2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系8 线面垂直的综合运用学案 苏教版必修2

2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系8 线面垂直的综合运用学案 苏教版必修2

线面垂直的综合运用 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 线面垂直的综合应用 ‎1. 熟记、理解线面垂直关系的判定与性质定理；‎ ‎2. 解题中规范使用数学语言，严格证题过程；‎ ‎3. 重视转化思想的应用，解题中要以寻找线线垂直作为突破 选择题 填空题 解答题 ‎1. 考查垂直关系的命题的判定；‎ ‎2. 考查线线、线面、面面垂直关系的判定和性质；‎ ‎3. 考查平行和垂直的综合问题；‎ ‎4. 考查空间想象能力，逻辑思维能力和转化思想 二、重难点提示 重点：线面垂直关系的判定与性质定理的应用。‎ 难点：求点到面的距离，线面角及有关垂直的几何证明。‎ 考点：直线与平面的垂直 ‎1. 直线和平面垂直的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ‎⇒l⊥α 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ‎⇒a∥b ‎【要点诠释】‎ 注意判定定理中相交条件很重要，判定定理的特征是：垂直垂直；性质定理的特征是：垂直平行。‎ ‎2. 判定直线和平面垂直的方法 ‎①定义法。‎ ‎②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直，简述为“线线垂直线面垂直”。‎ ‎③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面。‎ ‎3. 直线和平面垂直的性质 5‎ ‎①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线，即线面垂直线线垂直。‎ ‎②垂直于同一个平面的两条直线平行。‎ ‎③垂直于同一条直线的两平面平行。‎ ‎4. 点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。‎ ‎5. 直线和平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离。‎ ‎6. 斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角，其范围是。‎ 例题1 （与定理有关的几何证明）如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交。‎ 求证：EF∥BD1。‎ 思路分析：先证明BD1⊥平面AB‎1C，再证明EF⊥平面AB‎1C，最后说明EF∥BD1。‎ 答案：如图所示，连接AB1、B1D1、B‎1C、BD，‎ ‎∵DD1⊥平面ABCD，‎ AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴DD1⊥AC.‎ 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，‎ ‎∴AC⊥平面BDD1B1，‎ 又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1，‎ 同理可证BD1⊥B‎1C，‎ 又AC∩B‎1C＝C，∴BD1⊥平面AB‎1C，‎ ‎∵EF⊥A1D，A1D∥B‎1C，∴EF⊥B‎1C，‎ 又∵EF⊥AC，‎ ‎∴EF⊥平面AB‎1C.∴EF∥BD1。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 题目要求 5‎ 证平行关系，而条件中多为垂直关系时，常考虑线面垂直的性质定理，从垂直向平行进行转化。‎ ‎2. 平行与垂直的转化关系：‎ 例题2 （求点到面的距离或直线到平面的距离）已知P为△ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，求P点到平面ABC的距离。‎ 思路分析：利用垂直找到射影，然后再求垂线段长度。‎ 答案：取AB中点D，连接PD、DC，‎ ‎∵PA＝PB，∴AB⊥PD，‎ 又∵PC⊥PA，PC⊥PB，‎ ‎∴PC⊥平面ABP，AB⊂面ABP，‎ ‎∴AB⊥PC，‎ ‎∵PD∩PC＝P，∴AB⊥平面PCD，‎ 在平面PCD内，过P作PH⊥DC于H，则AB⊥PH，‎ ‎∴PH⊥平面ABC，‎ ‎∴PH即为P点到平面ABC的距离，‎ ‎∵PD⊂平面ABP，‎ ‎∴PC⊥PD，‎ ‎∵PA＝PB＝PC＝a，∴PD＝a，‎ CD＝a，∴PH＝，‎ 故P点到平面ABC的距离为。‎ 技巧点拨：可以利用以下方法寻找点在平面内的射影。‎ P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC内的射影。‎ ‎（1）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的内心；‎ ‎（2）若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的垂心；‎ ‎（3）若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的外心；‎ ‎（4）若PA＝PB＝PC，则O是△ABC的外心。‎ 例题3 （求直线与平面所成的角）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点。‎ 5‎ ‎（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；‎ ‎（2）证明AE⊥平面PCD；‎ 思路分析：先找出PB和平面PAD所成的角，对于线面角的定义要能灵活运用；‎ 答案：在四棱锥P—ABCD中，‎ 因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，‎ 故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，‎ 从而AB⊥平面PAD，‎ 故PB在平面PAD内的射影为PA，‎ 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角，‎ 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°，‎ 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°；‎ ‎（2）证明：在四棱锥P—ABCD中，‎ 因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ 故CD⊥PA，由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAC，‎ 又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD，‎ 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，‎ ‎∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，‎ 又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD。‎ 技巧点拨：求直线与平面所成的角的一般步骤：‎ ‎①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；‎ ‎②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解。‎ 立体几何中的分类讨论思想 ‎【满分训练】如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a（a>0），PA⊥平面ABCD，且PA＝1，问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由。‎ 思路分析：把题目中的关系转化到矩形ABCD中来研究。‎ 答案：假设存在点Q，使得PQ⊥QD，连接AQ，‎ 由已知PA⊥平面ABCD，且DQ⊂平面ABCD，‎ 5‎ ‎∴PA⊥DQ，‎ 又∵PQ⊥DQ，且PQ∩PA＝P，PQ，PA⊂平面PAQ，‎ ‎∴DQ⊥平面PAQ，‎ ‎∵AQ⊂平面PAQ，∴AQ⊥DQ.‎ 设BQ＝x，则CQ＝a－x，AQ2＝x2＋1，DQ2＝（a－x）2＋1，‎ ‎∵AQ2＋DQ2＝AD2，∴x2＋1＋（a－x）2＋1＝a2，‎ 即x2－ax＋1＝0（*），‎ 方程（*）的判别式Δ＝a2－4，‎ ‎∵a>0，‎ ‎∴当Δ<0，即00，即a>2时，方程（*）有两个不等实根，设两个实根分别为x1，x2，由于x1＋x2＝a>0，x1x2＝1>0，‎ 则这两个实根均为正数，‎ 因此，当02时，BC边上存在不同的两点Q，使PQ⊥QD。‎ 技巧点拨：注意这种立体几何向平面几何转化，几何向代数转化的思想的运用，并且运用了分类讨论思想。‎ 5‎