山东省淄博市2020届高三10月摸底考试数学试题

山东省淄博市2020届高三10月摸底考试数学试题

部分学校高三摸底考试试题 数学 考生注意：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合，再求.‎ ‎【详解】由，得或，即或.‎ 或，.‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.‎ ‎2.己知z为复数，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则（ ）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出.‎ ‎【详解】解：设， ∴复数为纯虚数， . . 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎3.命题：“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可得答案.注意“一改量词，二改结论”.‎ ‎【详解】因为存在量词命题否定是全称量词命题，所以 命题“，”的否定是“，”.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎4.设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据对数函数的单调性比较的指数的大小，再根据指数函数的单调性比较的大小.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 函数在上单调递增，且，‎ ‎.‎ 函数在上单调递增，‎ ‎，即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算性质，考查对数函数、指数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎5.为庆祝中华人民共和国成立70周年，某校组织“我和我的祖国”知识竞赛活动，30名参加比赛学生的得分情况（十分制）如图所示，则得分的中位数，众数，平均数的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条形图求出，即得答案.‎ ‎【详解】由条形图可得，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查条形图，属于基础题.‎ ‎6.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据诱导公式和倍角公式可求值.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数诱导公式和简单的三角恒等变换，属于基础题.‎ ‎7.函数部分图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的定义域为，判断的奇偶性，再根据特殊值即得答案.‎ ‎【详解】函数的定义域为.‎ ‎，‎ 为偶函数，排除.‎ 又排除.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性识别图象，属于基础题.‎ ‎8.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是(　　)‎ A. 40 B. 60‎ C. 80 D. 100‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是： 种.‎ 本题选择A选项.‎ ‎9.若函数，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 4 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，当时，可推出.故当时，是周期为6的周期函数，则，再根据的解析式去求，即得答案.‎ ‎【详解】当时，‎ ‎.‎ 当时，是周期为6的周期函数，‎ ‎.‎ 又 ‎.‎ 即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查函数的周期性，考查分段函数求值，属于中档题.‎ ‎10.已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.‎ ‎【详解】由得，即，设，,的顶点在直线上，而与的交点坐标为,,联立,可得,由，得，‎ 结合函数，图像可得，要使有且只有三个不同的实数根，只需.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.‎ 二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.‎ ‎11.已知，，下列四个结论正确的是（ ）‎ A. 的图象向左平移个单位长度，即可得到的图象 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象的对称中心是，‎ D. 在区间上单调递增 ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一验证，即得答案. 项，求出向左平移个单位长度后的函数解析式，可得的正误；项，令，由辅助角公式可得，从而可判断的正误；项，由辅助角公式可得，可求其对称中心，从而可判断的正误；项，由倍角公式可得，可判断它在区间上的单调性，可得的正误.‎ ‎【详解】项，的图象向左平移个单位长度可得，而，故错误.‎ 项，令，则，‎ 当时，，故错误.‎ 项，.‎ 令，.‎ 函数图象的对称中心是，故正确.‎ 项，.‎ 当时，，此时函数单调递增，故正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的变换和性质，属于中档题.‎ ‎12.甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分别求得可判断A，由独立事件概率乘法公式，可判断BCD.‎ ‎【详解】由已知，，‎ 由已知有，，，‎ 所以，则A正确；‎ ‎，则B正确；‎ 事件、、不相互独立，故错误，即C错误 ‎，则D正确；‎ 综上可知正确的为ABD.‎ 故选:ABD．‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式的应用，概率乘法公式的应用，属于基础题.‎ ‎13.已知，，，成等比数列，满足，且，下列选项正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公比为.由，得，整理得，即.令，利用导数判断的零点在上，即，从而可以判断选项的正误.‎ ‎【详解】成等比数列，设公比为.‎ ‎，‎ ‎，‎ 整理得，即.‎ 令，则.‎ 由，得或；由，得，‎ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ 的极大值为，极小值为.‎ 又，在区间上有一个零点.‎ 即时，，.‎ ‎，等比数列中，均为负数，均为正数.‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查导数的应用，考查等比数列通项公式，属于较难的题目.‎ 第Ⅱ卷 三、填空题：把答案填在对应题号后的横线上.‎ ‎14.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明 ‎，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第______象限.‎ ‎【答案】三 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由欧拉公式可得，则表示的复数在复平面中对应的点为.判断点所在的象限，即得答案.‎ ‎【详解】由欧拉公式可得，则表示的复数在复平面中对应的点为.‎ 点在第三象限，‎ 即表示的复数在复平面中位于第三象限.‎ 故答案为：三.‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎15.数列满足，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得，累加法可求.‎ ‎【详解】.‎ ‎,‎ 以上各式两端分别相加，得.‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查累加法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16.已知函数，则______，的解集为______.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可求的值，可求得.不等式即为，可得.易知在上单调递减，可解不等式.‎ ‎【详解】函数定义域为.‎ 则.‎ ‎，‎ 不等式即为，‎ ‎.‎ 易知在上单调递减，‎ ‎，即原不等式的解集为.‎ 故答案为：1；.‎ ‎【点睛】本题考查函数求值和解不等式，属于中档题.‎ ‎17.函数同时满足条件：①偶函数；②值域为；③周期为2020.请写出的一个解析式______.‎ ‎【答案】，，等 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数同时满足的3个条件写出的解析式，答案不唯一.‎ ‎【详解】函数同时满足条件：①偶函数；②值域为；③周期为2020，‎ 的解析式可以为：或或等（答案不唯一）.‎ 故答案为：，，等.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的性质求函数的解析式，属于中档题.‎ 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.已知等差数列中，，，，顺次成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，的前项和，求.‎ ‎【答案】(1)；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三项成等比数列可得，利用和来表示该等式，可求得；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得，则可利用裂项相消的方法来进行求解.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为 ‎，，顺次成等比数列 ‎ ‎，又 ‎，化简得：，解得：‎ ‎（2）由（1）得：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求数列的前项和的问题，关键是熟练掌握关于通项中涉及到的裂项方法.‎ ‎19.内角，，的对边分别为，，，若，且.‎ ‎（1）求的值，并求面积的最大值；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由两边平方得，又，可求.由，可得，再根据三角形面积公式可求面积的最大值；‎ ‎（2）方法1：由正弦定理可得，又.设，，其中，代入，展开，化简，可求的取值范围.方法2：由余弦定理可知 ‎，由，可求.又，即求的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由两边平方得：，‎ 即，，‎ ‎，.‎ ‎，‎ ‎，且，‎ ‎，当且仅当时等号成立.‎ ‎，‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎（2）由（1）知，则，因为，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 因为，‎ 设，，其中，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以的取值范围是.‎ 解法2：由余弦定理可知 ‎，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 又因为，，为的边长，所以，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、不等式和两角和与差的正弦公式，属于中档题.‎ ‎20.为了解某初中学校学生睡眠状况，在该校全体学生中随机抽取了容量为120的样本，统计睡眠时间（单位：）.经统计，时间均在区间内，将其按，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）世界卫生组织表明，该年龄段的学生睡眠时间服从正态分布，其标准为：该年龄段的学生睡眠时间的平均值，方差.根据原则，用样本估计总体，判断该初中学校学生睡眠时间在区间上是否达标？‎ ‎（参考公式：，，）‎ ‎（2）若规定睡眠时间不低于为优质睡眠.已知所抽取的这120名学生中，男、女睡眠质量人数如下列联表所示：‎ 优质睡眠 非优质睡眠 合计 男 ‎60‎ 女 ‎19‎ 合计 将列联表数据补充完整，并判断是否有的把握认为优质睡眠与性别有关系，并说明理由；‎ 下面的临界值表仅供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中.）‎ ‎【答案】（1）该校学生睡眠时间在区间上不达标；（2）列联表见解析，有的把握认为优质睡眠与性别有关系；理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图求出，求出.根据频率分布直方图求出学生睡眠时间在区间上的概率，与比较大小，即得答案；‎ ‎（2）求出样本中优质睡眠学生的人数，补全列联表，计算，根据临界值表可得结论.‎ ‎【详解】（1）根据直方图数据，有，‎ 解得.‎ 由平均值，样本方差，得，，‎ 则即求样本数据中区间内的概率值，‎ 则，‎ 该校学生睡眠时间在区间上不达标.‎ ‎（2）根据直方图可知，样本中优质睡眠学生有，列联表如下：‎ 优质睡眠 非优质睡眠 合计 男 ‎11‎ ‎60‎ ‎71‎ 女 ‎19‎ ‎30‎ ‎49‎ 合计 ‎30‎ ‎90‎ ‎120‎ 可得，‎ 所以，有的把握认为优质睡眠与性别有关系.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验，属于中档题.‎ ‎21.已知，，是关于的方程的两个不等的实根，且，函数的定义域为，记，分别为函数的最大值和最小值.‎ ‎（1）试判断在上的单调性；‎ ‎（2）设，若函数是奇函数，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）函数在上单调递增；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数单调性的定义或利用导数判断在上的单调性；‎ ‎（2）由（1）可知函数在上单调递增，则，，求出.由是奇函数，可得，即求.‎ ‎【详解】（1）解法一：对于，，设 则，‎ ‎，‎ 因为，，所以，，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 即，又，‎ 所以，即，‎ 所以函数在上单调递增.‎ 解法二：设，，‎ 因为，是关于的方程的两个不等的实根，‎ 所以，‎ 所以，等号当且仅当或时成立，‎ 所以函数在上单调递增.‎ ‎（2）由（1）可知函数在上是单调递增的，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 因为，为方程的两个实根，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为是奇函数，所以对任意都成立，‎ 即恒成立，‎ ‎，所以，‎ 即，‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数单调性的定义或利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，属于较难的题目.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）当时，求函数在区间上的最值；‎ ‎（2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若不等式在区间上恒成立，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）函数的最大值为，函数的最小值为；（2）或；（3）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求，判断在区间上的单调性，即求函数在区间上的最值；‎ ‎（2）函数在上是单调函数，则或在上恒成立，即得实数的取值范围；‎ ‎（3）求出.分，，三种情况讨论，求出不等式在区间上恒成立时，实数的取值范围，即求的最小值.‎ ‎【详解】（1）当时，，，‎ ‎0‎ 极小值 ‎0‎ 单减 单增 显然，‎ 则函数的最大值为，函数的最小值为；‎ ‎（2）当函数在上单调递增时，‎ 当且仅当，即恒成立，得；‎ 当函数在上单调递减时，‎ 当且仅当，即恒成立，得；‎ 综上，若函数在上是单调函数，实数的取值范围为或；‎ ‎（3），且，‎ 当时，在区间上，得；‎ 当时，在区间上，得恒成立；‎ 当时，由，故存在，‎ 使得成立，‎ 同时在区间上，，在区间上单调递减，‎ ‎，所以在区间上小于零.‎ 综上，不等式在区间恒成立时，.‎ 的最小值为1.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、单调性和不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于较难的题目.‎ ‎23.某地计划在水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.‎ ‎（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：‎ 年入流量 发电机最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台发电机年净利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年维护费与年入流量有如下关系：‎ 年入流量 一台未运行发电机年维护费 ‎500‎ ‎800‎ 欲使水电站年净利润最大，应安装发电机多少台？‎ ‎【答案】（1）；（2）应安装发电机2台.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意求出年入流量在3个范围：，，的概率.由二项分布可得在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎（2）记水电站年净利润为（单位：万元）.分别求安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机的数学期望，选择最大的方案.‎ ‎【详解】（1）依题意，，‎ ‎，‎ 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为：‎ ‎.‎ ‎（2）记水电站年净利润为（单位：万元）‎ ‎①当安装1台发电机时.‎ 由于水库年入流量总大于40，所以1台发电机运行的概率为1.‎ 此时的年净利润，；‎ ‎②当安装2台发电机时.此时，‎ 若，则只有1台发电机运行，此时，因此 若，则2台发电机都能运行，此时，因此 由此得概率分布列如下：‎ ‎4500‎ ‎10000‎ ‎0.2‎ ‎0.8‎ 所以，.‎ ‎③当安装3台发电机时.此时，‎ 若，则只有1台发电机运行，此时，因此 若，则有2台发电机运行，此时，因此 若，则3台发电机同时运行，此时，因此 由此得的概率分布列如下：‎ ‎4000‎ ‎9200‎ ‎15000‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 所以，‎ 综上，欲使水电站年净利润最大，应安装发电机2台.‎ ‎【点睛】本题考查二项分布，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于难题.‎