河南省平顶山市鲁山县第一高级中学2020届高三下学期期中考试数学（理）试卷

河南省平顶山市鲁山县第一高级中学2020届高三下学期期中考试数学（理）试卷

理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1．集合，，则= ( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎2．纯虚数满足，则的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．各项均为正数的等比数列中，，数列的前项和为.则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．在中，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5．把不超过实数的最大整数记为，则函数称作取整函数，又叫高斯函数，在 上任取，则的概率为（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎6．函数的大致图象为( )‎ ‎ ‎ ‎7．设向量，若，则实数（ ）‎ A．3 B．‎1 C． D．‎ ‎8．已知实数，满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作垂直于轴的弦MN，交双曲线于M、N两点，若=，则双曲线的离心率=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．的值域为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、 填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．将函数的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图象，则 ．‎ ‎14．已知数列，若数列的前项和，则的值为 .‎ ‎15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 这三天售出的商品最少有 种． ‎ ‎16．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积的最小值为 .‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列中，成等比数列，数列的前10项和为45.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求.‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱的所有棱长均，为棱（不包括端点）上一动点，是的中点．‎ ‎（Ⅰ）若，求的长；‎ ‎（Ⅱ）当在棱（不包括端点）上运动时，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分12分）某学校共有名学生，其中男生人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了名学生进行调查，月消费金额分布在之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于元的学生称为“高消费群”．‎ ‎（1）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量，求 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数，．‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，令函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．‎ ‎[选修4-4：极坐标与参数方程]‎ ‎22．（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知为锐角，直线与曲线的交点为（异于极点），与曲线 的交点为，若，求的直角坐标方程.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题（共12小题，每小题5分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B A C B C D B C D C D 二、填空题（共4小题，每小题5分）‎ ‎13、 14、16 15、16，29 16、‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.解：设等差数列的公差为，由成等比数列可得，，即，，‎ ‎，． -------------------------3分 ‎（1）由数列的前10项和为45，得，‎ 即，故，--------------------------------5分 故数列的通项公式为；----------------------------------6分 （2） ‎-------------------8分 ‎ ---------10分 ‎ ---------------------------------12分 ‎18.证明：（Ⅰ），由AC=BC，AE=BE，知CE⊥AB，‎ 又平面ABC⊥平面ABB1A1，所以CE⊥平面ABB1A1‎ 而AD⊂平面ABB1A1，∴AD⊥CE，又AD⊥A1C所以AD⊥平面A1CE，‎ 所以AD⊥A1E．易知此时D为BB1的中点，故BD=1． --------------------------------5分 ‎（Ⅱ）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，‎ 过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，设 BD=t，则A（-1，0，0），D（1，0，t），C1（0，，2），‎ ‎=（2，0，t），=（1，，2），设平面ADC1的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1，得，‎ 平面ABC的法向量=（0，0，1），--------------------------------9分 设平面ADC1与平面ABC的夹角为θ，‎ ‎∴cosθ====‎ 由于t∈（02）,故cosθ∈（，]．‎ 即平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围为（，]．----------12分 ‎19.（1）由题意知，，‎ 解得，‎ 样本的平均数为：‎ ‎（元），‎ 所以估计该校学生月消费金额的平均数为元．--------------------------------4分 ‎（2）由题意，从中抽取人，从中抽取人．‎ 随机变量的所有可能取值有，，，，‎ ‎（），‎ 所以，随机变量的分布列为 随机变量的数学期望．----------------------------8分 ‎（3）由题可知，样本中男生人，女生人，属于“高消费群”的人，其中女生人；‎ 得出以下列联表：‎ ‎，‎ 所以有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．--------------------12分 ‎20.【解析】（1）由题意得：，···········2分 解得，∴椭圆的标准方程是···········4分 ‎（2）当直线的斜率不存在时，，‎ ‎，不符合题意···········5分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，‎ 由消整理得：，‎ ‎，解得或，···········6分 ‎，，···········7分 ‎∴‎ ‎，···········9分 ‎∵，∴，···········10分 解得，满足，···········11分 所以存在符合题意的直线，其方程为．···········12分 ‎21.【答案】（1）切线方程为；（2）实数的取值范围是．‎ ‎【解析】（1）当时，．‎ 当时，，所以点为，···········1分 又，因此．···········2分 因此所求切线方程为．···········4分 ‎（2）当时，，‎ 则．···········6分 因为，所以当时，，···········7分 且当时，；当时，；‎ 故在处取得极大值也即最大值．···········8分 又，，‎ ‎，‎ 则，所以在区间上的最小值为，······10分 故在区间上有两个零点的条件是，‎ 所以实数的取值范围是．···········12分 ‎22.【详解】解：（1）由题意知曲线的直角坐标方程为， ‎ 即， ‎ 所以，‎ 即，故曲线的极坐标方程为.-----------------------------5分 ‎（2）因为曲线的极坐标方程为，‎ 所以，‎ 将代入，得 因为曲线的极坐标方程为，所以 ‎ 所以， ‎ 则，故的直角坐标方程为--------------------------------10分 ‎23.【详解】（1）‎ 当，‎ 可得 若则，‎ 即，显然成立 若，‎ 可得，故 若，‎ 可得，显然不成立.‎ 综上所述，‎ ‎（2）‎ 要保证不等式恒成立，只需保证，‎ 解得 综上所述，‎