- 2021-04-13 发布 |
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文档介绍
2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书:第二章 8 第8讲 函数与方程
第 8 讲 函数与方程 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零 点. (2)三个等价关系:方程 f(x)=0 有实数根⇔函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y= f(x)有零点. 2.函数零点的判定 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那 么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是 f(x)= 0 的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理. 3.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+ bx+c(a>0) 的图象 与 x 轴 的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.( ) (2)函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则 f(a)·f(b)<0.( ) (3)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)在 b2-4ac<0 时没有零点.( ) (4)若函数 f(x)在(a,b)上连续单调且 f(a)·f(b)<0,则函数 f(x)在[a,b]上有且只有一个零 点.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ [教材衍化] 1.(必修 1P92A 组 T5 改编)函数 f(x)=ln x- 2 x的零点所在的大致范围是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(1 e,1 )和(3,4) D.(4,+∞) 解析:选 B.易知 f(x)为增函数,由 f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3-2 3>0,得 f(2)·f(3)<0. 故选 B. 2.(必修 1P88 例 1 改编)函数 f(x)=ex+3x 的零点个数是______. 解析:由已知得 f′(x)=ex+3>0,所以 f(x)在 R 上单调递增,又 f(-1)= 1 e-3<0,f(0)= 1>0,因此函数 f(x)有且只有一个零点. 答案:1 [易错纠偏] (1)错用零点存在性定理; (2)误解函数零点的定义; (3)忽略限制条件; (4)错用二次函数在 R 上无零点的条件. 1.函数 f(x)=x+ 1 x的零点个数是______. 解析:函数的定义域为{x|x≠0},当 x>0 时,f(x)>0,当 x<0 时,f(x)<0,所以函数没有 零点. 答案:0 2.函数 f(x)=x2-3x 的零点是______. 解析:由 f(x)=0,得 x2-3x=0, 即 x=0 和 x=3. 答案:0 和 3 3.若二次函数 f(x)=x2-2x+m 在区间(0,4)上存在零点,则实数 m 的取值范围是______. 解析:二次函数 f(x)图象的对称轴方程为 x=1.若在区间(0,4)上存在零点,只需 f(1)≤0 且 f(4)>0 即可,即-1+m≤0 且 8+m>0,解得-8查看更多