数学文卷·2019届山东省德州市高二上学期期末考试（2018-02）

数学文卷·2019届山东省德州市高二上学期期末考试（2018-02）

高二数学（文科）试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知命题 : 0, 1xp x e x    ，则 p 为（ ） A． 0, 1xx e x    B． 0, 1xx e x    C． 0, 1xx e x    D． 0, 1xx e x    2.抛物线 22y x 的焦点坐标是 （ ） A． 1 ,02      B． 10, 2      C． 1 ,08      D． 10, 8      3. 过点 1,0 且与直线 2 2 0x y   平行的直线方程是（ ） A． 2 2 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 1 0x y   D． 2 1 0x y   4.若变量 ,x y 满足约束条件 1 0 2 0 y x y x y         ，则 2z x y  的最大值为 （ ） A． 1 B．2 C. 3 D．4 5.函数   xf x xe 在点   0, 0A f 处的切线斜率为（ ） A． 0 B．-1 C. 1 D． e 6. “ 0 2n  ”是“方程 2 2 11 3 x y n n    表示双曲线”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分 也不必要条件 7.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位： cm ），可知此几何体的体积是 （ ） A． 324cm B． 364 3 cm C.   36 2 5 2 2 cm  D．  324 8 5 8 2 cm  8. 圆 2 2 4x y  与圆   2 23 4 49x y    的位置关系为（ ） A．内切 B．相交 C. 外切 D．相离 9. 设 ,m n 是两条不同直线， ,  是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A． / / , / /m n  且 / /  ，则 / /m n B． ,m n   且  ，则 m n C. , ,m nm n    ，则  D． , ,m/ / , / /m n n     ，则 / /  10. 过点  ,0P  引直线l 与曲线 22y x  相交于 ,A B 两点，O 为坐标原点，当 AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ） A． 3 3 B． 3 3  C. 3 D． 3 3  11.设 1 2,F F 分别是双曲线   2 2 2 2: 1 0,b 0x yC aa b     的左、右焦点．圆 2 2 2 2x y a b   与双曲线 C 的右支交于点 A ，且 1 22 3AF AF ，则双曲线离心率为（ ） A．12 5 B．13 5 C. 13 2 D． 13 12. 已知  0,2A ，抛物线  2: 0C y mx m  的焦点为 F ，射线 FA 与抛物线C 相交于点 M ，与其准线相交于点 N 中，若 : 1: 3FM MN  ，则三角形OFN 面积为（ ） A． 2 2 B． 2 3 C. 4 D． 2 5 第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若曲线  1ay x a R   在点 1,2 处的切线经过坐标原点，则 a  ． 14.某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高 h 为 6 米（如图所示），路面设计是双向车 道，车道总宽为8 7 米，如果限制通行车辆的高度不超过 4.5 米，那么隧道设计的拱宽 d 至 少应是 米． 15.若   21 ln2f x x b x   在 1, 上是减函数，则b 的取值范围是 ． 16.已知圆    2 2: 5 12 1C x y    和两点     ,0 , ,0 0A a B a a  ．若圆C 上至少存在 一点 P ，使得 090APB  ，则 a 的取值范围 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17.已知圆 2 2: 8 12 0C x y x    ，直线 : 2 0l x ay a   ． （1）当 a 为何值时，直线l 与圆C 相切； （2）当直线l 与圆C 相交于 ,A B 两点，且 2 2AB  时，求直线l 的方程． 18. 如图，已知 PA O  所在的平面， AB 是 O 的直径， 4,AB C 是 O 上一点，且 0, 45 ,AC BC PCA E   是 PC 中点， F 为 PB 中点． （1）求证： / /EF 面 ABC ； （2）求证： EF  面 PAC ； （3）求三棱锥 B PAC 的体积． 19. 已知函数   3 2 2f x ax bx x   ，且  f x 在 1x  和 2x  处取得极值． （1）求函数  f x 的解析式； （2）设函数    g x f x t  ，是否存在实数t ，使得曲线  y g x 与 x 轴有两个交点， 若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 20.已知命题 :p 直线 2 0ax y   和直线  3 2 1 1 0ax a y    垂直；命题 :q 三条直线 2 3 1 0,4x 3y 5 0, 1 0x y ax y         将平面划分为六部分．若 p q 为真命题，求 实数 a 的取值集合． 21.已知函数   2 1ln 2 2 xf x x x    ． （1）求函数  f x 的单调递增区间； （2）证明：当 1x  时，   1f x x  ； （3）确定实数 k 的值，使得存在 0 1x  当  01,x x 时，恒有    1f x k x  ． 22.椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的离心率是 2 2 ，过点  0,1P 的动直线l 与椭圆相交于 ,A B 两点，当直线l 与 x 轴平行时，直线l 被椭圆C 截得的线段长为 2 6 ． （1）求椭圆C 的方程； （2）在 y 轴上是否存在异于点 P 的定点 Q ，使得直线l 变化时，总有 PQA PQB   ？ 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷答案 一、选择题 1-5:BDCCC 6-10: ABABB 11、12：DA 二、填空题 13. 2 14. 32 15.  ,1 16.  12,14 三、解答题 17.解：将圆C 的方程 2 2 8 12 0x y x    化成标准方程为 2 24 4x y   ， 则此圆的圆心为 4,0 ，半径为 2． （1）若直线l 与圆C 相切，则有 2 4 2 2 1 a a    ，解得 3 4a   ； （2）过圆心C 作CD AB ，则根据题意和圆的性质， 得 2 2 2 2 2 4 2 1 2 1 22 aCD a CD DA AC DA AB             ，解得 7a   或 1a   ，故所求直线方程为 7 14 0x y   或 2 0x y   ． 18.解：（1）证明：在三角形 PBC 中， E 是 PC 中点， F 为 PB 中点， ∴ / /EF BC ， BC 平面 ,ABC EF  平面 ABC ，∴ / /EF 面 ABC ； （2）证明：∵ PA  面 ABC ， BC 平面 ABC ，∴ BC PA ， 又∵ AB 是 O 的直径，∴ BC AC ， 又 PA AC A ，∴ BC  面 PAC ， ∵ / /EF BC ，∴ EF  面 PAC ； （3）∵ 045PCA  ，∴ PA AC ， 在 Rt ABC 中，∵ , 4AC BC AB  ，∴ 2 2AC BC  ， ∴ 1 8 2 3 3B PAC P ABC ABCV V S PA     ． 19.解：（1）   23 2 2f x ax bx    ， 因为  f x 在 1x  和 2x  处取得极值， 所以 1x  和 2x  是   0f x  的两个根， 则 21 2 3 21 2 3 b a a         ，解得 1 3 3 2 a b      ， 经检验符合已知条件，故   3 21 3 23 2f x x x x    ； （2）由题意知    3 2 21 3 2 , 3 23 2g x x x x t g x x x         ， 令   0g x  得， 1x  或 2x  ，    g x g x 、 随着 x 变化情况如下表所示： x  ,1 1  1,2 2  2,  g x - 0 + 0 -  g x 递减 极小值 递增 极大值 递减 由上表可知        5 21 , 26 3g x g t g x g t     极小值 极大值 ， 又 x 取足够大的正数时，   0g x  ， x 取足够小的负数时，   0g x  ， 因此，为使曲线  y g x 与 x 轴有两个交点，结合  g x 的单调性， 得   5 06g x t  极小值 或   2 03g x t  极大值 ， ∴ 5 6t  或 2 3t  ， 即存在t ，且 5 6t  或 2 3t  时，曲线  y g x 与 x 轴有两个交点． 20.解： p 真：  23 2 1 0a a   ，   23 2 1 3 1 1 0a a a a      ，∴ 1 3a   或 1a  ， q 真：∵ 2 3 1 0x y   与 4 3 5 0x y   不平行， 则 2 3 1 0x y   与 1 0ax y   平行或 4 3 5 0x y   与 1 0ax y   平行或三条直线 交于一点， 若 2 3 1 0x y   与 1 0ax y   平行，由 1 1 2 3 1 a    得 2 3a  ， 若 4 3 5 0x y   与 1 0ax y   平行，由 1 1 4 3 5 a    得 4 3a   ， 若三条直线交于一点，由 2 3 1 0 4 3 5 0 x y x y        ，得 1 1 3 x y     ， 代入 1 0ax y   得 2 3a   ， ∴ q 真， 2 3a  或 4 3a   或 2 3a   ， ∵ p q 真，∴ p q、 至少有一个为真， ∴ a 的取值集合为 4 2 1 2, , , ,13 3 3 3       ． 21.解：（1）     21 11 , 0,x xf x x xx x          ， 由   0f x  得 2 0 1 0 x x x      解得 1 50 2x   ， 故  f x 的单调递增区间是 1 50, 2      ； （2）令        1 , 0,F x f x x x     ，则有   21 xF x x   ， 当  1,x  时，   0F x  ， 所以  F x 在 1, 上单调递减， 故当 1x  时，    1 0F x F  ，即当 1x  时，   1f x x  ； （3）由（2）知，当 1k  时，不存在 0 1x  满足题意， 当 1k  时，对于 1x  ，有    1 1f x x k x    ，则    1f x k x  ，从而不存在 0 1x  满足题意， 当 1k  时，令        1 , 0,G x f x k x x     ， 则有    2 1 11 1 x k xG x x kx x          ， 由   0G x  得，  2 1 1 0x k x    ， 解得    2 2 1 2 1 1 4 1 1 4 0, 12 2 k k k k x x             ， 当  21,x x 时，   0G x  ，故  G x 在 21, x 内单调递增， 从而当  21,x x 时，    1 0G x G  ，即    1f x k x  ， 综上， k 的取值范围是  ,1 ． 22.解：（1）∵ 2 2 2 2 1,2 2 ce e a    ，∴ 2 2 2 2 2 22 , 2a c b c b c a b     ， 椭圆方程化为： 2 2 2 2 12 x y b b   ，由题意知，椭圆过点 6,1 ， ∴ 2 2 6 1 12b b   ，解得 2 24, 8b a  ， 所以椭圆 C 的方程为： 2 2 18 4 x y  ； （2）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程： 1y kx  ， 由 2 22 8 1 x y y kx       得 2 22 1 4 6 0k x kx    ，  2 216 24 2 1 0k k     ， 设     1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 4 2 1, , , , 6 2 1 kx x kA x y B x y x x k        ， 假设存在定点  0,Q t 符合题意，∵ PQA PQB   ，∴ QA QBk k  ， ∴        2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 QA QB x y x y t x x x kx x kx t x xy t y tk k x x x x x x                    1 2 1 2 1 2 2 1 2 442 1 06 3 kx x t x x k tkk tx x          ， ∵上式对任意实数 k 恒等于零，∴ 4 0t  ，即 4t  ，∴  0,4Q ， 当直线l 斜率不存在时， ,A B 两点分别为椭圆的上下顶点   0, 2 , 0,2 ， 显然此时 PQA PQB   ，综上，存在定点  0,4Q 满足题意．