【数学】四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试(理)

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【数学】四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试(理)

四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年 高二下学期第四学月考试(理)‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.复数,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设函数的定义域,函数的定义域为,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.命题“,使”的否定为 ‎ A. B.‎ C., D.,‎ ‎4.抛物线的焦点坐标是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.随着“银发浪潮”的涌来,养老是当下普遍关注的热点和难点问题,某市创新性的采用“公建民营”的模式,建立标准的“日间照料中心”,既吸引社会力量广泛参与养老建设,也方便规范化管理,计划从中抽取5个中心进行评估,现将所有中心随机编号,用系统(等距)抽样的方法抽取,已知抽取到的号码有5号23号和29号,则下面号码中可能被抽到的号码是 ‎ A. 9 B. 12 C. 15 D. 17‎ ‎7.执行如图所示的程序框图,输出的的值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知命题对任意,总有;是的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.若向量,,则 ‎ A. B. ‎ C.3 D.‎ ‎10.函数的图象大致是 ‎ A. ‎ B.‎ C. ‎ D.‎ ‎11.在四面体中,,,两两垂直,,、分别为棱、的中点,则直线与平面所成角的余弦值 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数,,若关于的方程在区间内有两个实数解,则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.命题“不成立”是真命题,则实数的取值范围是______.‎ ‎14.函数在点处的切线方程为________.‎ ‎15.设x,y满足约束条件,则的最小值为_______.‎ ‎16.若,为自然数,则下列不等式:①;②;③,其中一定成立的序号是__________.‎ 三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17.(12分)已知函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(II)若在内只有一个零点,求的取值范围.‎ ‎18.(12分)如图,在正方体中,点为的中点,为的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(II)若,求二面角的余弦值.‎ ‎19.(12分)近年来,国资委.党委高度重视扶贫开发工作,坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署,在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作,取得了积极成效,某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示:‎ 土地使用面积(单位:亩)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 管理时间(单位:月)‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎25‎ ‎24‎ 并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示:‎ 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 ‎150‎ ‎50‎ 女性村民 ‎50‎ ‎(Ⅰ)求出相关系数的大小,并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关?‎ ‎(II)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性?‎ ‎(III)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况,则从该贫困县中任取3人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望。‎ 参考公式:‎ 其中。临界值表:‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考数据:‎ ‎20.(12分)在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,为垂足.当点在圆上运动时,线段的中点形成轨迹.‎ ‎(Ⅰ)求轨迹的方程;‎ ‎(II)若直线与曲线交于两点,为曲线上一动点,求面积的最大值 ‎21.(12分)已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)若在内单调递减,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若函数有两个极值点分别为,,证明:.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线 的极坐标方程为,设与交于、两点,中点为,的垂直平分线交于、.以为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求的直角坐标方程与点的直角坐标;‎ ‎(II)求证:.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数,x∈R.‎ ‎(Ⅰ)解不等式;‎ ‎(II)若对x,y∈R,有,,求证:.‎ 参考答案 ‎1.A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D 11.C 12.A ‎13. 14. 15. 16.①③.‎ ‎17.解:(1),‎ ‎,则,故所求切线方程为;‎ ‎(2),‎ 当时,对恒成立 ,‎ 则在上单调递增,从而,则,‎ 当时,在上单调递减,在上单调递增,‎ 则 ,‎ 当时, 对恒成立,则在上单调递减,在(1,2)内没有零点 ,综上,a的取值范围为(0,1).‎ ‎18.(1)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,‎ 设,则,,‎ ‎,平面的法向量,‎ ‎∵,平面,∴平面.‎ ‎(2),,,,,‎ ‎,,,,‎ 设平面的法向量,‎ 则,取,得,‎ 设平面的法向量,‎ 则,取得,得,‎ 设二面角的平面角为,‎ 则二面角的余弦值为.‎ ‎19.解:依题意:‎ 故 则,‎ 故管理时间与土地使用面积线性相关。‎ ‎(2)依题意,完善表格如下:‎ 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 女性村民 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 总计 ‎200‎ ‎100‎ ‎300‎ 计算得的观测值为 故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性。‎ ‎(3)依题意,的可能取值为0,1,2,3,从该贫困县中随机抽取一名,则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为,‎ 故 故的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则数学期望为 ‎(或由,得 ‎20.(1)设,由题意,为线段的中点,‎ 即又在圆上,‎ ‎,即,‎ 所以轨迹为椭圆,且方程为.联立直线和椭圆,‎ 得到,即 即有 设过且与直线平行的直线为,‎ 当直线与椭圆相切时,两直线的距离取最大,‎ 将代入椭圆方程得:‎ 由相切的条件得 解得,则所求直线为或,‎ 故与直线的距离为,‎ 则的面积的最大值为.‎ ‎21.(I). ∴在内单调递减, ‎ ‎∴在内恒成立, 即在内恒成立.‎ 令,则,‎ ‎∴当时,,即在内为增函数;‎ 当时,,即在内为减函数. ∴的最大值为,‎ ‎∴‎ ‎(Ⅱ)若函数有两个极值点分别为,,‎ 则在内有两根,,‎ 由(I),知. ‎ 由,两式相减,得.‎ 不妨设, ‎ ‎∴要证明,只需证明. ‎ 即证明,亦即证明. ‎ 令函数.∴,即函数在内单调递减.‎ ‎∴时,有,∴.即不等式成立. ‎ 综上,得.‎ ‎22.(1)曲线的极坐标方程可化为,即,‎ 将代入曲线的方程得,所以,曲线的直角坐标方程为.‎ 将直线的极坐标方程化为普通方程得,‎ 联立,得或,则点、,‎ 因此,线段的中点为;‎ ‎(2)由(1)得,,‎ 易知的垂直平分线的参数方程为(为参数),‎ 代入的普通方程得,,因此,.‎ ‎23.(1)∵,∴|2x-1|<|x|+1,即 或或 得或或无解.‎ 故不等式的解集为{x|0
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