2017-2018学年河南省平顶山高二上学期期末调研考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年河南省平顶山高二上学期期末调研考试数学（理）试题 Word版

‎2017-2018学年河南省平顶山高二期末调研考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若坐标原点到抛物线 的准线的距离为 ，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.命题“， ”的否定是（ ）‎ A． ， B． ，‎ C． ， D． ，‎ ‎3.等差数列 中， ， ，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.在 中，内角 和 所对的边分别为 和 ，则 是 的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.若不等式 对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎6.已知双曲线 ： （ ， ），右焦点 到渐近线的距离为 ， 到原点的距离为 ，则双曲线 的离心率 为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎7.设 的内角 、 、 的对边分别为 、 .若 ， ， ，则 （ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎8.若 ， ， ，则 的最小值为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎9.设向量 ， ， 是空间基底， ，有下面四个命题：‎ ‎ ：若 ，那么 ；‎ ‎ ：若 ， ，则 ；‎ ‎ ： ，，也是空间基底；‎ ‎ ：若，，则 .其中真命题为（ ）‎ A． ， B． ， C. ， D． ， ‎ ‎10.设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎11.过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，且点平分 ，则直线 的方程为（ ）‎ A． B．‎ C. D． ‎ ‎12.定义数列 如下： ， ，当 时，有 ；‎ 定义数列 如下： ，，当 时，有 ，则 （ ） ‎ A． B． C. D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知椭圆的两焦点坐标分别是 、 ，并且过点 ，则该椭圆的标准方程是 ．‎ ‎14.已知三个数 ， ，成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列 的前三项，则能使不等式 成立的自然数 的最大值为 ．‎ ‎15.在平行六面体 中， ， ， ， ， ，则 ．‎ ‎16.函数 （ ）， ，对 ， ，使 成立，则 的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （1）解不等式 ；‎ ‎（2）已知 、 ，求证： ‎ ‎18. 已知 ， ，分别为 三个内角 ， ， 的对边， .‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若 ， 的面积为 ，求 ， .‎ ‎19. 已知数列 的前 项和为 ， ，且 ；数列 是等比数列，且 ， .‎ ‎（1）求 ， 的通项公式；‎ ‎（2）数列 满足， 的前 项和为 ，求 .‎ ‎20. 如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角梯形， ， ， .‎ ‎（1）求平面 与平面 所成二面角的余弦值；‎ ‎（2）点 是线段 上的动点，当直线 与 所成角最小时，求线段的长.‎ ‎21. 已知 是抛物线 ： （）上一点， 是抛物线的焦点， 且 ‎ .‎ ‎（1）求抛物线 的方程；‎ ‎（2）已知 ，过 的直线 交抛物线 于 、 两点，以 为圆心的圆 与直线 相切，试判断圆 与直线 的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知点 ， 为平面上一动点， 到直线 的距离为 ， .‎ ‎（1）求点 的轨迹的方程；‎ ‎（2）不过原点 的直线 与 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，直线 与直线 交点的纵坐标为 ，求 面积的最大值及此时直线 的方程.‎ 平顶山市2017～2018学年第一学期期末调研考试 高二数学（理科）试题答案及评分参考 一、选择题 ‎1-5:ACDCC 6-10:DDBAB 11、12：AD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）原不等式可化为 ‎ 继续化为 ，其等价于 ．‎ ‎∴原不等式的解为 或 或 ．‎ ‎（Ⅱ）由 、 是非负实数，作差可得：‎ ‎ ‎ 当 时， ，从而 ，得；‎ 当 时， ，从而 ，得；‎ 所以， ．‎ ‎18.解：（1）由 及正弦定理得 ，‎ ‎∵ ，∴ ，‎ 又 ，故 ．‎ ‎（Ⅱ）∵ 的面积为 ，∴ ．‎ 由余弦定理得 ，故 ．‎ 解得 .‎ ‎19.解：（1）∵ ，∴ ．‎ 以上两式相减得： ，即 ．‎ 所以， ， ‎ 所以， ，即 ， ‎ ‎∴ ， ，因此， ，．‎ ‎（2）∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ，‎ 以上两式相减得： ‎ 所以， ．‎ ‎20.解：以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，‎ 则各点的坐标依次为 ， ， ， ．‎ ‎（1）因为 平面 ， ，∴ 平面 ，‎ 所以 是平面 的一个法向量， ．‎ 因为 ， ，设平面 的法向量为 则 ，，即 ‎ 取 ，解得 , ，所以 是平面 的一个法向量． ‎ 从而 ，‎ 所以，平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ．‎ ‎（2）设（ ），因为 ， ，‎ 所以， ．‎ 又 ，从而 ．‎ 设 ， ，则 ．‎ 当且仅当 ，即 时，的最大值为 ．‎ 因为 在 上是减函数，此时直线 与 所成角取得最小值，‎ 又因为 ，所以 ．‎ ‎21.解：（1）抛物线 : （ ）的准线方程为 : ，‎ 过 作 于点 ，连接 ，则 ，‎ ‎∵ ，∴ 为等边三角形，‎ ‎∴ ，∴ ．‎ ‎∴抛物线 的方程为 ．‎ ‎（2）直线 的斜率不存在时， 为等腰三角形，且 ．‎ ‎∴圆 与直线 相切．‎ 直线 的斜率存在时，设方程为 ，‎ 代入抛物线方程，得 ，‎ 设 ， ，则 ．‎ 直线 的方程为，即 ，‎ ‎∴圆 的半径 满足 ‎．‎ 同理，直线 的方程为 ，‎ ‎ 到直线 的距离 ， ．‎ ‎∴ ，∴ ，∴圆 与直线 相切，‎ 综上所述，圆 与直线 相切．‎ ‎22.解：（1）∵ ， ，‎ 由题意： ，‎ 即 ，化简整理得： ，‎ 所求曲线 的方程为 ．‎ ‎（2）易得直线 的方程 ，设 ， ， ，其中 ．‎ ‎∵ ， 在椭圆上，所以 ，‎ 所以， ．‎ ‎∴可设直线 的方程为： ， ，‎ 联立： ，消去 并整理得 ．‎ ‎∵直线 与椭圆有两个不同的交点且不过原点，‎ ‎∴ ，解得： 且 （*）．‎ 由韦达定理： ， ，‎ ‎∴ ‎ ‎ ．‎ ‎∵点 到直线 的距离为： ，‎ ‎∴ ．‎ 当且仅当 即 时等号成立，满足（*）式，‎ 所以 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 ． ‎