高一数学(人教A版)必修4能力提升:2-3-1 平面向量基本定理

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高一数学(人教A版)必修4能力提升:2-3-1 平面向量基本定理

能 力 提 升 一、选择题 ‎1.在四边形ABCD中,=a+2b,=-‎4a-b,=-‎5a-3b,其中a、b不共线,则四边形ABCD为(  )‎ A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 ‎[答案] C ‎[解析] ∵=++=a+2b-‎4a-b-‎5a-3b=-‎8a-2b=2(-‎4a-b)=2,即=2,‎ ‎∴AD∥BC且AD≠BC,故选C.‎ ‎2.已知=a,=b,C为线段AB上距A较近的一个三等分点,D为线段CB上距C较近的一个三等分点,则用a、b表示为(  )‎ A.(‎4a+5b)‎ B.(‎9a+7b)‎ C.(‎2a+b)‎ D.(‎3a+b)‎ ‎[答案] A ‎[解析] 利用向量加法和减法的几何意义和平面向量基本定理求解.‎ ‎∵=+,=+ ‎=+=+=.‎ 而=b-a,∴=b-a,‎ ‎∴=+=a+(b-a)=a+b.‎ ‎3.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=(  )‎ A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b ‎[答案] D ‎[解析] ∵=+=a+=a+(b-a)=a+b.‎ ‎4.已知△ABC中,点D在BC边上,且=2,=r+s,则r+s的值是(  )‎ A. B. ‎ C.-3 D.0‎ ‎[答案] D ‎[解析] ∵= ‎=(-)‎ ‎∴r= s=- ‎∴r+s=0.‎ ‎5.(09·全国Ⅰ文)设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a与b的夹角为(  )‎ A.150° B.120° ‎ C.60° D.30°‎ ‎[答案] B ‎[解析] ∵|a|=|b|=|c|≠0,且a+b=c ‎∴如图所示就是符合题设条件的向量,易知OACB是菱形,△‎ OBC和△OAC都是等边三角形.‎ ‎∴a与b的夹角为120°.‎ ‎6.(2011~2012·合肥市)如图,△ABC中,AD=DB,AE=EC,CD与BE交于F,设=a,=b,=xa+yb,则(x,y)为(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] C ‎[解析] 设=λ,∵E、D分别为AC、AB的中点,∴=+=-a+b,‎ =+=(b-a)+λ(a-b)‎ ‎=a+(1-λ)b,‎ ‎∵与共线,∴=,∴λ=,‎ ‎∴=+=b+=b+ ‎=a+b,故x=,y=.‎ 二、填空题 ‎7.向量a与b的夹角为25°,则‎2a与-b的夹角θ=________.‎ ‎[答案] 155°‎ ‎[解析] 作=a,=b,则∠AOB=25°,如图所示.‎ 延长OA到C,使OA=AC,则=‎2a.‎ 延长BO到D,使OD=BO,则=-b.‎ 则θ=∠DOA,又∠DOA+∠AOB=180°,则∠DOA=180°-25°=155°,则θ=155°.‎ ‎8.已知e1、e2是两个不共线的向量,而a=k2e1+(1-k)e2与b=2e1+3e2是两个共线向量,则实数k=________.‎ ‎[答案] -2或 ‎[解析] 由题设知=,∴3k2+5k-2=0.‎ 解得k=-2或.‎ ‎9.已知向量a和向量b不共线,且m+n=a,m-n=b,则m=________,n=________.(用a、b表示)‎ ‎[答案]   ‎[解析] 解方程组 得m=,n= 三、解答题 ‎10.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的中点,若=a,=b,试用a、b表示、,.‎ ‎[解析] 如图所示,连接CN,则四边形ANCD是平行四边形.‎ 则===a,‎ =-=-=b-a,‎ =-=-- ‎=-- ‎=a-b.‎ ‎11.已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为120°,求a+b与a的夹角,a-b与a的夹角.‎ ‎[解析] 如图,作=a,=b,且∠AOB=120°,‎ 以OA,OB为邻边作▱OACB,‎ 则=+=a+b,=-=a-b,‎ ==a.‎ 因为|a|=|b|=2,所以△OAB为等腰三角形,‎ 所以∠OAB=30°‎ 即a-b与a的夹角为30°.‎ 因为|a|=|b|,所以平行四边形OACB为菱形,‎ 所以OC⊥AB,所以∠COA=60°,‎ 即a+b与a的夹角为60°.‎ ‎12.设M、N、P是△ABC三边上的点,它们使=,=,=,若=a,=b,试用a、b将、、表示出来.‎ ‎[解析] 如图,=-=--=--(-)=-=b-a.‎ 同理可得=a-b,‎ =-=-(+)=a+b.‎
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