数学卷·2018届湖北省襄阳市宜城一中高二下学期3月月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届湖北省襄阳市宜城一中高二下学期3月月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年湖北省襄阳市宜城一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知命题p：∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x；命题q：∀x∈R，f（x）=x3﹣x2+6的极大值为6．则下面选项中真命题是（　　）‎ A．（￢p）∧（￢q） B．（￢p）∨（￢q） C．p∨（￢q） D．p∧q ‎2．下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（　　）‎ A．y=|x| B．y=2﹣x C．y= D．y=﹣x2+4‎ ‎3．当成立的充要条件是（　　）‎ A．ab＜0 B．ab＞0 C．a2+b2≠0 D．ab≠0‎ ‎4．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（　　）‎ A．af（b）≤bf（a） B．bf（a）≤af（b） C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）‎ ‎5．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（　　）‎ A．E B．F C．G D．H ‎6．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）‎ A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312‎ ‎7．过点（2，﹣3）且与直线x﹣2y+4=0的夹角为arctan的直线l的方程是（　　）‎ A．x+8y+22=0或7x﹣4y﹣26=0 B．x+8y+22=0‎ C．x﹣8y+22=0或7x+4y﹣26=0 D．7x﹣4y﹣26=0‎ ‎8．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3‎ ‎9．“”是“x＜0”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则cosAcosB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．集合A={y|y=log2x，x＞1}，，则（∁RA）∩B=（　　）‎ A． B．{y|0＜y＜1} C． D．∅‎ ‎12．如图，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，斜率k=l的直线l过焦点F，与抛物线交于A、B两点，若抛物线的准线与x轴交点为N，则tan∠ANF=（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．‎ ‎13．若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=　　．‎ ‎14．直线l：x+4y=2与圆C：x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，则cosα+cosβ=　　．‎ ‎15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠‎ MCA=60°；已知山高BC=200m，则山高MN=　　．‎ ‎16．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足．‎ ‎（I）求an；‎ ‎（II）设，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最小值．‎ ‎19．一种饮料每箱装有6听，经检测，某箱中每听的容量（单位：ml）如以下茎叶图所示．‎ ‎（Ⅰ）求这箱饮料的平均容量和容量的中位数；‎ ‎（Ⅱ）如果从这箱饮料中随机取出2听饮用，求取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml的概率．‎ ‎20．如图，圆O为三棱锥P﹣ABC的底面ABC的外接圆，AC是圆O的直径，PA⊥BC，点M是线段PA的中点．‎ ‎（1）求证：BC⊥PB；‎ ‎（2）设PA⊥AC，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P﹣MBC的体积；‎ ‎（3）在△ABC内是否存在点N，使得MN∥平面PBC？请证明你的结论．‎ ‎21．已知函数f（x）=x2+（2m﹣1）x﹣mlnx．‎ ‎（1）当m=1时，求曲线y=f（x）的极值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）若对任意m∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有mt﹣f（x）＜1成立，求实数t的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知直线l的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+2．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣1|．‎ ‎（1）解不等式：f（x）≤5；‎ ‎（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省襄阳市宜城一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知命题p：∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x；命题q：∀x∈R，f（x）=x3﹣x2+6的极大值为6．则下面选项中真命题是（　　）‎ A．（￢p）∧（￢q） B．（￢p）∨（￢q） C．p∨（￢q） D．p∧q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先判断命题p、q的真假，进而利用“或”、“且”、“非”命题的判断方法即可得出结论．‎ ‎【解答】解：对于命题p：分别画出函数y=2x，y=3x的图象，可知：不存在x∈（﹣∞，0），使得2x＜3x成立，故命题P不正确；‎ 对于命题q：由f（x）=x3﹣x2+6，∴f′（x）=3x2﹣2x=，‎ 令f′（x）=0，解得x=0，或，列表如下：‎ 由表格可知：‎ 当x=0时，函数f（x）取得极大值，且f（0）=6．故命题q正确．‎ 综上可知：p假q真，∴￢p真，￢q假，∴（￢p）∨（￢q）正确．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（　　）‎ A．y=|x| B．y=2﹣x C．y= D．y=﹣x2+4‎ ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】根据常见的基本初等函数的图象与性质，进行判断即可．‎ ‎【解答】解：对于A，函数y=|x|在[0，+∞）是增函数，‎ ‎∴在区间（0，1）上是增函数，满足题意；‎ 对于B，函数y=2﹣x在R上是增函数，‎ ‎∴在区间（0，1）上是减函数，不满足题意；‎ 对于C，函数y=在（0，+∞）上是减函数，‎ ‎∴在区间（0，1）上是减函数，不满足题意；‎ 对于D，函数y=﹣x2+4在[0，+∞）上是减函数，‎ ‎∴在区间（0，1）上是减函数，不满足题意．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．当成立的充要条件是（　　）‎ A．ab＜0 B．ab＞0 C．a2+b2≠0 D．ab≠0‎ ‎【考点】充要条件．‎ ‎【分析】由于题中分式，故要保证分母不为0，即a2+b2≠0，故得不等式成立的充要条件是a2+b2≠0．‎ ‎【解答】解：：∵‎ ‎∴a，b不能同时为0，即a2+b2≠0‎ ‎∴⇔|a+b|≤|a|+|b|‎ ‎⇔a2+b2+2ab≤a2+b2+2|ab|‎ ‎⇔ab≤|ab|，该不等式恒成立 ‎⇔a，b不同时为0，即a2+b2≠0‎ 故选C ‎　‎ ‎4．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（　　）‎ A．af（b）≤bf（a） B．bf（a）≤af（b） C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）‎ ‎【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．‎ ‎【解答】解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，‎ 又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①②‎ ‎①②两式相乘得： ⇒af（b）≤bf（a），故选A．‎ ‎　‎ ‎5．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（　　）‎ A．E B．F C．G D．H ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】首先在图形上看出复数z的代数形式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，在坐标系中看出对应的点．‎ ‎【解答】解：观察图形可知z=3+i，‎ ‎∴，‎ 即对应点H（2，﹣1），‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）‎ A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312‎ ‎【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．‎ ‎【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），‎ 该同学通过测试的概率为=0.648．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．过点（2，﹣3）且与直线x﹣2y+4=0的夹角为arctan的直线l的方程是（　　）‎ A．x+8y+22=0或7x﹣4y﹣26=0 B．x+8y+22=0‎ C．x﹣8y+22=0或7x+4y﹣26=0 D．7x﹣4y﹣26=0‎ ‎【考点】两直线的夹角与到角问题．‎ ‎【分析】设出所求直线的斜率，利用两条直线的夹角公式以及夹角为arctan，求出直线的斜率，推出直线方程．‎ ‎【解答】解：设直线的斜率是k，x﹣2y+4=0斜率是，‎ tan（arctan）==，‎ 所以k=﹣或k=，‎ 所以所求直线为：x+8y+22=0或7x﹣4y﹣26=0．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3‎ ‎【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．‎ ‎【分析】先用a2分别表示出a1和a5，再根据等比中项的性质得a22=a1a5进而求得a2．‎ ‎【解答】解：a1=a2﹣2，a5=a2+6‎ ‎∴a22=a1a5=（a2﹣2）（a2+6），解得a2=3‎ 故选D ‎　‎ ‎9．“”是“x＜0”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据立方的意义，根据题意利用特殊值x=1，可以求解；‎ ‎【解答】解：∵“”，‎ ‎∴x≠0，‎ ‎∵x＜0，x2＞0可得“”，‎ ‎∵x=1时， =1＞0，‎ ‎∴“”是“x＜0”成立的必要不充分条件，‎ 故选B；‎ ‎　‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则cosAcosB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】先根据A，B，C成等差数列和三角形内角和定理求出B的值，根据等比中项的性质可知b2=ac代入余弦定理求得a2+c2﹣ac=ac，整理求得a=c，即得A=C，最后利用三角形内角和定理求出A和C，最后求出式子的值．‎ ‎【解答】解：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1）‎ ‎∵A，B，C为△ABC的内角，∴A+B+C=π（2）．‎ 由（1）（2）得B=．‎ 由2a，2b，2c成等比数列，得b2=ac，‎ 由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB 把B=、b2=ac代入得，a2+c2﹣ac=ac，‎ 即（a﹣c）2=0，则a=c，从而A=C=B=，‎ ‎∴cosAcosB==，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．集合A={y|y=log2x，x＞1}，，则（∁RA）∩B=（　　）‎ A． B．{y|0＜y＜1} C．‎ ‎ D．∅‎ ‎【考点】对数函数的值域与最值；交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】求出集合A中函数的值域确定出A，求出B中函数的值域确定出B，求出A补集与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由集合A中的函数y=log2x，x＞1，得到y＞0，即A={y|y＞0}；‎ ‎∴∁RA={y|y≤0}，‎ 由集合B中中y=（）x，x＞1，得到0＜y＜，即B={y|0＜y＜}，‎ 则（∁RA）∩B=∅．‎ 故选D ‎　‎ ‎12．如图，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，斜率k=l的直线l过焦点F，与抛物线交于A、B两点，若抛物线的准线与x轴交点为N，则tan∠ANF=（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据直线l的斜率k=l，设出A的坐标，代入抛物线y2=2px，求出A的坐标，从而可求tan∠ANF．‎ ‎【解答】解：∵直线l的斜率k=l，‎ ‎∴可设A（+y，y），代入抛物线y2=2px，可得y2=2p（+y），‎ ‎∴y=p+p，‎ ‎∴tan∠ANF===．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．‎ ‎13．若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=　　．‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，‎ ‎∴（1﹣i）z（1+i）=2i（1﹣i），‎ 化为2z=2（i+1），‎ ‎∴z=1+i．‎ ‎∴|z|=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．直线l：x+4y=2与圆C：x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，则cosα+cosβ=　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由三角函数的定义得：cosα+cosβ=x1+x2，再结合韦达定理，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由三角函数的定义得：cosα+cosβ=x1+x2‎ 由消去y得：17x2﹣4x﹣12=0，则，‎ 即．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°；已知山高BC=200m，则山高MN=　300m　．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】在△ABC中，求出AC，在△AMC中，利用正弦定理求出AM，然后在Rt△AMN中，求解MN．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=200，‎ ‎∴AC==200，‎ 在△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，∴∠AMC=45°，‎ 由正弦定理可得AM==200，‎ 在Rt△AMN中，MN=AM•sin∠MAN=200=300（m）．‎ 故答案为300m．‎ ‎　‎ ‎16．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），由AM的斜率可求出a的值．‎ ‎【解答】解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．‎ 取M（1，4），则AM的斜率为2，‎ 由已知得﹣×2=﹣1，‎ 故a=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足．‎ ‎（I）求an；‎ ‎（II）设，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出（an+an﹣1﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，从而得到数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）由bn=（n+1）•2n，由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，解得a1=1；‎ 当n≥2时，由，得，‎ 两式相减，得，‎ 即，即（an+an﹣1﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0‎ ‎∵数列{an}为递增数列，∴an+an﹣1﹣1≠0，‎ ‎∴an﹣an﹣1=1，‎ ‎∴数列{an}是首项为1、公差为1的等差数列，故an=n，‎ ‎（Ⅱ），，‎ Tn=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，‎ 两式相减，得﹣==﹣n•2n+1，‎ ‎∴，n∈N*．‎ ‎　‎ ‎18．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最小值．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据图象求出A，计算周期T，将x的值代入表达式求出对应的系数，求出函数的解析式即可；‎ ‎（Ⅱ）求出g（x）的表达式，将其化简，根据三角函数的性质求出其最小值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由图可知A=1，‎ ‎，‎ ‎∴T=π，ω=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当时，f（x）=1，‎ 可得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∵∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∵，‎ ‎∴g（x）的最小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎19．一种饮料每箱装有6听，经检测，某箱中每听的容量（单位：ml）如以下茎叶图所示．‎ ‎（Ⅰ）求这箱饮料的平均容量和容量的中位数；‎ ‎（Ⅱ）如果从这箱饮料中随机取出2听饮用，求取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由茎叶图，能示出这箱饮料的平均容量的容量的中位数．‎ ‎（Ⅱ）把每听饮料标上号码，其中容量为248ml，249ml的4听分别记作1，2，3，4，容量炎250ml的2听分别记作：a，b．抽取2听饮料，得到的两个标记分别记为x和y，则{x，y}‎ 表示一次抽取的结果，由此利用列举法能求出从这箱饮料中随机取出2听饮用，取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，这箱饮料的平均容量为249+=249，‎ 容量的中位数为=249．‎ ‎（Ⅱ）把每听饮料标上号码，其中容量为248ml，249ml的4听分别记作1，2，3，4，‎ 容量炎250ml的2听分别记作：a，b．抽取2听饮料，‎ 得到的两个标记分别记为x和y，则{x，y}表示一次抽取的结果，‎ 即基本事件，从这6听饮料中随机抽取2听的所有可能结果有：‎ 共计15种，即事件总数为15．‎ 其中含有a或b的抽取结果恰有9种，即“随机取出2听饮用，‎ 取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml”的基本事件个数为9．‎ 所以从这箱饮料中随机取出2听饮用，取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml的概率为．…‎ ‎　‎ ‎20．如图，圆O为三棱锥P﹣ABC的底面ABC的外接圆，AC是圆O的直径，PA⊥BC，点M是线段PA的中点．‎ ‎（1）求证：BC⊥PB；‎ ‎（2）设PA⊥AC，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P﹣MBC的体积；‎ ‎（3）在△ABC内是否存在点N，使得MN∥平面PBC？请证明你的结论．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）由已知得BC⊥AB，BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥PB．‎ ‎（2）由已知得BC=，S△ABC=，PA⊥平面ABC，由此能求出三棱锥P﹣MBC的体积．‎ ‎（3）取AB的中点D，连结OD、MD、OM，则N为线段OD（除端点O，D外）任意一点即可使得MN∥平面PBC．由已知得MD∥PB，MO∥PC，从而平面MDO∥平面PBC，由此能证明MN∥平面PBC．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，∵AC是圆O的直径，∴BC⊥AB，‎ ‎∵BC⊥PA，又PA、AB⊂平面PAB，且PA∩AB=A，‎ ‎∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，‎ ‎∴BC⊥PB．‎ ‎（2）解：如图，在Rt△ABC中，AC=2，AB=1，‎ ‎∴BC=，∴S△ABC=，‎ ‎∵PA⊥BC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC，‎ ‎∴VP﹣MBC=VP﹣ABC﹣VM﹣ABC ‎=﹣=．‎ ‎（3）解：如图，取AB的中点D，连结OD、MD、OM，‎ 则N为线段OD（除端点O，D外）任意一点即可使得MN∥平面PBC．‎ 理由如下：‎ ‎∵M、O、D分别是PA、AC、AB的中点，‎ ‎∴MD∥PB，MO∥PC，‎ ‎∵MD⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴MD∥平面PBC，‎ 同理，得MO∥平面PBC，‎ ‎∵MD、MO⊂平面MDO，MD∩MO=M，‎ ‎∴平面MDO∥平面PBC，‎ ‎∵MN⊂平面MDO，∴MN∥平面PBC．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=x2+（2m﹣1）x﹣mlnx．‎ ‎（1）当m=1时，求曲线y=f（x）的极值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）若对任意m∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有mt﹣f（x）＜1成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可；‎ ‎（3）问题等价于mt﹣1＜f（x）min，通过讨论m 的范围，求出t的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 当m=1时，，解得x=﹣1（舍去），，‎ 在上递减，在上递增，所以f（x）的极小值为．‎ ‎（2）‎ ‎，令f'（x）=0可得．‎ ‎①当m≥0时，由f'（x）＜0可得f（x）在上单调递减，‎ 由f'（x）＞0可得f（x）在上单调递增．‎ ‎②当时，由f'（x）＜0可得f（x）在上单调递减，‎ 由f'（x）＞0可得f（x）得在（0，﹣m）和上单调递增．‎ ‎③当时，由可得f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ ‎④当时，由f'（x）＜0可得f（x）在上单调递减，‎ 由f'（x）＞0可得f（x）得在和（﹣m，+∞）上单调递增．‎ ‎（3）由题意可知，对∀m∈（2，3），x∈[1，3]时，恒有mt﹣1＜f（x）成立，等价于mt﹣1＜f（x）min，‎ 由（2）知，当m∈（2，3）时，f（x）在[1，3]上单调递增，‎ ‎∴f（x）min=f（1）=2m，所以原题等价于∀m∈（2，3）时，恒有mt﹣1＜2m成立，即．‎ 在m∈（2，3）时，由，故当时，mt﹣1＜2m恒成立，∴．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知直线l的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+2．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由参数方程可得定点坐标，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，平方化简即可得到所求普通方程；‎ ‎（Ⅱ）写出直线l的参数方程和普通方程，结合直角坐标和极坐标的关系，可得直线的极坐标方程，再联立曲线C的极坐标方程，即可得到所求交点的极坐标．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）直线l经过定点（﹣1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由ρ=ρcosθ+2得ρ2=（ρcosθ+2）2，‎ 得曲线C的普通方程为x2+y2=（x+2）2，化简得y2=4x+4；﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）若，得的普通方程为y=x+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 则直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 联立曲线C：ρ=ρcosθ+2．‎ 得sinθ=1，取，得ρ=2，所以直线l与曲线C的交点为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣1|．‎ ‎（1）解不等式：f（x）≤5；‎ ‎（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）由于|x﹣4|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，由此求得不等式|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集．‎ ‎（2）函数g（x）=的定义域为R，可得f（x）+2m≠0恒成立，|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解，利用|x﹣4|+|x﹣1|≥3，即可求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由于|x﹣4|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，‎ 而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，‎ 故不等式|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集为{x|0≤x≤5}．‎ ‎（2）函数g（x）=的定义域为R，可得f（x）+2m≠0恒成立，‎ ‎∴|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解，‎ ‎∵|x﹣4|+|x﹣1|≥3，‎ ‎∴﹣2m＜3，‎ ‎∴m＞﹣．‎ ‎　‎