，有f(mx－3)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．
解析：易知f(x)是R上的奇函数，由f′(x)＝2＋cosx>0，知f(x)为增函数．
∵f(mx－3)＋f(x)<0可变形为f(mx－3)0恒成立，易知满足题意；当a>0时，令f′(x)＝>0，解得x>，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知≤2，解得01.
(1)求证：f(x)>0；
(2)求证：f(x)为R上的减函数；
(3)当f(4)＝时，对a∈[－1,1]时恒有f(x2－2ax＋2)≤，求实数x的取值范围．
解：(1)证明：证法1：令y＝0得f(0)·f(x)＝f(x)即f(x)[f(0)－1]＝0，又f(x)≠0，∴f(0)＝1.
当x<0时，f(x)>1，－x>0.
f(x)·f(－x)＝f(0)＝1，则f(－x)＝∈(0,1)．
故对于x∈R恒有f(x)>0.
证法2：f(x)＝f＝2≥0，
∵f(x)为非零函数，∴f(x)>0.
(2)证明：令x1>x2且x1，x2∈R，
有f(x1)·f(x2－x1)＝f(x2)，又x2－x1<0，则f(x2－x1)>1，故＝f(x2－x1)>1，又f(x)>0.
∴f(x2)>f(x1)．
故f(x)为R上的减函数．
27．定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求f(1)的值，并判断f(x)的单调性；
(2)若f(4)＝2，求f(x)在[5，16]上的最大值．
答案：(1)f(1)＝0，f(x)单调递增 (2)4
解析：(1)令x1＝x2>0，代入得
f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，
故f(1)＝0.
任取x1，x2∈(0，＋∞)，
且x1>x2，则>1，
由于当x>1时， f(x)>0，
所以f()>0，
即f(x1)－f(x2)>0，
因此f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数，
所以f(x)在[5，16]上的最大值为f(16)．
由f()＝f(x1)－f(x2)，
得f()＝f(16)－f(4)，而f(4)＝2，∴f(16)＝4，
∴f(x)在[5，16]上的最大值为4.
28．已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
答案：(1)a>1时，(0，＋∞)；a＝1时， {x|x>0且x≠1}；01＋}
(2)lg (3)(2，＋∞)
