天津市和平区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

天津市和平区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

‎2019-2020学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题）‎ ‎1.命题“，”的否定为 A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定为特称命题解答.‎ ‎【详解】解：根据全称命题的否定为特称命题，‎ 故命题“，”的否定为，．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题．‎ ‎2.“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(　　)‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有一个公共点，反之当直线与双曲线只有一个公共点时除了直线与双曲线相切，还有就是直线和双曲线的渐近线平行的时候；故是充分不必要条件．‎ 故答案为A．‎ ‎3.椭圆的焦点坐标为 A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的方程求出a，b，得到c即可求解结果．‎ ‎【详解】解：椭圆，焦点在轴上，可得，，所以，‎ 所以椭圆的焦点坐标．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．‎ ‎4.抛物线的焦点坐标是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据抛物线的标准方程为画出图像可得准线方程为：故焦点坐标为.‎ 故答案为B．‎ ‎5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )‎ A. 2 B. ‎6 ‎ C. 4 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解.‎ ‎【详解】设另一焦点为，由题在BC边上，‎ 所以的周长 故选：C ‎【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.‎ ‎6.已知双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由双曲线的方程分析可得其渐近线方程，分析可得有，即，求出椭圆的半焦距，分析可得，解可得、的值，将、的值代入双曲线的方程，即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，双曲线C：的焦点在x轴上，其渐近线方程为，‎ 若其一条渐近线的倾斜角为，则该渐近线的方程为，‎ 则有，即，‎ 椭圆中，，‎ 若双曲线与椭圆有相等的焦距，则有，‎ 解可得，，‎ 则双曲线的方程为；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线、椭圆的几何性质，注意分析双曲线的焦点位置，属于基础题．‎ ‎7.已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题知，，所以==，解得，故选A.‎ 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎8.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由题意确定点P的坐标，然后列方程确定a,b的值即可确定渐近线方程.‎ ‎【详解】∵抛物线的焦点坐标F(1,0)，p=2，‎ 抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，‎ ‎∴p=‎2c，即c=1，‎ 设P(m,n)，由抛物线定义知：‎ ‎.‎ ‎∴P点的坐标为.‎ ‎，解得：.‎ 则渐近线方程为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解，抛物线的几何性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 二、填空题（本大题共6小题）‎ ‎9.命题：“”的否定为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】写命题否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题“”的否定是“”.‎ 故答案为∀x∈R，x2﹣ax+1≥0‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定及特称命题与全称命题的关系，属于基本知识的考查．‎ ‎10.对于常数、，“”是方程“的曲线是椭圆”的__________．‎ ‎【答案】必要不充分条件 ‎【解析】‎ 因为时，表示圆，所以“方程“曲线是椭圆””推不出方程“方程“的曲线是椭圆”，当方程“‎ 的曲线是椭圆”时，能推出，所以应该填必要不充分条件. ‎ ‎11.已知椭圆G的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为6，则椭圆的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件列出方程组，求解a、c，得到椭圆的离心率．‎ ‎【详解】解：椭圆G的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为6，‎ ‎，解得，，‎ 所以椭圆的离心率为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．‎ ‎12.已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值，同时可推断出当D，P，M三点共线时|PM|+|PD|最小，答案可得．‎ ‎【详解】设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知|PF|＝|PD|‎ ‎∴要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，‎ 只有当D，P，M三点共线时|PM|+|PD|最小，此时P纵坐标为2，则横坐标为2‎ 故答案为： ‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质，涉及与抛物线有关的最值问题，属中档题．‎ ‎13.已知倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点交抛物线于A、B两点，并且，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑角为锐角，设A、B两点在准线上的射影分别为C、过B作于则有，．设，则，，同理由为钝角得出，综上可得出答案.‎ ‎【详解】解：若角锐角，如图，‎ 设A、B两点在准线上的射影分别为C、D．‎ 过B作于则有，‎ 设，则．‎ 则．‎ 若角为钝角，由对称性可知.‎ 因此，.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎14.已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴的交点为H，点在C上，且，则的面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，则，由，可得，解得即可求解．‎ ‎【详解】解：由抛物线C：，得焦点，准线方程为过P作PM垂直准线于M，‎ 设，，则，‎ ‎．‎ 由，可得，‎ 解得．‎ 则的面积为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共5小题）‎ ‎15.（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知抛物线顶点在原点，对称轴是y轴，并且焦点到准线的距离为5，求该抛物线方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出椭圆的方程为，由题意可得a，c，求得b，可得所求方程；‎ ‎（2）设抛物线的方程为，，由焦点到准线的距离解得t，可得所求方程．‎ ‎【详解】解：（1）设椭圆的方程为，‎ 由题意可得，即，，即，‎ ‎，‎ 则椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）设抛物线的方程为，，‎ 焦点到准线的距离为5，可得，即，‎ 则抛物线的标准方程为或．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎16.已知椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）直线l的方程为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的几何性质求得，；‎ ‎（2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k ‎，从而求得直线l方程．‎ ‎【详解】解：（1）椭圆C的离心率为，，‎ ‎，即 椭圆C的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为，‎ ‎，，从而得，‎ 椭圆C的方程为；‎ ‎（2）显然，直线l的斜率存在，设该斜率k，‎ 直线l的方程为，即，‎ 直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得：‎ 且该方程显然有二不等根，‎ 记A，B两点的坐标依次为，，‎ ‎，即，‎ ‎，解得，‎ 所求直线l的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题．‎ ‎17.已知抛物线C：经过点，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）若，求面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）抛物线C的方程为．焦点坐标为，准线方程为（2）面积的最小值为4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，将P的坐标代入抛物线的方程，可得p的值，即可得抛物线的标准方程，分析即可得答案；‎ ‎（2）直线AB的方程为，与抛物线的方程联立，可得，设，，结合，结合根与系数的关系分析可得，进而可得面积的表达式，分析可得答案．‎ ‎【详解】解：（1）由抛物线C：经过点知，解得．‎ 则抛物线C的方程为．‎ 抛物线C的焦点坐标为，准线方程为；‎ ‎（2）由题知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：，‎ 由消去x，得．‎ 设，，则，．‎ 因为，所以，即，‎ 解得（舍去）或．‎ 所以解得．‎ 所以直线AB：．‎ 所以直线AB过定点．．‎ 当且仅当，或，时，等号成立．‎ 所以面积的最小值为4．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的与直线的位置关系，关键是求出抛物线的标准方程，属于中档题．‎ ‎18.已知椭圆经过点，一个焦点为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程是；（2）的取值范围为．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）求椭圆的方程，已知椭圆经过点，一个焦点为，故可用待定系数法，利用焦点为可得，利用过点，可得，再由，即可解出，从而得椭圆的方程；（2）求的取值范围，由弦长公式可求得线段的长，因此可设，由得，，则是方程的两根，有根与系数关系，得，，由弦长公式求得线段的长，求的长，需求出的坐标，直线与轴交于点，可得，线段的垂直平分线与轴交于点，故先求出线段的中点坐标，写出线段的垂直平分线方程，令，既得点的坐标，从而得的长，这样就得的取值范围．‎ 试题解析：（1）由题意得解得，．‎ 所以椭圆的方程是． ‎ ‎（2）由得．‎ 设，则有，，‎ ‎．所以线段的中点坐标为，‎ 所以线段的垂直平分线方程为．‎ 于是，线段的垂直平分线与轴的交点，又点，‎ 所以．‎ 又．‎ 于是，．‎ 因为，所以．所以的取值范围为． ‎ 考点：求椭圆的方程，直线与椭圆位置关系，二次曲线范围问题．‎ ‎19.已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为，且直线分别与椭圆交于两点，其中点，满足，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若面积是面积的5倍，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意得到关于a,b,c方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）由题意得到直线AM,BM的方程，联立直线方程与椭圆方程，求得点E,F的坐标结合题意即可得到关于m的方程，解方程即可确定m的值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意可得：，解得：，‎ 椭圆的方程为 .‎ ‎（Ⅱ）且，‎ ‎∴直线的斜率为，直线的斜率为，‎ ‎∴直线的方程为，直线的方程为，由得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 由得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∵，且 ‎∴整理方程得，‎ ‎∴为所求.‎ ‎【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎